Математическая модель комплексной оценки эффективности реализации проектов с учетом рисков

Современное строительное производство характеризуется высокой сложностью, значительной продолжительностью инвестиционно-строительного цикла и участием большого количества контрагентов – от проектировщиков и поставщиков до подрядных организаций различных уровней. В таких условиях ключевое значение приобретает способность застройщика или генерального подрядчика объективно оценивать как промежуточные результаты реализации проекта, так и итоговую эффективность всей совокупности выполненных работ. Для обеспечения возможности сравнения различных проектов между собой, а также для объективного контроля хода реализации необходим единый количественный показатель – интегральный показатель общей эффективности процесса. При его построении принципиально важным становится выбор способа свертки частных критериев в общую оценку. Объектом оценки в рамках разработанной модели выступает процесс реализации строительного проекта, который структурирован как последовательность семи основных этапов:

• 1.    Планирование проекта.

• 2.    Выполнение части работ собственными силами.

• 3.    Поиск подрядчика и заключение договора.

• 4.    Выполнение работ подрядчиком по договору (параллельно этапу 2).

• 5.    Сдача-приемка всех работ.

• 6.    Эксплуатация объекта.

• 7.    Завершение цикла и улучшения (в том числе параллельно внедрение корректирующих действий подрядчиком). [1]

Целью данной работы является разработка и описание математической модели, позволяющей количественно оценить эффективность протекания указанных этапов и проекта в целом, при этом учитывается взаимозависимость ключевых аспектов управления проектом: содержания, времени, стоимости и рисков.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ

Для всесторонней характеристики успешности строительного проекта выделены четыре ключевых критерия:

Ключевыми критериями, всесторонне характеризующими успешность строительного проекта, выступают:

• 1.    Качество (Q) – отражает степень соответствия результатов проекта установленным требованиям, техническим регламентам и ожиданиям заказчика.

• 2.    Соблюдение сроков (T) – характеризует своевременность выполнения как отдельных этапов, так и проекта в целом.

• 3.    Экономическая эффективность (E) – оценивает результативность использования ресурсов и включает как соблюдение бюджета, так и итоговую доходность проекта.

• 4.    Надежность или Рискоустойчивость (R) – характеризует способность процесса противостоять возникновению сбоев, отказов и нештатных ситуаций.

Выбор именно этих четырех критериев обусловлен их комплексностью, поскольку они охватывают все ключевые аспекты управления проектом: содержание, время, стоимость и риски, а также практической значимостью для принятия управленческих решений.

Существуют различные подходы к формированию интегральных показателей: аддитивный (взвешенная сумма), мультипликативный (произведение взвешенных компонент), а также смешанные формы. Аддитивные модели просты в расчете и интерпретации, однако они допускают компенсацию низких значений одних показателей за счет высоких значений других. Мультипликативные модели, напротив, более чувствительны к «слабым звеньям», что критически важно для строительных проектов с высокими требованиями к безопасности и надежности. Смешанный подход позволяет комбинировать преимущества обоих методов в зависимости от специфики оцениваемых групп показателей. [2]

Учитывая высокую степень неопределенности и рисков в строительстве, в качестве базовой формы предлагается использовать мультипликативную свертку, так как она автоматически ужесточает требования ко всем составляющим процесса и не позволяет «перекрыть» провалы в управлении рисками за счет перевыполнения плана по срокам или бюджету.

Интегральный показатель общей эффективности процесса реализации строительного проекта представлен в мультипликативной форме:

,                                                        (1)

где I е [0,1] - интегральный показатель эффективности процесса; Q е [0,1] - интегральный показатель качества; T е [0,1] - интегральный показатель соблюдения сроков; E е [0,1] - интегральный показатель экономической эффективности; R е [0,1] - интегральный показатель уровня надежности проекта (рискоустойчивость); а, в, у, 5 > 0 - весовые экспоненты, характеризующие относительную значимость каждого компонента, условие нормировки: а + в + у + 5 = 1, что обеспечивает сохранение результата в диапазоне [0,1].

Полученное значение интегрального показателя общей эффективности процесса I интерпретируется по шкале, представленной в таблице 1.

