Аксиоматический метод в обучении математике и в образовании будущих учителей математики

Введение . В статье Г.А. Клековкина [19] обсуждается проблема падения логической грамотности (логической культуры, логической компетентности) выпускников средней школы. Многие из них не могут логически грамотно выразить в словесной форме свои мысли и рассуждения. Они не могут понять и воспроизвести чужое доказательство математической теоремы, логически грамотно построить отрицание данного высказывания, обнаружить логическое противоречие в чужих и собственных рассуждениях. Возросло число молодых людей, у которых потребность что-либо доказывать и обосновывать вообще отсутствует.

Одну из мер, которая могла бы способствовать исправлению создавшегося положения, автор статьи видит в том, чтобы «обеспечить целенаправленное ознакомление школьников с основными классическими универсальными законами мышления, добиваться, чтобы учащиеся их понимали и умели применять в своей деятельности. Однако наша школа фактически не уделяет внимания систематическому воспитанию логического мышления учащихся. В школе отсутствует целостный курс логики, и в этом один из печальных недостатков нашего среднего образования» [28, с. 143].

Еще одну причину падения логической грамотности выпускников средних школ можно обнаружить в сложившейся за последние четверть века системе преподавания и изучения курса геометрии в школе. В более давние времена именно геометрия была важнейшей образовательной, развивающей и воспитывающей учебной дисциплиной в школе.

Что же происходит сейчас? В современной средней школе понятия доказательства, аксиоматического метода, аксиоматической теории, свойственные, прежде всего, школьному курсу геометрии, практически полностью исчезли. Система ЕГЭ привела к тому, что теоретический материал на уроках геометрии излагается без доказательств, директивно. Отмена устного экзамена по геометрии привела к тому, что учащиеся перестали воспроизводить доказательства, демонстрирующие им логические способы рассуждений, в устной форме и тем самым перестали обучаться искусству рассуждений, необходимому в любой области деятельности. Основное внимание в курсе геометрии уделяется утилитарному применению теоретических фактов и формул к решению типовых задач, аналогичных тем, которые предлагаются в ЕГЭ. В результате такого реформирования геометрия оказалась отделена от логики и перестала учить доказательствам и рассуждениям.

И тем не менее даже если курсу геометрии вернуть в школе его прежний статус, этого будет недостаточно. Н.Х. Розов утверждает, что «школьный курс математики ни в коей мере не покрывает общую логику мышления, а затрагивает лишь некоторые, весьма фрагментарные моменты ее специфической части – математической логики» [28, с. 144]. Следовательно, для того, «“чтобы привести ум в порядок”, математику изучать необходимо, но не достаточно». Автор считает, что «нужно обеспечить целенаправленное ознакомление школьников с основными классическими универсальными законами мышления, добиваться, чтобы учащиеся их понимали и умели применять в своей деятельности <...> Воспитание подлинной логической культуры должно быть отдано дисциплине “Логика”, содержащей основы науки, которая веками занималась этим» [Там же, с. 143, 149].

Но все же автор не отрицает полностью роли и значения курса математики в воспитании логического мышления учащихся: «Будем объективны: конечно же, школьная математика в определенном смысле действительно вносит свой вклад в развитие у учащихся умения рассуждать, делать правильные выводы, обосновывать утверждения. Ведь она неотделима от логических математических построений, подспудно опирается на “общелогические” законы. Но с сожалением заметим: это специально никогда явно не акцентируется, не объясняется и не развивается – ни на уроках, ни в учебниках. Увы, общелогические правила не обсуждаются даже тогда, когда в ходе математического доказательства появляется повод, возможность и даже необходимость о них поговорить специально». И вот здесь автор делает важнейший вывод: «Что, впрочем, не удивительно, ибо сами учителя математики с наукой “Логика” не знакомы» [28, с. 144].

