Дифференцирование и интегрирование трёхмерного оптического импульса во времени с использованием брэгговских решёток с дефектным слоем

Оптические устройства, осуществляющие заданные пространственные и временные преобразования оптических сигналов, представляют интерес для широкого круга приложений, включающего оптическую передачу информации и аналоговые оптические вычисления. В число наиболее важных операций аналоговой обработки оптических сигналов входят операции временного и пространственного дифференцирования и интегрирования [1]. Для осуществления этих операций были предложены различные резонансные структуры, включая брэгговские решётки [2–9], дифракционные решётки [10], плазмонные плоскопараллельные структуры [11], кольцевые резонаторы [12–14] и нанорезонаторы [15–17]. Использование резонансных структур для пространственного и временного дифференцирования (интегрирования) возможно благодаря тому, что профиль Фано, описывающий коэффициент отражения (пропускания) структуры в окрестности резонанса, может аппроксимировать передаточную функцию дифференциального или интегрального фильтра [10].

Брэгговские решётки с дефектным слоем (БРДС) широко используются для спектральной фильтрации и временных преобразований оптических импульсов. БРДС состоит из двух симметричных брэгговских решёток, разделённых слоем дефекта, и обеспечивает нулевое отражение (единичное пропускание) при определённой частоте или угле падения [5, 7]. Этот эффект вызван возбуждением собственной моды структуры, локализованной в слое дефекта. Частота, соответствующая нулевому отражению (на которой происходит возбуждение собственной моды), находится в запрещённой зоне брэгговской решётки. Такой спектр позволяет использовать БРДС для временного дифференцирования огибающей оптического импульса в отражении и временного интегрирова- ния огибающей импульса в пропускании [3–6]. Отметим, что в работах [2–6] при рассмотрении временных операций не принималась во внимание пространственная структура падающего оптического импульса. В предыдущих работах авторов [18, 19] было показано, что при дифракции на резонансной структуре пространственно-временного волнового пакета могут происходить сложные пространственно-временные преобразования. В этой связи интересным является вопрос о реализуемости базовых временных преобразований трёхмерных пространственно-временных оптических импульсов.

В настоящей работе представлено теоретическое описание дифракции трёхмерного оптического импульса на БРДС. Известные операции преобразования огибающей падающего импульса – временное дифференцирование и интегрирование – распространены на трёхмерный случай. Впервые рассмотрена возможность вычисления второй производной по времени от огибающей падающего импульса с использованием двух дифференцирующих БРДС. Предложенное теоретическое описание полностью подтверждено результатами строгого моделирования.

1.    Преобразование огибающей импульса при дифракции на многослойной структуре

Рассмотрим нормальное падение трёхмерного оптического импульса на многослойную структуру, состоящую из однородных слоёв (рис. 1). Пренебрегая дисперсией среды над структурой, можно записать разложение поля падающего импульса по плоским волнам:

E ( x , y , z , t ) = P ( x , y , z , t ) x

X exp {-i(®0 /c)nsup z - i®0 t} = jjj V ( kx , ky , ®)x (1) xexp{ikxx + ikyy - ikzz -i(to+ ю0) t}dkx dky dto, где P(x, y, z, t) - огибающая импульса, too - центральная частота импульса, nsup – показатель преломления материалов над и под структурой, k = (kx, ky, kz) – волновой вектор, где kz = ((to+to0)/с) n2p -k\ , k± = (kx, ky) - проекция волнового вектора на плоскость структуры, и V(kx, ky, to) - пространственновременной спектр падающего импульса в плоскости z = 0. Мы предполагаем, что V(kx, ky, to) отличен от нуля в ограниченной области: |k±| < kmax, |to| < Q.

Рис. 1. Падающий импульс P inc (x, y , z, t), отражённый импульс P ref (x, y , z, t) и прошедший импульс P tr (x, y , z, t) после дифракции на многослойной структуре

Будем полагать, что падающий импульс на верхней границе решётки z =0 линейно поляризован вдоль оси x . В этом случае скалярная функция E ( x , y , z =0, t ) в (1) определяет x -компоненту электрического поля E x , y -компонента равна нулю ( E y ≡ 0), и функция V ( k x , k y , to ) в (1) соответствует спектру огибающей компоненты E x . Спектры остальных электромагнитных компонент могут быть выражены через функцию V ( k x , k y , to ) [9, 20, 21]. Такой волновой пакет можно сформировать посредством суперпозиции TE- и TM-поляризованных плоских волн [9, 20, 21].