Таблица 1. Шкала интерпретации результата оценки I

Диапазон I	Интерпретация интегральной оценки процесса
[0,90; 1,00]	Отличная эффективность (процесс оптимизирован)
[0,75; 0,90)	Хорошая эффективность (требуются незначительные улучшения)
[0,60; 0,75)	Удовлетворительная эффективность (требуются улучшения)
[0,45; 0,60)	Неудовлетворительная эффективность (есть критические проблемы, требуется подробный анализ причин и запуск процесса решения проблем)
[0; 0,45)	Недопустимая эффективность (процесс фактически не функционирует, требуется полная переработка)

Следует отметить, что из-за нелинейности мультипликативной формы, средние значения показателей будут приводить к меньшему I , чем в аддитивной модели, что является особенностью данного подхода.

Преимущества мультипликативной модели заключаются в том, что она отражает системный характер процесса; учитывает взаимозависимость показателей; поддерживает принцип «безопасного минимума» – ни один компонент не должен быть низким; подходит для высокорисковых, регулируемых или критически важных сценариев аутсорсинга. [3]

Преимущества мультипликативной модели заключаются в чувствительность к «слабому звену» отсутствие компенсации низких показателей высокими и гибкости взвешивания через выбор степеней.

Интегральный показатель качества Q представляет собой комплексную метрику, которая агрегирует результаты оценки по всем семи этапам процесса и глобальные интегральные показатели, характеризующие проект в целом:

,

*—^=1

где Q - интегральный показатель качества; 5^ - сводный интегральный показатель качества, объединяющий глобальные метрики (OPPI, OER, CRI, ); – сводный показатель качества по k-му этапу (k = 1…7); – вес интегральной группы (0 ≤ ≤ 1); – вес поэтапной группы ( = 1 – ); – вес k-го этапа внутри поэтапной группы (∑ = 1).

При этом, при оценке ЧР отдельные параметры риска учитываются следующим образом:

Сводный интегральный показатель качества агрегирует четыре ключевых глобальных метрики, предварительно приведённых к безразмерной шкале [0, 1] с помощью функций нормализации :

, (3)

где OPPI, OER, CRI, – значения соответствующих глобальных показателей (рассчитываются по формулам из таблицы 2, Yj - веса значимости каждого глобального показателя (^у, = 1), fj (x) - функция нормализации, преобразующая исходное значение в оценку от 0 до 1.

В Таблице 2 приведены глобальные показатели качества процесса.

Таблица 2. Глобальные показатели качества процесса

Название показателя	Описание показателя	Формула	Критерии оценки (нормативный уровень)
1.Индекс     общей результативности проекта     (Overall Project Performance Index – OPPI)	Комплексная оценка достижения целей проекта по срокам, бюджету и качеству	OPPI^/^ + ^.^+u.^ T fact        C fact        Q fact	Цель: >1,0. Допустимо: 0,9-1,0. Критично: < 0,9
2.Коэффициент эффективности аутсорсинга (Outsourcing Efficiency Ratio – OER)	Сравнение эффективности внешних и внутренних исполнителей по стоимости, срокам и качеству	C own   |    1 Qwn   |    D own _ C plan,own   T plan.own    D plan,own C out |   T out | D out C plan,out    T plan.out    D plan,out	Цель: >1. Допустимо: 0,951,0. Критично: < 0,9
3.Коэффициент надёжности подрядчика (Contractor Reliability Index – CRI)	Оценка подрядчика по истории сотрудничества	сш = ^.ecM x 10Q% N total	Цель: >90%. Допустимо: 8090%. Критично: < 80%
4.Доля аутсорсинга в общем объёме работ Dout	Стратегический показатель уровня использования внешних ресурсов	Kmf D out = -^-*100%	Норматив: Определяется стратегией компании (например, 30-50%)

Для каждого глобального показателя задаётся целевой интервал и правило преобразования. Примеры функций нормализации представлены в таблице 3.

Сводный показатель качества по этапу формируется для каждого этапа k на основе набора частных метрик Общая формула для расчета данного показателя следующая:

Таблица 3. Примеры функций нормализации для соответствующих показателей

Показатель	Желаемое значение	Функция f(x)	Примечание
OPPI	> 1,0	f(x) - min(1,max(o- o2 })	0 при x ^ 0,8; 1 при x > 1,0
OER	> 1	/(х) - mln(1,max(o>o3 })	Цель > 1,0; допустимо > 0,9
CRI	> 90%	/(х) - mln(l,max{° 2o })	В процентах
^ out	В целевом диапазоне [30%,50%]	1 х - 40 I f(x) - 1     Ю	Максимум при 40%, >0 при x e (30,50), =0 при x^30% и x>50%

,                                              (4)

*-'m=l где – количество показателей на этапе k,     – значение m-го показателя этапа k,     – функция нормализации для данного показателя,     – вес m-го показателя внутри этапа (∑     = 1). В таблице 4 приведен фрагмент сводной таблицы показателей качества по этапам процесса.