И это, к сожалению, действительно так. Современные молодые учителя, выпускаемые по четырехлетней программе бакалавриата направления «Педагогическое образование» из современных классических университетов, в которых бесследно растворились бывшие педагогические институты, не владеют логическими компетенциями, в частности понятиями доказательства, аксиоматического метода и аксиоматической теории. Курсы геометрии и математической логики сокращены в этих университетах до катастрофических объемов, а в некоторых университетах курс математической логики для будущих учителей математики исключен вовсе. Отсутствует и курс «Логика». Это во многом обусловлено тем, что современный ФГОС отпустил составление конкретных учебных планов по направлениям бакалавриата на откуп самим университетам. Мощный сокрушительный удар в этом направлении нанесло бездумное применение очередной образовательной инновации – прикладного бакалавриата.

Спасительной соломинкой в этой катастрофической ситуации могла бы служить магистратура, призванная расширить и углубить знания и компетенции, приобретенные на уровне бакалавриата. Но для этого должна быть глубоко продумана преемственная взаимосвязь в образовательных системах двух уровней – бакалавриата и магистратуры. Некоторые соображения на этот счет в части подготовки учителей математики высказывались автором в [10–13; 15–17].

Учить логике будущих учителей математики . В работе «Дидактическое взаимодействие логики и математики» [9] автором (не впервые) были сформулированы четыре фундаментальных принципа логики, связанные с обучением математике. Эти принципы, по мнению автора, должны постоянно на- ходиться в поле внимания каждого учителя математики. Учитель должен находить проявления этих принципов при подготовке к каждому уроку по любой теме. Эти принципы следующие.

• 1.    Уметь и учить учеников анализировать логическую структуру (строение) математических предложений – определений и теорем и правильно составлять такие предложения.

• 2.    Понимать и учить учеников понимать существо логически строгого доказательства математической теоремы.

• 3.    Владеть самому и учить учащихся логическим методам доказательства математических теорем; уметь и учить учеников отличать логически строгие математические доказательства от нестрогих, правдоподобных, наглядных, эвристических.

• 4.    Обучать способам построения и строению математических теорий аксиоматическим методом; сам же учитель должен владеть методами изучения свойств аксиоматических теорий.

Сформировать в будущем учителе математики логические понятия строгого математического доказательства, аксиоматического метода и аксиоматической теории призван курс математической логики. Его апофеозом является анализ математико-логическими методами аксиоматических теорий. В XX в. в этой области получены теоремы (метатеоремы) большой математической, логической и философской глубины. Они выявили выразительные возможности и доказательную силу аксиоматического метода и явились одними из самых крупных достижений математики XX в. Задача будущего учителя – осознать и уяснить эти результаты.

Имея в виду именно эти результаты, полученные математической логикой, английский математик и педагог Р.Л. Гудстейн так высказался об их значении для будущего учителя математики:

«Математическая логика имеет своей целью выявление и систематизацию логических процессов, употребляемых в математическом рассуждении, а также разъяснение математических понятий. Сама она является ветвью математики, использующей математическую символику и технику, ветвью, развившейся в целом в течение последних ста лет, и притом такой, которая по своей плодотворности, по силе и важности своих открытий вполне может претендовать на место в авангарде современной математики.

В силу той роли, которую она играет в освещении природы математики, математическая логика особо важна для преподавателя математики. Новые открытия почти во всякой ветви математики проливают свет на какие-либо основные проблемы, обнаруживая неожиданные связи или ограничения; открытия же, сделанные в математической логике, освещают не просто отдельные проблемы, а почти все стороны математики.