Поле компоненты E x падающего импульса на верхней границе структуры (при z =0) имеет вид

E ( x , y ,0, t ) = v ( x , y , t ) • exp { - i to o t } ,                  (2)

где v ( x , y , t ) – огибающая падающего импульса z =0, имеющая следующий вид:

v ( x , y , t ) = P ( x , y ,0, t ) = JJJ V ( k x , k y , to ) x

• x    exp { i k x x + i k y y - i to t } d k_x d k y d to.

  при

  
  

Огибающая Ex компоненты отраженного и прошедшего импульсов на верхней и нижней границах многослойной структуры может быть записана дующим образом:

u R ( x , y , t ) = JJJ ^V ( ^k x , ^k y , ^to) RR ( ^k x , ^k y , ^to+to 0 )^x

• x    exp { i k x x + i k y y - i to t } d k_x d k y d to ,

u T ( x , y , t ) = JJJ V ( k x , k y , ^to) T ( k x , k y , ® ⁺ ® 0 )^x

• x    exp {i kxx + i kyy - itot} d k_x dky dto,

  сле-

  
  
  
  
  
  
2.    Спектры отражения и пропускания БРДС

где RR ( k_x , k y , to+to ₀ ) и T ( k_x , k y , to+to ₀ ) - коэффициенты отражения и пропускания, которые в общем случае выражаются через коэффициенты отражения и пропускания TE- и TM-поляризованных плоских волн, падающих на структуру. Отметим, что в окрестности нормального падения коэффициенты отражения и пропускания БРДС для ТМ- и ТЕ- поляризаций можно считать совпадающими [9, 22]. Тогда в рассматриваемом случае импульса, поляризованного вдоль оси x , коэффициенты T R ( k_x , k y , to+to ₀ ) и T ( k_x , k y , to+to ₀ ) можно заменить коэффициентами отражения и пропускания для ТЕ-поляризации R ( k x , k y , to + to 0) и T ( k x , k y , to + to 0) соответственно.

Из выражений (3)–(5) следует, что огибающие отражённого и прошедшего импульсов соответствуют результату преобразования огибающей падающего импульса линейными системами с передаточными функциями (ПФ) вида:

H R ( ^k x , ^k y , ^to) = ^R ( ^k x , ^k y , ^{to+ to} 0 ) , H T ( ^k x , ^k y , ^to) = ^T ( ^k x , ^k y , ^to+to 0 ) .

Полученные ПФ (6) являются трёхмерным обобщением ПФ, описывающих временные преобразования оптических импульсов [2, 4, 5, 10].

Значительного изменения формы огибающих отражённого и прошедшего импульсов следует ожидать в случае, когда коэффициенты R ( k x , k y , to ), T ( k x , k y , to ) быстро меняются в окрестности точки (0,0, to 0) Быстрое изменение коэффициентов отражения и пропускания характерно для БРДС [5, 7, 9], которые широко используются в качестве узкополосных спектральных фильтров, работающих на пропускание. БРДС обеспечивает нулевое отражение при определённом угле падения 0 0 (при ^ k x + k y = k ₀ n _sup sin 0 ₀, где k 0 = 2n / % в -волновое число) одновременно для TE- и TM-поляризованных падающих волн. БРДС состоит из двух симметричных брэгговских решёток (БР), разделённых слоем дефекта (рис. 1). В простейшем случае слои БР имеют одинаковую оптическую толщину:

Й 1 h 1 = й₂ h ₂ = %B/ 4, (7) где n i = n i ² - n _s ² _up sin ² ( 0 ₀ ) , i =1,2, n t , h i - коэффициенты преломления и толщины слоёв БР соответственно, а % в - длина волны Брэгга. Если для оптической толщины слоя дефекта выполняется соотношение:

nhdef =%в/2, (8) где n = ^ndef - ns2up sin2 00 , ndef - коэффициент преломления слоя дефекта, то коэффициент отражения БРДС равен нулю на длине волны %в при угле падения 00 [5, 7, 9]. Отметим, что этот ноль отражения находится в центре первой фотонной запрещённой зоны БР. По- явление нуля в отражении в центре фотонной запрещённой зоны имеет резонансную природу и связано с возбуждением моды, локализованной в слое дефекта. Добротность резонанса определяется числом периодов БР, составляющих БРДС Np. Для числа периодов БР Np общее число слоёв БРДС равно Nl = 4Np+1.

Временные преобразования огибающей падающего импульса определяются зависимостью коэффициентов отражения и пропускания от частоты to. Наиболее точное дифференцирование (интегрирование) возможно, если пространственный спектр падающего импульса достаточно узок (по сравнению с временным спектром) и зависимостью коэффициентов от- ражения и пропускания от компонент волнового вектора kx, ky можно пренебречь:

R ( k x , k y , to ) = R ( 0,0, to ) , T ( k x , k y , to ) = T ( 0,0, to ) .

