Интеграция методов решения задач элементарной математики в курсе математического анализа как необходимый компонент профессиональной подготовки будущего учителя математики

В работе показано, каким образом может быть реализован принцип преемственности между школьным и вузовским математическим образованием в процессе подготовки учителей математики. Основой реализации является интеграция методов решения систем уравнений. Для этого исследуются специальные системы уравнений. Они могут быть рассмотрены как в курсе математического анализа, так и в спецкурсах.

The work shows how the principle of continuity between a general high school and a higher school mathematical education can be implemented by preparation of mathematics teachers. The basis for implementation is integration of methods of solution for the system of equations. For this purpose the special equations systems are investigated. It can be applied during the course of the mathematical analysis and in special courses as well.

Современный период развития общества характеризуется многочисленными интегративными процессами в экономической, политической, информационной, культурной и других сферах социальной жизни. В области образования сегодня наблюдается активизация этих процессов. Она вызвана развернувшейся гуманизацией образования, которая неизбежно ведет к его дифференциации. Дифференциация же, с точки зрения диалектической логики, представляет собой начало интеграции. Эти два процесса связаны между собой, хотя и противоположны друг другу.

Термин «интеграция» понимается как процесс развития, связанный с объединением в целое ранее разнородных частей и элементов. При этом интеграция математического образования исследует, в частности, взаимопроникновение и взаимосвязь математического содержания. В результате интеграции обучение превращается в целостную, завершенную, дифференцированную, в полной мере сформировавшуюся систему, которая затем развивается на основе предпосылок, созданных в процессе становления.

Современный этап развития образовательного пространства выдвигает новые, более жесткие, требования к подготовке будущих специалистов. Подго товка учителей математики предполагает не только приобретение студентами математических знаний, овладение методическими приемами преподавания, но и развитие у них способности к восприятию различных педагогических новшеств, умения их реализовать в условиях современного общества.

Главным ориентиром образования на современном этапе развития общества становится его гуманизация, одной из целей которой является направленность на овладение обучающимися основами современного миропонимания, на воспитание активной личности, владеющей культурным опытом человечества и способной стать субъектом творческой профессиональной деятельности. Рассмотрение будущего учителя математики как субъекта творческой профессиональной деятельности требует отыскания более оптимальных подходов к подготовке студентов вуза к профессиональной деятельности. Одним из основных компонентов подготовки будущего учителя математики к профессиональной деятельности является умение выпускника творчески применять полученные им в процессе обучения в вузе математические знания к решению задач школьного типа. Однако, как показывает опыт, бульшая часть будущих учителей математики редко привлекают знания из вузовского курса математического анализа в школьную практику.

Становится актуальной задача поиска новых путей организации преподавания курса математического анализа в вузе, которые обеспечили бы подготовку учителя математики, способного творчески мыслить и работать. Многие педагоги предлагают решать эту проблему путем интеграции тех или иных курсов. Так, например, С.А. Муханов считает возможным осуществить интеграцию курсов фундаментальных математических дисциплин, методики преподавания математики и элементарной математики1. Создание такого интегрированного курса имеет определенные трудности. В нем нельзя обеспечить последовательное и непрерывное прохождение учебного материала каждой из составляющих. Продолжительность изучения предложенных для интеграции курсов различна. Кроме того, в программах курсов есть значительные фрагменты, которые затрагивают вопросы, в других курсах не встречающиеся. Поэтому основная задача интеграции сводится к следующему: найти возможные точки сближения различных курсов и составить проект, который позволял бы в этих точках максимально подробно в рамках данной дисциплины и одновременно в максимальной связи с остальными курсами осветить данный вопрос.

На наш взгляд, одним из путей решения проблемы может служить интеграция методов решения элементарных задач при изучении фундаментальных курсов, в частности курса математического анализа. Покажем это на примере решения систем уравнений.

Авторами ранее исследован класс уравнений специального вида с функцией двух переменных2. Эти приемы могут быть перенесены и на системы уравнений.

Рассмотрим примеры.