Молодой учитель, который только что закончил свое педагогическое образование, скоро обнаруживает, что оно ничего не добавило к тем знаниям по элементарной арифметике, которые он приобрел в школе. Он знает теперь не лучше, чем он знал прежде, почему для того, чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь, но если его университетский курс был хорошим, то он должен быть в состоянии без посторонней помощи найти этому объяснение... Однако если его ученики спросят его… каким образом доказательство доказывает что-либо, является ли истинность доказательством и можем ли мы быть уверены в том, что только истинные теоремы могут быть доказаны, – тогда, если только его подготовка не являлась чем-то исключительным, он не будет знать, что ему ответить, и не сможет самостоятельно найти ответа. Конечно, ответы, которые дает на эти вопросы современная математическая логика, являются ответами для учителя, а не для его учеников, и уже от опытности учителя и от зрелости его учеников зависит, в какой мере они могут быть сообщены ученикам; но самым важным является то, что ответы на эти вопросы теперь известны, хотя в некоторых случаях они были найдены совсем недавно» [6, с. 11–12].

Некоторым методологическим вопросам, связанным с обучением будущих учителей математики существу второго и третьего принципов логики, приведенных выше, посвящены работы автора [14; 18].

В настоящей работе, касающейся четвертого принципа, выделяются три аспекта, связанные с обучением математике – строгость изложения материала, развитие логического мышления обучаемых, развивающее обучение математике – и в каждом из этих аспектов анализируются аргументы против и за использование для этих целей аксиоматического метода. Результаты этого анализа необходимо иметь в виду и учитывать учителю математики при планировании педагогической работы с использованием этого метода.

Аксиоматический метод – фундаментальный метод научного познания, организации и умножения научного знания в самых разных, его областях [2; 7]. Он сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории развития науки. Возник этот метод в недрах традиционной аристотелевской логики и исследован и оснащен мощными средствами современной математической логики. Коротко говоря, аксиоматический метод – это такой способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные принимаемые без доказательства положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Можно сказать, что математическая теория достигает совершенства лишь тогда, когда ей удается пользоваться аксиоматическим методом.

Приступая к рассмотрению положительных и отрицательных моментов при использовании аксиоматического метода в обучении математике, отметим, что основополагающий труд Евклида «Начала», написанный в аксиоматико-дедуктивном духе, в котором он собрал, систематизировал и приумножил существовавшие на тот период математические знания, явился не только началом аксиоматического подхода к обоснованию математики. Он стал первым систематическим учебником геометрии, по которому на протяжении многих веков учились неисчислимые поколения учащихся. Прекрасно сказал об этом известный математик и историк математики Б.Л. Вандер Варден: «Евклид по заслугам обрел эту славу, благодаря своим исключительным дидактическим достоинствам. Он – величайший школьный учитель, которого только знает история математики» [3, с. 208].

Аксиоматический метод и строгость изложения математики. Противники использования аксиоматического метода при обучении математике считают, что излагать математику логически строго можно и без использования этого метода. Ведь именно так, без оглядки на аксиоматический метод, развивалась математика на протяжении многих веков. Математики вводили понятия и доказывали теоремы, не имея четкой системы аксиом, а руководствуясь во многом соображениями интуиции. Тем не менее их невозможно обвинить в нестрогости их рассуждений: и полученные ими результаты, и их обоснования пережили века и проверены временем. Таково, например, доказательство Евклида о бесконечности множества простых чисел. Таковы многие замечательные результаты, полученные в теории чисел Ферма, Гауссом и Дирихле. Никто из них не опирался ни на какую систему аксиом для натуральных чисел, т. к. первая из них была предложена лишь к концу XIX в. Дж. Пеано. Также лишь в 1888 г. Дедекинд построил аксиоматическую теорию действительных чисел, удовлетворяющую требованиям логической строгости. Но до него Лейбниц, Ньютон, Лагранж, Коши, Риман и особенно Вейер-штрасс заложили фундаментальные основы математического анализа, основанного на действительных числах, совершенно не ощущая необходимости в аксиоматической теории таких чисел. Аналогичным образом возникали и многие другие разделы математики, например проективная геометрия, топология.