В дальнейших рассуждениях будем полагать, что приближения (9) справедливы. Этого можно добиться, увеличивая ширину падающего импульса.

3.    Примеры преобразования огибающей импульса

БРДС широко используются как спектральные фильтры в пропускании. Увеличение числа слоёв приводит к увеличению добротности резонанса и, соответственно, к уменьшению спектральной ширины полосы пропускания. В данной работе для проведения численного моделирования были выбраны две БРДС, различающиеся количеством периодов: N l =9 ( N p =2) для случая низкодобротного резонанса и N l =29 ( N p =7) для случая высокодобротного резонанса. Для коэффициентов преломления материалов слоёв БР, слоя дефекта, материалов над и под решёткой использовались следующие значения: n 1 = 2,4547 (TiO2), n 2= 1,4446 (SiO2), n def = n 1, n sup = n sub = 1. Толщины слоёв были рассчитаны по формулам (7), (8) для длины волны Брэгга X b =1500 нм и угла падения 0 0 = 0.

В параграфах 3.1–3.3 рассматриваются пространственно-временные операции, осуществляемые БРДС над огибающей трёхмерного импульса. В частности, рассмотрено временное дифференцирование в отра- жении первой (параграф 3.1) и второй (параграф 3.2) степени и интегрирование по времени в пропускании (параграф 3.3) (для БРДС с высокодобротным резонансом). Строгое моделирование дифракции импульса выполнено с использованием метода фурье-мод [23] и соотношений (4), (5), учитывающих поляризацию оптического излучения.

• 3.1.    Дифференцирование по времени в отражении

Известно, что БРДС позволяет вычислять первую производную по времени от огибающей падающего импульса в отражении [2–4]. Дифференцирование возможно, поскольку коэффициент отражения БРДС в окрестности частоты волноводного резонанса (длины волны Брэгга) может быть приближённо представлен в виде [4]:

R ( to ) ~ i ( to-to ₀ ) , (10) что соответствует передаточной функции дифференцирующего фильтра. Приближение (10) справедливо в широком спектральном интервале для решёток с малым числом периодов (низкой добротностью резонанса). Отметим, что в работах [2 – 4] временное дифференцирование оптических импульсов рассматривалось без учёта пространственной структуры импульса.

Покажем, что при удачном выборе параметров БРДС может выполнять дифференцирование по времени огибающей падающего трёхмерного импульса. На левой половине рис. 2 б ( x <0) показана огибающая отражённого импульса, сформированного в результате дифракции Гауссового импульса

v(x,y,t) = exp{-(x2 + y2 )/o2 -12/a2}, (11)

с параметрами σ t =2 пс, σ =30 мкм, (рис. 2 а ) на БРДС с числом слоёв N l =9. Выберем центральную частоту падающего импульса ω0 так, чтобы она совпадала с нулём отражения БРДС: to 0 = 2nc / X b =1255,77 пс"¹. Добротность резонанса Q = Re to p / (-2Im a p ) = 35,7, где to p =1255,77-17,57 i пс"¹ - комплексная частота собственной моды решётки, вычисленная как полюс матрицы рассеяния [24].

Рис. 2. Огибающая импульса (компоненты E x ), падающего на БРДС с N l = 9 слоями (a); модуль огибающей отражённого импульса, вычисленной с использованием метода фурье-мод и выражения (4) (левая половина, x < 0); модуль производной по времени от огибающей падающего импульса (правая половина, x > 0) (б); модули огибающей отражённого импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной производной (пунктирная линия) при x = y = 0 (в). На врезках показаны

поверхности равного уровня огибающих падающего и отражённого импульсов в пространстве ( x, y, t )

В рассмотренном примере ширина импульса по уровню е^-1 составляет 2о = 60 мкм при t = 0. Рис. 2 подтверждает, что такой ширины падающего импульса достаточно, чтобы огибающая отражённого импульса (левая половина рис. 2 б, x <0) была близка к первой производной от огибающей падающего импульса dv ( x,y , t )/ d t (правая половина рис. 2 б , x <0): величина СКО для распределений на рис. 2 б составляет 5,2 %.

При этом амплитуда продифференцированного импульса неизбежно падает: в рассмотренном случае она составляет 2,5 % от амплитуды падающего импульса. На рис. 2 в для наглядности приведены модули огибающей отражённого импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной производной (пунктирная линия) как функции t при x = у = 0.

