Вычислительное моделирование начальной стадии кариеса зубов: геометрическое моделирование зуба

Эффективное рациональное и атравматичное лечение начального кариеса зубов или кариеса в стадии пятна является актуальной проблемой современной профилактической и консервативной стоматологии. Одна из самых эффективных современных методик лечения раннего кариеса основана на использовании ICON-технологии [1], которая состоит в инфильтрации в пораженную область светоотверждаемого полимера без иссечения какого-либо объема твердых тканей зуба. Такая технология сертифицирована во многих странах,

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №11-01-96028-р–Урал–а.

в том числе в России, и получает все более широкое распространение в практической стоматологии.

Распространению ICON-технологии способствуют данные экспериментальных исследований. Однако в литературе отсутствует научное описание полимеризации начального кариеса: технология применяется относительно недавно, и данных наблюдений накоплено недостаточно, поскольку экспериментальные медицинские наблюдения дальнейшего развития раннего кариеса, залеченного по ICON-технологии, фактически "отложены". Методики исследования in vivo, когда для создания и изучения кариесогенной ситуации в полости рта организуются массовые наблюдения за пациентами или используются животные (крысы), являются достаточно трудоемкими и дорогостоящими.

В этой ситуации вычислительное моделирование, основанное на создании и программной реализации различных математических моделей применяемой технологии, призвано дать медикам эффективный инструментарий для анализа интересующих их процессов. Используемые при этом математические модели верифицируются исходя из данных, полученных в физико-механических экспериментах над удаленными зубами человека – исследованиях in vitro. Вычислительное моделирование позволит эффективно дополнить трудоемкие и длительные натурные эксперименты и ускорить исследования в области лечения раннего кариеса по ICON-технологии, что даст возможность улучшить и оптимизировать данный метод лечения.

Алгоритм геометрического построения трехмерной модели зуба

Любая биологическая система, несмотря на кажущуюся простоту, скрывает множество компонентов и сложнопереплетенных механизмов взаимодействия [2, 3]. На рис. 1 показана распространенная модель строения зуба, включающая эмаль, дентин, цемент и пульповую камеру.

Эмаль зуба – твердая, резистентная к изнашиванию минерализованная ткань, покрывающая анатомическую коронку зуба, – располагается поверх дентина. Она защищает более мягкий подлежащий дентин и пульпу зуба от воздействия внешних раздражителей. Толщина слоя эмали в различных отделах коронки неодинакова: от 1,62–1,7 мм на жевательной поверхности до 0,01 мм в области шейки зуба.

Рис. 1. Строение зуба

Дентин – твердая ткань зуба, состоящая из основного вещества, пропитанного солями кальция и пронизанного дентинными канальцами и коллагеновыми волокнами.

Используемые здесь и далее внешняя геометрия (рис. 2) и внутренняя структура зуба соответствуют зубу среднестатистического здорового человека в возрасте от 20 лет.

Рис. 2. Передний фронтальный зуб (вид с трех сторон)

На рис. 3 приведена расчетная схема фронтального (переднего) зуба в виде неоднородного тела, состоящего из эмали, цемента, дентина и пульпы, построение которой необходимо автоматизировать.

Рис. 3. Расчетная схема зуба

Данная схема зуба может быть использована, например, в следующих расчетах:

• •    расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) зуба до его лечения по ICON-технологии и после полимеризации

кариесного пятна, с целью определения прочностных характеристик зуба;

• •    компьютерное моделирование процесса деминерализации эмали зуба;

• •    решение задачи инфильтрации ICON-

• вещества в пористую среду для моделирования процесса полимеризации;

• •    другие задачи, связанные и не связанные с ICON-технологией.

Все перечисленные задачи предполагается решать методом конечных элементов в пакете ANSYS, с помощью имеющихся в этом пакете или внедренных в него " своих " математических моделей. Однако геометрическое моделирование в ANSYS – первый этап вычислительного моделирования – вызывает большие трудности, поскольку пространственная модель зуба имеет сложную внешнюю геометрию и в ней должна учитываться сложная геометрия внутреннего строения.

• 1.    Построить геометрическую модель эмали, дентина, цемента и пульпы, используя геометрические примитивы, т.е. провести геометрическое моделирование "сверху вниз", оказывается невозможно.

• 2.    Для проведения геометрического моделирования "снизу вверх" необходимо иметь наборы ключевых точек, достаточно точно описывающих геометрию внешнего и внутреннего строений зуба. Создавать такие трехмерные объекты средствами AN-SYS также весьма затруднительно.

Далее описан алгоритм геометрического построения трехмерной модели зуба с использованием 3D-сканера, программных средств трехмерной графики RAPID FORM, 3D-MAX и blender, а также собственной программы построения дентина, пульпы и цемента.

Пусть K_i^j(x,y,z) – наборы ключевых точек, достаточно точно описывающих геометрию внешнего и внутреннего строения зуба, i =1,2,…,n j , где n j – количество ключевых точек для описания соответственно внешних поверхностей эмали (j=1), дентина (j=2), пульпы (j=3) и цемента (j=4).

Для геометрического моделирования внешней поверхности зуба (т.е. эмали) был использован 3D-сканер Roland LPX-600 – бесконтактный лазерный сканер, который позволяет оцифровывать объекты шириной до 203 мм и высотой до 304 мм.

Он поддерживает два метода сканирования: плоскостной и ротационный. При сканировании зуба был применен ротациион-ный метод с максимальной точностью 0.2 мм.