Таблица 4. Фрагмент сводной таблицы показателей качества по этапам процесса

Этап	Название показателя	Описание показателя	Формула	Критерии оценки
1. Планирование	1.1. Точность оценки стоимости	Отклонение фактической стоимости работ от плановой	AC-£ foct -C pIa„ x10o% ^ plan	Цель: ^ ±5%. Допустимо: ±510%. Критично: > ±15%
	1.3. Полнота учёта рисков	Доля идентифицированных рисков, которые были учтены в планировании и позже реализовались	^-^^xiooo/o ^ realized	Цель: > 80%. Допустимо: 60 80%. Критично: < 60%
2. Выполнение собственными силами	2.1. Выполнение плана проекта	Процент выполнения запланированных объёмов работ за период	vp - ^Ц x ioo% v plan	Цель: 100%. Допустимо: 95-100%. Критично: < 90%
	2.3. Коэффициент текучести кадров	Влияние кадровой стабильности на качество	Ktek-^ - xioo% ^ avg	Цель: <5%. Допустимо: 5-10%. Критично: >10%
3. Поиск подрядчика	3.1. Эффективность тендерных процедур	Соотношение количества заключённых договоров к числу рассмотренных кандидатов	„      _ ^contract d nnn/ ^ tender - ^      X ioo %	Цель: 10-30%. Критично: < 5%
4. Выполнение работ по договору	4.1. Индекс выполнения договорных обязательств подрядчиком	Комплексный показатель соблюдения стоимости и качества	I contr -^Pan-(1-D d e f ) ^ fact	Цель: > 0,95. Допустимо: 0,85-0,95. Критично: < 0,85
5. Сдача-приемка работ	5.1. Коэффициент дефектности	Количество выявленных дефектов на единицу стоимости работ	_ Mdef ^ def - T ^ work	Цель: <1замечания/млн руб. Критично: > 2
6. Эксплуатация	6.1. Интенсивность отказов	Количество гарантийных случаев за месяц	л    ^ warr Ap - с T 1 oper	Цель: < 0,5 случая в месяц. Критично: > 1,0
7. Завершение цикла	7.2. Эффективность корректирующих действий	Доля мероприятий, которые привели к устранению выявленных проблем	^ S kd -^Xiooyo ^ impl	Цель: > 70%. Допустимо: 50-70%. Критично: < 50%

Все веса ( , , , , ) для расчета интегрального показателя качества Q устанавливаются экспертным путём и утверждаются в системе менеджмента качества. В таблице 5 приведены критерии оценки качества.

Показатель времени Т имеет полностью сквозной характер – он характеризует уровень выполнения плановых сроков выполнения соответствующих работ и задач по всем этапам процесса. В

Таблица 5. Критерии оценки интегрального показателя качества Q

Диапазон Q Оценка Комментарий [0,95; 1,0] Отлично Проект выполнен на высоком уровне качества, практически все цели достигнуты [0,8; 0,95] Хорошо Проект выполнен на хорошем уровне качества, все ключевые цели достигнуты, есть области для улучшений [0,6; 0,8) Удовлетворительно Приемлемое качество, но есть области, требующие разработки и внедрения корректирующих действий [0; 0,6) Неудовлетворительно Качество проекта низкое, необходимы срочные корректирующие действия, пересмотр проекта рамках каждого этапа процесса всегда есть несколько таких работ, поэтому итоговое значение по-

где k – номер работы/задачи по порядку;     – фактическое время выполнения k-той задачи;

– планируемое время выполнения k-той задачи;  – общее количество задач в рамках этапа про цесса; S – номер этапа процесса.