• 3.2.    Вторая производная по времени в отражении

В работе [5] было показано, что волоконная БРДС может вычислять вторую производную от огибающей падающего импульса в отражении. В указанной работе этот факт описывается для случая решётки с малой вариацией коэффициента преломления на основе известных аналитических выражений для элементов матрицы пропускания. В настоящей статье впервые показано, что система из двух дифференцирующих БРДС (БРДС с малым числом периодов), отделённых друг от друга слоем вакуума толщиной l = X в /4 (рис. 3), может выполнять временное дифференцирование второго порядка в отражении в планарной геометрии. Это возможно благодаря тому, что в окрестности длины волны Брэгга X в коэффициент отражения указанной системы имеет ноль второго порядка:

R(го) ~ (го-®0)2 (12)

(см. Приложение), благодаря чему передаточная функция линейной системы, описывающей преобразование импульса, совпадает с передаточной функцией идеального дифференциатора второго порядка. Указанный результат справедлив для БРДС из любых материалов и получен с использованием формализма

На левой половине рис. 4 б ( x <0) показана огибающая отражённого импульса, сформированного в результате дифракции Гауссового импульса с параметрами о t =5 пс, о = 60 мкм, центральная частота ГО = 2nc / X b = 1255,77 пс"¹ (рис. 4 а ) на БРДС с числом слоёв N i = 9. В рассмотренном примере длительность импульса по уровню е^-1 равна 2 с t = 10 пс при x = у = 0 (рис. 4 а ).

Рис. 3. Две дифференцирующие БРДС, разделённые слоем вакуума толщиной l

Уже при такой ширине огибающая отражённого импульса (левая половина рис. 4б, x >0) близка по форме ко второй производной по времени от огибающей падающего импульса d2v (x,у, t)/ dt2 (правая половина рис. 4б, x < 0): величина СКО распределений на рис. 4б составляет 6,4 %, амплитуда продифференцированного импульса составляет 0,05 % амплитуды

Рис. 4. Огибающая импульса (компоненты E x ), падающего на БРДС с N l = 9 слоями (a); модуль огибающей отражённого импульса, вычисленной с использованием метода фурье-мод и выражения (4) (левая половина, x < 0); модуль второй производной по времени от огибающей падающего импульса (правая половина, x > 0) (б); модули огибающей отражённого импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной производной второго порядка (пунктирная линия) при x = y = 0 (в). На врезках показаны поверхности равного уровня огибающих падающего и отражённого импульсов в пространстве ( x, у, t )

Для наглядности на рис . 4в приведены модули огибающей отражённого импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной производной второго порядка (пунктирная линия) как функции t при x = у=0.

• 3.3.    Интегрирование по времени в пропускании

В работе [6, 10] было показано, что волоконная БРДС может выполнять операцию интегрирования огибающей импульса в пропускании. Это возможно благодаря тому, что при большом числе периодов спектр пропускания БРДС как функцию частоты to при нормальном падении можно аппроксимировать функцией:

т ( ® ) = i Y R [Im { to p } /( to-to p )], (13)

где top - комплексная частота моды дефектного слоя, Yr – нерезонансный коэффициент отражения [22]. Передаточная функция, соответствующая функции пропускания (13), является ПФ интегрирующего фильтра и может быть записана в виде [10]: H(to) = iYRlm{top}(to+i/T)"1, где т= i/(too-top) - комплексный аналог постоянной времени. При увеличении числа периодов БРДС т^^ и передаточная функция H(to) приближается по виду к ПФ идеального интегратора.

На рис. 5 а приведена огибающая падающего импульса, совпадающая по форме с производной по времени от Гауссовой функции со следующими параметрами: σ t =0,1 пс, σ =50 мкм, центральная частота импульса to o = 2пс / 1 в= 1255,77 пс"¹. На левой половине рис. 5 б ( x <0) приведён модуль огибающей прошедшего импульса после дифракции на БРДС с числом слоёв N l =29 (случай высокодобротного резонанса).

Добротность резонанса Q = 7848,6, где to p =1255,77-0,08i пс^-1 - комплексная частота собственной моды решётки, вычисленная как полюс матрицы рассеяния [24]. Постоянная времени для рассчитанной структуры т = 12,5 пс на два порядка превышает длительность падающего импульса.