Педагоги-методисты высказывают и свои сомнения по поводу использования аксиоматического метода в обучении. Во-первых, при строгом логическом выведении теорем из аксиом на первых шагах нередко приходится громоздко доказывать весьма очевидные и интуитивно ясные утверждения. Это вызывает раздражение и снижает мотивацию к дальнейшему изучению. Во-вторых, глубокое проникновение в аксиоматический метод приводит к столь сложным логическим построениям, что они будут недоступны большинству учащихся. Здесь можно вспомнить даже великого Лейбница, говорившего о начале его научного пути: «Я был математиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хватало терпения пройти до конца должную цепь доказательств» [27, с. 213]. Резко против использования аксиоматического метода высказывается один из физиков: «Нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последовательность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых математиков» [8, с. 213].

Теперь обратимся к соображениям математиков и педагогов, которые считают, что аксиоматический метод в той или иной мере, с той или иной степенью строгости должен присутствовать в обучении математике.

Здесь следует различать ряд обстоятельств. Во-первых, изучение той или иной математической теории строго аксиоматическим методом: с выбором первоначальных понятий, с четко сформулированными аксиомами, со строго логическими доказательствами теорем с опорой на аксиомы. Во-вторых, ознакомление обучаемых с возможностью такого аксиоматического построения той или иной математической теории, а также со значением аксиоматического метода для развития математики и познания окружающего мира. Эти два обстоятельства преломляются также в двух аспектах – при обучении будущих учителей математики и при обучении школьников.

Будущие учителя математики, несомненно, должны познакомиться с построением некоторых разделов математики аксиоматическим методом. Ведь несмотря на то, что многие математические теории возникали без опоры на какие бы то ни было системы аксиом, тем не менее впоследствии происходило переосмысление их основ, и такие системы аксиом создавались. В результате возникало некоторое целостное представление о теории, что приводило к возникновению новых проблем, но уже не внутри этих теорий, а об этих теориях, которые носили логический характер. Будущий учитель математики должен видеть, как его учебный предмет вписывается в общую структуру математической науки и какую роль в этом играет аксиоматический метод. К тому же будущему учителю математики необходимо продемонстрировать современный уровень логической строгости изложения математической дисциплины. Изложение учебного материала именно с использованием аксиоматического метода является определяющим фактором в характеризации уровня логической строгости этого изложения. Никакая степень подробности изложения не может компенсировать отсутствие аксиоматического подхода. В частности, будущий учитель математики должен познакомиться с аксиоматическим построением числовых систем и евклидовой геометрии [10–12]. Это мнение разделяет В.И. Левин [22]. Прекрасными методическими образцами аксиоматического построения числовых систем и евклидовой геометрии являются книги [4; 21].

Что же касается использования аксиоматического метода в школьном математическом образовании, то, конечно, в той или иной мере школьники должны быть с ним ознакомлены при изучении, прежде всего, геометрии. Образовательную роль аксиоматического подхода к обучению геометрии прекрасно охарактеризовал математик-геометр и педагог академик АН СССР А.Д. Александров: «Логика геометрии заключается не только в отдельных формулировках и доказательствах, но и во всей си- стеме в целом. Смысл каждого определения, каждой теоремы каждого доказательства определяется в конечном счете только этой системой, которая и делает геометрию целостной теорией, а не собранием отдельных определений и утверждений. Это заключенное в геометрии понятие о точной науке с ее строго разворачивающейся системой выводов так же существенно, как и точность в каждом выводе» [1, с. 59]. Трудно представить более выразительную характеристику.

Колоссальную методологическую и воспитательную роль понятия «аксиома» для школьника отмечают Р.Н. Щербаков и Л.Ф. Пичу-рин: «Произнося впервые слово “аксиома”, ученик едва ли понимает, что он приступает к качественно новому этапу познания мира. От него отныне потребуют считать истиной не только то, что подтверждено тем или иным наблюдением, опытом, вычислением, измерением, но и то, что доказано, то есть получено посредством умозаключений на основе фактов, известных ранее… Именно с этого важнейшего понятия аксиомы начинается путь в область дедуктивных исследований, где человеческий разум не только наблюдает и сопоставляет, но и делает логические выводы из данных наблюдений… Итак, с появлением термина “аксиома” совершается важнейший мировоззренческий переворот в сознании школьника: из созерцателя он превращается в мыслителя !» [32, с. 11–12].