П р и м е р 1. Решите систему уравнений

( ( x + 2 у ) ² + 2 x ² ( x + 2 у ) ) + x ² + x + 2 у | = ( 2 x ² + 1 ) 5 + x ² + 1, ⁽ x + у ^{) 3 + 2 ( x} + у ) = 1.

Р е ш е н и е. Если положить

F ( x , У ) = ( у ² + 2 x ² у ) 5 + x ² + у |, g ( x , у ) = x + 2 у , h ( x , у ) = 1 , f ( t ) = t ³ + 2 1 , u ( x , у ) = x + у , то система запишется как

F ( x , g ( x , у )) = F ( x , h ( x , у )), . ^{f ( u ( x} , у )) = ^{f ( —}0

Функция f (t) возрастает, поэтому второе уравнение системы равносильно уравнению x + у = -1. Легко заметить, что функция ^(x, у )= —2x2 — у является инвариантом функции F(x, у ) по переменной у. Поскольку F(x, у ) строго возрастает по у на [— x2,^), то первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений x + 2 у = 1, 2 x2 + x + 2 у = -1

.

Поэтому система эквивалентна совокупности двух систем уравнений x + 2 у = 1, J2 x + x + 2 у = — 1, x + у = —1; [ x + у = —1.

Решая их, получаем, что заданная система уравнений имеет три решения: (-3; 2), (1; -2), (-1/2; -1/2).

П р и м е р 2. Решите систему уравнений у3 + (у + x )3 + (x +1)3 + (2 x +1)3 = 0, (у — x )2 — x )/((у — x )2 + x)+ (4 — x )/(4 + x )= 0.

Р е ш е н и е. Если определить

F 1 ^{( x} , у ) = у ^{3 +}( у ^{+ x} ) 3 , g ( x , у ) = у , h ( x , у ) = x + 1, ^F 2 ^{( x} , у ) = ( у ² — ^x )/( у ² + ^x ) u ( x , у ) = у — x , v ( x , у ) = 2, то систему можно записать в виде F ( x , g ( x , у )) + F 1 ( x , h ( x , у )) = 0, F ₂ ( x , u ( x , у )) + F ₂ ( x , v ( x , у )) = 0.

Заметим, что функция Ф 1 ( x , У ) = — x — У является антиинвариантом функции F 1 ( x , У \^п о переменной у, а функция ^ф 2 ⁽ x , У ) = x/y — антиинвариантом F 2 ( x , у ) по переменной у. Поэтому система равносильна системе уравнений

F 1 ^{( x} , g ^{( x} , У )) = ^F i ^{( x , — x —} h ^{( x} , У )) , F 2 ( x , u ( x , у )) = F 2 ( x , x / v ( x , У ))

Функция F1(x, у) строго возрастает по у. Следовательно, первое уравнение системы (1) эквивалентно уравнению у = —2 x — 1.

Функция F2(x, у) является четной и дробно-квадратической по переменной у, х = 0 — ее особая точка. Поэтому второе уравнение системы (1) — следствие совокупности двух уравнений у — x = xj2, у — x = — x/2. (2) При этом «потерянными» решениями при переходе от второго уравнения к совокупности уравнений (2) могут быть только решения уравнения x = 0, т.е. пары (0,у), где у е R. Поскольку F2 (0,у) = 1, то пары (0, у) не являются решениями исходной системы. Отсюда следует, что система равносильна совокупности двух систем

² x + у = ^—1, 2 x + у = — 1, 3 x — 2 у = 0; x — 2 у = 0.

Поэтому исходная система имеет два решения: ( — 2/7; — 3/7 ) и ( — 2/5; — 1/5 ) .