Рис. 5. Огибающая импульса (компоненты E x ), падающего на БРДС с N l = 29 слоями (a); модуль огибающей прошедшего импульса, вычисленной с использованием метода фурье-мод и выражения (5) (левая половина, x < 0); модуль интеграла по времени от огибающей падающего импульса (правая половина, x > 0) (б); модули огибающей прошедшего импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной первообразной (пунктирная линия) при x = y = 0 (в). На врезках показаны поверхности равного уровня огибающих падающего и прошедшего импульсов в пространстве ( x, y, t )

в)

В этом случае огибающая прошедшего импульса (левая половина рис. 5 б , x <0) близка к интегралу по времени от огибающей падающего импульса (правая половина рис. 5 б , x >0):

u_T ( t ) - J V ( t -т ) d T . (14) 0

СКО распределений поля на рис. 5 б составило 2,8%, амплитуда проинтегрированного импульса 0,8% от амплитуды падающего импульса. Для наглядности на рис. 5 в приведены модули огибающей прошедшего импульса (сплошная линия) и аналитически вычисленной первообразной (пунктирная линия) как функции t при x = y =0.

Заключение

В настоящей работе было теоретически описано преобразование огибающей трёхмерного оптического импульса при дифракции на брэгговской решётке с дефектным слоем в терминах теории линейных систем. Показано, что передаточная функция линейной системы определяется коэффициентом отражения (пропускания) БРДС. Показана возможность осуществления операций временного дифференцирования и интегрирования от огибающей падающего трёхмерного импульса. Теоретически обоснована и численно продемонстрирована возможность вычисления производной по времени второго порядка системой из двух дифференцирующих БРДС. Операции выполняются для падающего импульса, пространственный спектр которого достаточно узок, чтобы искажениями пространственного профиля импульса можно было пренебречь.

Представленные результаты строгого моделирования методом фурье-мод полностью подтверждают теоретическое описание. Данная работа обобщает известные операции временной обработки оптического сигнала на трёхмерный случай в планарной геометрии. Результаты настоящей работы могут найти применение при создании новых планарных устройств для полностью оптической обработки информации и аналоговых оптических вычислений.

Приложение

Матрица рассеяния S связывает комплексные амплитуды падающих на решётку волн и комплексные амплитуды рассеянных волн:

T

R

= S

• I.

. I 2 _

,

где R и T – векторы комплексных амплитуд отражённых и прошедших порядков дифракции, а I1 и I2 – векторы комплексных амплитуды волн, падающих на структуру сверху и снизу. В рассматриваемом случае БРДС существуют лишь нулевые порядки дифракции, и матрица рассеяния имеет вид:

S =

Г T R ^

I R T J ,

где R и T – комплексные коэффициенты отражения и пропускания БРДС.

Следуя [25, 26], матрица рассеяния системы S , состоящей из двух одинаковых БРДС, разделённых слоем диэлектрика (рис. 3), может быть получена в виде:

~

S = S ® L ® S ,

где L = exp{ikzl}E, l – расстояние между решётками, E - единичная матрица, ® - ассоциативная операция, определённая в [26]. Отметим, что материал разделя- ющего слоя должен совпадать с материалами над и под составной структурой, иначе матрицы рассеяния двух БРДС S в (17) перестанут иметь вид (16), поте- ряют симметричность, перестанут совпадать друг с другом и потеряют ноль в отражении (19). Итоговая матрица

S

имеет вид:

e ik z l T 2

S =

1 - e ² '^' R ²

R 1 ₊ e *( T ² - R ² )

₄        1 - e ²i R²

R

1 + e² k z ' ( T ² - R ² )

1 - e² k z 'R²

e ik z l T 2

1 - e ^V" ' R²

. (18)

Учитывая, что в окрестности длины волны Брэгга коэффициент отражения обращается в ноль (а коэффициент пропускания – в единицу), справедливо следующее их разложение по степеням ( ш ш» ):

R = а ( ш-ш ₀ ) + о ( ш-ш ₀ ) , T = 1 + в ( ш- ш » ) + о ( ш- ш » ) .

Подставляя разложения (19) в (18), получим коэффициент отражения исследуемой системы из двух БРДС в виде:

R = ( а ( ш-ш ₀ ) + о ( ш-ш ₀ ) ) х

1 + e2kz' (1 + 2р(и-ш0) + о(ш-ш0))

х--------г^.

1 - e ² 'k z ' ( а ( ш-ш 0 ) + о ( ш-ш ₀ ) )

Легко видеть, что при k z ' = п /2 структура имеет ноль отражения второго порядка:

j? = -2аР(ш-ш0 )2 + о (ш-ш0 )2.(21)

Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ (№ 15-07-00548 и № 16-29-11683) и Министерства образования и науки Российской Федерации. Авторы благодарят суперкомпьютерный центр Самарского университета за предоставленные вычислительные ресурсы.