Добавить к этому просто нечего. Весь вопрос в том, как методически грамотно осуществить знакомство школьника с аксиоматическим методом и помочь ему совершить этот мировоззренческий переворот. Конечно, ни о каком строго и до конца формализованном построении школьного курса геометрии на основе какой бы то ни было системы аксиом не может быть и речи. Но дать учащимся содержательное представление об аксиоматическом методе необходимо.

Прекрасным методическим образцом применения аксиоматического метода при обучении школьников геометрии является учебник А.В. Погорелова [26]. В нем выбран подчеркнуто учебный уровень строгости, обеспечивающий как знакомство школьников с существом аксиоматического метода, так и с его использованием при построении геометрии как важного раздела математической науки.

А.И. Медяник [25, с. 48] считает, что наивысший уровень строгости изложения предмета может быть достигнут только при его акси- оматическом изложении. «Если в наличии последнего нет, – отмечает он, – то никакая самая высокая степень подробности не заменит ее. Если же таковое в наличии имеется, как в учебнике А.В. Погорелова, то степень подробности изложения может колебаться в широких пределах».

Аксиоматический метод и развитие логического мышления. Противники тезиса о том, что без использования аксиоматического метода невозможно в полной мере развить навыки логического мышления, утверждают, что, во-первых, логическое мышление развивается не только на уроках математики, где оно никак не связано с аксиоматическим методом, и такие способы развития логического мышления широко известны [24, с. 39]. Что же касается уроков математики, то и на них использование аксиоматического метода и злоупотребление строгостью ведет к перегрузке учащихся и к заведомо одностороннему развитию их способностей [25, с. 47]. Строгие доказательства не являются основным рычагом развития логического мышления учащихся. Логическое мышление на уроках математики с успехом может развиваться «на посильном, понятном материале, главным образом, задачного характера (например, выводы различных математических формул). Самостоятельное решение задач, начиная с арифметических задач начальной школы, вплоть до задач на составление уравнений, осмысление немногочисленных простых доказательств – вот основной тренировочный материал для логического мышления» [22, с. 21–22].

Обратимся теперь к сторонникам аксиоматического метода. В чем они видят его возможности в развитии логического мышления учащихся?

«Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучивать готовых рассуждений, – считает академик А.Д. Александров. – Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как то, что надо знать. Отсюда вытекает следующий вывод: нужно давать возможно больше упражнений в логическом мышлении, как вообще нужно много упражняться, чтобы научиться какому-либо виду деятельности… Поэтому полезно, во-первых, чтобы учащиеся разбирали много доказательств (разобрали, поняли), но не выучивали, не заучивали… Во-вторых, следует решать возможно больше задач на доказательство: го- раздо полезнее и приятнее сообразить самому хотя бы маленький вывод, чем заучивать чужие рассуждения» [1, с. 59].

А.А. Ляпунов, предлагая разделить старшие классы на три типа – физико-математические, сельскохозяйственные и гуманитарные, далее высказывает свою точку зрения: «Думаю, что либо в последнем классе общей средней школы, либо в первом из расщепленных старших классов средней школы целесообразно дать аксиоматическое изложение основ элементарной алгебры… Не позднее чем с начала расщепления старших классов необходимо дать систематический курс геометрии на аксиоматической основе» [23, с. 28].

О преподавании школьникам аксиоматических основ систем чисел положительно высказывается академик АН СССР А.Н. Колмогоров: «Вся концепция с формулировкой гипотезы о существовании расширения с заданными свойствами, исследованием следствий из этой гипотезы и построением, доказывающим обоснованность гипотезы, по моему опыту, не только усваивается, но и вызывает непринужденный интерес в 9–10-х классах специализированной математической школы. В соответствии с историческим ходом развития математики такой гипотетический подход должен казаться наиболее ответственным и действительно интригующим при введении комплексных чисел. Здесь его можно определенно рекомендовать для массовой школы» [20, с. 266–267].