П р и м е р 3. Решите систему уравнений

( у ² + 4 ) ( ( 2 x + у ) ² + у ² ) = ( 4 у ² + 1 ) У ² ( 2 x + у ) ² + 1) ( x ² + 4 ) ( x ² + ( x — у ) ² ) = ( 4 x ² + 1 ) ( x ² ( x — у ) ² + 1 )

Р е ш е н и е. Если положить

^F ( ^x , У ) =

x ² + У ²

x ² + у ² + 1 ’

g ( x , у ) = 2 x + у , h ( x , у ) = 2,

u ( x , у ) = x — у , v ( x , у ) = 2 , то систему можно записать как

F (g (x, У ) У) = 1/ F (h (x, У ) У )

F ( x , u ( x , у )) = 1/ F ( x , v ( x , у ))

Легко заметить, что функция ф ( x , у ) = V x является ф -инвариантом функции F ( x , у ) по переменной х, если считать ф ( x , у ) =V x , а функция ф ( x , у ) = 1 у — ф -инвариантом функции F ( x , у ) по переменной у, если положить ф ( x , у ) = 1/ у . Поэтому система будет следствием системы уравнений

_ ^{F (} g ^{( x} , У ) У ^{) = F (} V ^{h ( x} , У ) , У )

_ F ( x , u ( x , у )) = F ( x ,1 v ( x , у )).      ⁽³⁾

Функция F ( x , у ) является четной и дробно-квадратической по переменной х, числа ±1 — ее особые точки. Такой же она будет и по у . Так как F ( x , ± 1 ) = 1 , F ( ± 1, у ) = 1 , то четыре пары (1; ±1), (-1; ±1) — решения системы (3). Так как F ( x , у ) — взаимно-однозначная функция по х на ( 0, ^ ] при | у | ^ 1 и взаимно-однозначная функция по у на ( 0, ^ ] при | x| + 1 , то система (1) при | x | ^ 1 и | у | ^ 1 равносильна совокупности четырех систем

• 2    x + у = ± 1/2, x — у = ± 1/2.

Решив эти системы, находим, что пары ( 1/3; — 1/6 ) , ( — 13;Ц6 ) и ( 0; ± Ц2 ) — решения системы (3).

Заметим, что «потерянных» решений при переходе от заданной системы к системе (3) нет. (Ими могут быть пары (х, у), которые удовлетворяют условиям h ( x , у ) = 0 и v ( x , у ) = 0 .)

В итоге получили, что заданная система имеет 8 решений: (1; ±1), (-1; ±1), (1/3; -1/6), (-1/3; 1/6) и (0; ±1/2).

П р и м е р 4. Решите систему уравнений

/ ( 3 x — 5 ) ( ( x + 1 ) ² + у ² ) = ( x + 1 ) ( ( 3 x — 5 ) ² + у ² ) _ ^{( 3 у + 5} ) ( ^{x 2 +( у — 1 ) 2 )= ( у — 1 )( x 2 + ( 3 у + 5 ) 2} )

Р е ш е н и е. Если определить

F(x, у)=         , xy

g(x,у)= x +1, h(x,у)= 3x — 5, u (x, у )= у — 1, v (x, у )= 3 у + 5, то систему можно записать как

<

F ( g ( ^x , У ) У ^{)— 1} F ^{( h} ( x , У ) У X F ( x , u ( x , у )) — 1/ F ( x , v ( x , у )) .

Заметим, что функция ф1 (x,у)=у2 /x является инвариантом функции F(x, у ) по переменной x, а функция ф2 (x, у )=x2/y — по переменной у. Поэтому первое уравнение системы на ОДЗ будет следствием совокупности уравнений y2

• 3    x - 5 = x + 1,       = ^{3 x -} 5,

x + 1

второе уравнение — совокупности урав- нений

x ²

• 3    у + 5 = у - 1,       = ^{3 y +} 5.

у - 1

Отсюда получаем, что исходная си- стема является следствием совокупности четырех систем уравнений x — 3, x — 3,

У —- 3; x ² = 3 у ² + 2 у - 5;

у — 3 x — 2 x — 5, . у = ^- 3;

'у ² — 3 x ² - 2 x - 5,

x ² — 3 у ² + 2 у - 5.

Решение первой системы — ( 3; - 3 ) , решения второй — ( 3; ( - 1 ± 743 V 3 ) , решения третьей — Ц-1 ± 743 )/ 3; - 3 ) . Решим четвертую систему. Имеем:

у ² - x ² — 3 ( x ² - у ² ) - 2 ( x + у ) ,

( у + x X2 ( y - x ) + 1 ) — 0.