Для устранения дефектов сканирования ("сгладить" контур, удалить попавшие в "кадр" "посторонние" предметы, доработать участки, недоступные для сканирования и т.п.) использовались программы работы с трехмерной графикой 3D-MAX и blender [3] .

Результат обработки (финальный вариант модели) представлен на рис. 4. Данные модели были приведены к виду, пригодному для геометрического моделирования: удалена вся лишняя информация и оставлены только координаты вершин. Приведение данных было осуществлено посредством сохранения модели в формате PLY [4] – текстового представления с возможностью выбора данных для выходного файла.

Рис. 4. Передний фронтальный зуб в результате сканирования

Сканирование фронтального зуба длилось около 65 минут. В результате сканирования получен набор ключевых точек K i ¹ (x,y,z), описывающих внешнюю поверхность эмали.

Перейдем к построению внутренней геометрии, для чего используем среднестатистические данные о человеке в возрасте от 20 лет [3]. В дальнейшем эти данные предполагается уточнять на основе экспериментов.

Для построения трехмерной модели зуба в пакете ANSYS по имеющейся информации создан специальный алгоритм. Суть его состоит в следующем:

• 1)    строятся k меридиональных сечений зуба. Для примера рассмотрим построение только одного сечения, например в плоскости XOY(рис. 5а);

• 2)    задаем ключевые точки на внешней и внутренней границах эмали, дентина, пульпы и цемента (рис. 5б);

а                    б

Рис. 5 . Геометрическое моделирование: а - строение депульпированного зуба; б – ключевые точки

• 3)    по заданным точкам осуществляем сплайн-интерполяцию и определяем кусочно-непрерывные функции f i (y) (i=1,2,3,4), описывающие соответственно границы эмали, дентина, пульпы и цемента (рис. 6а);

а                          б

Рис. 6 . Геометрическое моделирование: а – создание ключевых точек в сечении;

б – разбивка на слои

• 4)    сплайны f i (y) разбиваются вдоль оси ОY на N частей (с заданным шагом). Получается конечное множество точек f i (y j ) (i=1,…,4, j=1,…,N+1);

• 5)    шаги 2–4 осуществим для остальных (k– 1)-го сечений зуба. В результате имеем набор узловых точек f i^k (y j ) (рис. 5а) для каждого сечения зуба (k – номер сечения);

• 6)    перейдем к построению поверхностей эмали, дентина, цемента и пульпы методом " снизу вверх " . Рассмотрим, например, построение внешней поверхности эмали. Остальные поверхности строятся аналогично. Пусть для эмали i=1. Построение выполняется по слоям (рис. 6б). Всего имеется N слоев. В данном примере N=120.

• а)    по трем точкам ( f 1^k (y j ), f 1^k+1 (y j ), f 1^k+2 (y j )) строится дуга в сечении с координатой y=y j (нижняя дуга (рис. 7а)),

• б)    аналогично строится дуга по трем точкам ( f 1^k (y j+1 ), f 1^k+1 (y j+1 ), f 1^k+2 (y j+1 )) для y=y j+1 (верхняя дуга (рис. 7а)),

• в)    по полученным дугам строится поверхность (рис. 7а). Повторно последние действия N раз (j=1,…,N), получим набор поверхностей для построения эмали;

• 7)    склеиваем поверхности и строим объем эмали (рис. 7б).

а                    б

Рис. 7. Построение поверхностей

Аналогично моделируются объемы дентина, пульпы и цемента.

Для учета неоднородной внутренней структуры зуба геометрическое моделирование осуществляется изнутри в четыре этапа.

• 1)    сначала создается самый нижний слой – пульпа (рис. 8а);

• 2)    поверх пульпы формируется слой дентина (рис. 8б);

• 3)    поверх дентина снизу строится слой цемента (рис. 9а);

• 4)    поверх дентина и цемента строится слой зубной эмали (рис. 9б).

а                      б

Рис. 8. Построение объемов: а – пульпа, б – дентин

Таким образом, верхняя граница каждого слоя начиная со второго будет являться нижней границей для нового слоя.

б

а

Рис. 9. Построение объемов: а – цемент, б – эмаль

Данный алгоритм позволяет строить трехмерные геометрические модели не только зубов, но и любых достаточно сложных, неоднородных слоистых конструкций.

Разбивка полученных областей на конечные элементы

В качестве конечного элемента примем элемент Solid 92 (рис. 10), в котором десять узлов: I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R – и три степени свободы: UX, UY, UZ. Данный элемент поддерживает импорт начального напряжения, разбухание, утолщение, упругость, пластичность, "рождение и смерть" элементов и др.

L

Рис. 10. Вид конечного элемента Solid 92

Для разбивки модели зуба применяется нерегулярная конечно-элементная сетка (рис.11), так как в области эмали и особенно в области возможного кариозного повреждения, где возникает наибольшее напряжение, необходима более густая конечно-элементная сетка.

Рис. 11. Конечно-элементная сетка зуба

Как показали предварительные расчеты, конечно-элементная модель может быть использованы для вычислительного моделирования и анализа как напряженно-деформированного состояния зуба, так и других физико-механических состояний.

Заключение

Разработанный алгоритм позволяет проводить пространственное геометрическое моделирование слоистых конструкций сложной геометрической формы, например, таких, как человеческий зуб. Дальнейшее применение полученной геометрической модели связано с определением физико-математических моделей, которые будут использованы для имеющихся сред: эмали, дентина, цемента и пульпы. Эти модели могут быть различными, что существенно расширяет методологические возможности изучения микроструктуры и минерального обмена в твердых тканях зуба, как в норме, так и при различных патологических состояниях.