Аксиоматический метод и развивающее обучение математике. Как известно, чтобы быть развивающим, обучение, в частности, должно вестись так, чтобы оно в сжатой форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и становления знаний. Такой подход в обучении называется также генетическим. Насколько соответствует использование аксиоматического метода концепции развивающего обучения?

Противники последовательного использования аксиоматического метода в обучении математике небезосновательно считают, что аксиоматическое построение того или иного раздела математики являет собой в определенном смысле завершающий этап в развитии этого раздела. Поэтому изучение этого раздела с помощью аксиоматического построения скроет от учащегося те исторические процессы и механизмы, которые привели к формированию понятий этого раздела, к открытию теорем. Ученик под руководством учителя не будет причастен к этому процессу. А это затруд- нит ему усвоение понятий, мотивы возникновения которых ему будут неизвестны, не будет развиваться его математическая интуиция, направленная на поиск, открытие и доказательство теорем. Будут лишь заучиваться готовые доказательства. Именно так происходит изучение геометрии по евклидовским «Началам».

Сложный методический пример приводит известный математик-педагог У.У. Сойер – обучение проективной геометрии. Возникшая как наглядная теория перспективы, проективная геометрия достигла такой логической стройности и ясности, что с логической точки зрения целесообразнее сначала построить проективную геометрию, а затем, на ее основе, – евклидову. При таком построении «…количе-ство допущений незначительно, и они весьма просты, нет необходимости прибегать к чертежам и физическим представлениям о формах и размерах. Но как раз потому, что этого совершенно достаточно для логиков, для большинства людей этого недостаточно. Гораздо поучительнее видеть, как ясные, логичные идеи постепенно вырисовываются из беспорядочного нагромождения понятий, чем просто начинать с изложения этих идей» [29, с. 126–127].

Развивающее значение аксиоматического метода многие математики-методисты видят не в том, что с его помощью будут развиваться мыслительные способности учащихся, а, прежде всего, в его мировоззренческой роли. Следуя этому методу, человечество сделало поистине революционный шаг в познании окружающего мира, приведший к открытию неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского и ее применению в теории относительности А. Эйнштейна. «В противном случае, – отмечают О.В. Мантуров и М.А. Исаева, – при отсутствии знакомства с аксиоматическим методом, из школьного образования выпадает одна из глубочайших и плодотворнейших идей, связанная с аксиоматическим методом исследования, приведшая человечество на качественно новый уровень познания природы» [24, с. 41].

Академик АН СССР А.Д. Александров отмечает следующее мировоззренческое и воспитательное значение строгого курса геометрии: «Разворачиваясь в строгой системе точных понятий и выводов, геометрия дает представление о строго установленной истине, о заключенной в ней необходимости, так что ее нельзя ни изменить, ни подделать, ни обойти. Так курс геометрии воспитывает уважение к истине, воспитывает требование доказывать то, что утверждается в качестве истины… В уважении к истине, в требовании доказательства заключается чрезвычайно важный воспитательный момент» [1, с. 60].

Другой оттенок этой мысли подчеркивает Г. Фройденталь: «Геометрия в качестве логической системы является мощным средством дать детям почувствовать силу человеческого разума, т. е. силу их собственного разума» [31, с. 40].

Решительно высказываются об использовании аксиоматического метода в в школьном математическом образовании Р.Н. Щербаков и Л.Ф. Пичурин, считая, что «он должен пронизывать всю школьную математику, а не только геометрию. Необходимо добиваться правильного понимания сущности и истории возникновения этого метода, тщательно, тактично, избегая формализма (в дурном понимании этого слова), воспитывать культуру дедуктивного мышления». [32, с. 17].