Отсюда следует, что или у — - x , или y — ( 2 x - 1 ) /2 . Если у — - x , то 2 x ² - 2 x - 5 — 0 . Тогда x — ( 1 ± 711 )/ 2 и, значит, пары (( 1 ± 711 )/ 2; - ( 1 ± 711 )/ 2 ) — решения системы. Если же у — ( 2 x - 1 )/ 2 , то 8 x ² - 4 x - 21 — 0. Тогда x — ( 1 ± 743)/4 и, следовательно, пары ((1 ± T43)/4; (-1 ± ТЙ)/4) — решения системы.

Выясним, произошла ли потеря решений при переходе от исходной системы к совокупности систем уравнений (4).

Пусть ( x ₀, у ₀ ) — решение исходной системы, не являющееся решением совокупности систем (4). Тогда ( x ₀ , у ₀ ) — решение первого уравнения системы.

Предположим, что g ( x ₀, у ₀ ) — 0 и уУд ⁽ x 0 , у 0 ) * g ⁽ x 0 , у 0 ) • ^Тогда ^ф унк ^ция f ( x ) — F ( x , у 0 ) значение F ( h ( x 0 , y 0 ), y 0 ) принимает трижды, ибо

^{F (} h ^{( x} 0 , у 0 ) у 0 ^{)— F (} g ^{( x} 0 , у 0 ) у 0 ^{) —}

= ^F ( У 0 ² / g ^{( x} 0 , У 0 ^{)) .}

Но это невозможно, ибо решение уравнения f(x) = c сводится к квадратному уравнению. Поэтому, если (x0, у0) — «потерянное» решение исходной системы при переходе к совокупности систем (4), то или g (x 0, у 0)— 0, или У02/g(х0,У0)— g(x0,У0). , Аналогично убеждаемся, что или u(x0,у0)— 0, или x0/u(x0,У0)— u(x0,У0). Отсюда получаем, что пара (x0, у0) является решением совокупности систем x +1 — 0, x +1— 0, у -1 — 0; _x2 —(y -1)2;

у ² — ( x + 1 )² , _ У ^{2 — (} x ^{+ 1 ) 2}, \ у - 1 — 0;      I x ² — ( у - 1 ) ².

Решения этой совокупности систем — множество пар ( - 1;1 ) , ( - 1;0 ) , (- 1;2 ) , ( 0;1 ) , ( - 2;1 ) , ( - 12; - 12 ) и ( x ; x + 1 ) , где x е R . Подставив их в исходную систему, убеждаемся, что первые 6 решений совокупности систем (5) не являются ее решениями. Положим в исходной системе у — x + 1 . Тогда

2 ( x + 1 ) ² ( 3 x - 5 ) — ( x + 1 ) ( ( 3 x - 5 ) 2 + ( x + 1 ) ² J, 2 ( 3 x + 8 ) x ² — x ( x ² + ( 3 x + 8 ) 2 )

Отсюда легко получить, что

( ( 3 x - 5 ) - ( x + 1 ) ² ) — 0,

(( 3 x + 8 ) - x ) ² — 0.

Последняя система не имеет решений. Отсюда следует, что при переходе от исходной системы к совокупности систем (5) «потерянных» решений нет. Поэтому решениями исходной системы являются пары ( 3; - 3 ) , ( 3; ( - 1 ± 743 )/ 3 ) , (( 1 ± 743 ]/ 3; - 3 ) , ((1 ± ТЙ)/2;(-1 ± Т11)/2) и ((1 ± 743)/4;(-1 ± 74э)/4) .

Наблюдения за ходом формирования у будущих учителей математики творческой активности свидетельствуют о том, что в процессе подготовки учителя к предметно-педагогической деятельности мы получаем качественно нового учителя математики, способного творчески мыслить; находить оригинальные решения математических задач; составлять новые задачи; находить и дифференцировать по степени сложности вариативные пути преодоления трудностей; выде лять новые функции учебных и познавательных задач.