Итак, по мнению сторонников использования аксиоматического метода, этот метод призван, в частности реализовать следующие дидактические положения: создать четкую методическую ситуацию, которая приучила бы ученика к правильному рассуждению; защитить мышление ученика от блужданий в лабиринтах возможностей и средств; помочь осознать ученику роль и значение аксиоматического метода в познании окружающего мира.

Заключение . Какие же выводы можно сделать из проведенных рассуждений? Выводы должны быть двух типов – для обучения математике школьников и для образования будущих учителей математики.

Конечно, ни о каком строго аксиоматическом изложении всего курса геометрии (как говорят методисты, глобальном аксиоматическом изложении) для школьников не может быть и речи. Тем не менее с понятием аксиоматического метода и его существом в той или иной мере школьники должны быть ознакомлены при изучении, прежде всего, геометрии.

Здесь целесообразно отметить, что знаменитая теорема К. Геделя о неполноте формальной арифметики, доказанная им в 1931 г., как раз и утверждает невозможность непротиворечивой глобальной аксиоматизации всей математической науки; возможны лишь локальные аксиоматизации, т. е. аксиоматические построения достаточно ограниченных ее частей. Одним из методических путей применения аксиоматического метода в обучении школьников было бы использование локальной акси- оматизации и дедукции при обучении геометрии. Такое обучение является более сложным для учителя и требует от него значительной и существенно новой подготовки [30].

Интересный подход к использованию аксиоматического метода при обучении геометрии школьников предложен в работе [5]. Автор выделяет три периода в развитии геометрии, исходя из методологии этой науки, способов доказательств и систематизации материала, – догреческий, греческий и современный. В соответствии с этим школьный курс геометрии должен состоять из четырех взаимосвязанных разделов или курсов: «Наглядная геометрия», «Практическая геометрия», «Систематический курс геометрии», «Дополнительный курс геометрии». Третий курс должен быть индуктивно-дедуктивным. Аксиоматика в нем остается «за кадром» и не доводится до учеников, а подробно раскрывается лишь в книге для учителя. «Учитель обязан четко осознавать всю логическую структуру курса и уметь каждую теорему, содержащуюся в учебнике, доказывать со ссылками на аксиомы. Доказательства же учащихся будут носить характер правдоподобных рассуждений» [Там же, с. 7]. Четвертый курс – небольшой по объему, построенный на аксиоматической основе, может быть введен только в старших классах в математической школе или факультативно.

Что касается будущих учителей математики, то они, во-первых, должны получить представление о современном уровне логической строгости изложения математической теории. Достичь этого без аксиоматического метода на базе четкой системы аксиом невозможно. Изложение учебного материала именно с использованием аксиоматического метода является определяющим фактором в характеризации уровня логической строгости этого изложения.

Не менее важным оказывается и следующее обстоятельство. Как отметил Г. Фройденталь, каждый настоящий математик понимает, что «аксиомы евклидовой геометрии предназначены не для того, чтобы с их помощью пользоваться евклидовой геометрией, а для метагеометрических исследований, для исследования самих основ геометрии… Там, где рассматривают систему аксиом геометрии, речь идет совсем о другом: о размышлениях по поводу самих аксиом, об исследованиях их взаимосвязей, об их зависимости или независимости, об их полноте» [31, с. 61]. Именно метаматематическими методами этих иссле- дований, разработанными в XX в. математической логикой, и должен овладеть будущий учитель математики.

Подводя итог обсуждению основной темы настоящей статьи о возможностях использования аксиоматического метода в обучении математике, отметим, что окончательного своего решения эта методическая проблема не получила и по настоящее время. Более того, по-видимому, эта проблема, как и многие другие проблемы методики обучения, однозначного решения не имеет. Это обсуждение еще раз отчетливо демонстрирует, сколь глубокие познания в области математики должен иметь учитель, сколь фундаментальной логической и логико-дидактической подготовкой он должен обладать, чтобы с успехом решать непростые проблемы дидактики математики и, в частности, проблему использования в обучении математике аксиоматического метода.