Интерпретация показателя :

• = 1 – идеальное соблюдение сроков (все задачи выполнены не позже плана);

При задержке одной из задач на 100% (факт = 2 × план) вклад этой задачи в экспоненту составляет e⁻¹ ≈ 0,37, что сильно снижает , но не обращает его в ноль;

• → 0, но не достигает его, если хотя бы несколько задач имеют задержку более 100%.

Общий показатель представляет собой экспоненциальное убывание. Это гарантирует, что даже при больших задержках значение остаётся положительным, но стремится к нулю по мере роста отклонения, что отражает «почти катастрофический» сбой, не обнуляя проект полностью.

Для определения T необходимо далее определить среднее геометрическое значение временных показателей по всем этапам процесса (всего их N = 7):

,

где – весовые коэффициенты важности этапов с точки зрения сроков их выполнения, ∑ = 1.

Если веса не используются, считая этапы эквивалентными, то формула (6) преобразуется в сле- дующую:

Использование среднего геометрического оправдано, так как, если хотя бы один этап имеет очень низкий , то среднее геометрическое заметно снизит итоговый T , сохраняя чувствительность к «слабым звеньям».

Показатели экономической эффективности формируются в рамках всего процесса, т.е. они имеют глобальный характер и характеризуют процесс в целом. Выделено несколько показателей, которые охватывают базовые экономические характеристики, такие как коэффициент выполнения бюджета, рентабельность проекта и срок его окупаемости, показатель, оценивающий обоснованность аутсорсинга, и показатели, оценивающие затраты на качество. В таблице 6 приведены ключевые показатели экономической эффективности.

Для получения обобщённой оценки экономической эффективности предлагается интегральный показатель E , агрегирующий все вышеперечисленные метрики после их нормализации:

,

где – значение j -го экономического показателя, ( ) – функция нормализации, приводящая исходный показатель к безразмерной оценке от 0 до 1, – весовой коэффициент значимости j -го показателя (∑ = 1). В таблице 7 приведены примеры функций нормализации.

Веса устанавливаются в зависимости от стратегических приоритетов компании. В таблице 8 указан диапазон и оценка экономической эффективности.

Таблица 6. Интегральные показатели экономической эффективности

Название показателя	Описание	Формула	Критерии оценки
1. Коэффициент выполнения бюджета (Budget Performance Index – BPI)	Отношение плановой стоимости проекта к фактической	Bpi _ Ср1ап Cfact	Цель: ^1,0. Допустимо: 0,95-1,0. Критично: < 0,95
2.Рентабельность проекта (Return on Investment – ROI)	Отношение чистой прибыли к общим затратам	ROI _ ’ — C fact х 100% Cfact	Цель: >15%. Допустимо: 5–15%. Критично: < 5%
3. Экономия от аутсорсинга (Outsourcing Savings – OS)	Доля экономии, полученной за счёт привлечения внешних исполнителей	/ Cown,eq; ^ i Cout,fact os = — l^_____1__________ O ° /      Cown,eqi ' Vi х 100%	Цель: >0%. Допустимо: 0%. Критично: < 0%
4.Коэффициент затрат на качество (Cost of Quality Ratio – CoQ)	Доля затрат, связанных с обеспечением качества и устранением дефектов	_ ,,   Ccontrol ^ Crework ^ Cwarranty CoQ _ Cfact х 100%	Цель: < 5%. Допустимо: 5-10%. Критично: >10%
5.Эффективность улучшений (Efficiency of improvements – EOI)	Экономический эффект от результативных мероприятий по улучшению	CactionsR EOI _------ actions	Цель: > 0,9. Допустимо: 0,7-0,9. Критично: < 0,5
6.Срок окупаемости проекта(Payback Period – PBP)	Период времени, за который чистый доход покрывает инвестиции	PBP _ mini:/ (It - C t ) >  Io	Цель: ^планового срока. Критично: превышение более 20%

За проведение оценки экономической эффективности проекта в рамках данного подхода отвечают следующие лица – руководитель проекта, отдел качества, экономический отдел.

Все весовые коэффициенты определяются по методу Саати и пересматриваются по мере от необходимости, а также зависят от типа проекта.

Для оценки процесса с точки зрения рисков используется методика, основанная на методе анализа видов и последствий отказов (FMEA). Риски оцениваются по всем этапам процесса согласно модели процесса, но с учетом специфики строительной отрасли [4].

Для интегральной оценки риска вводится новый показатель – рисконасыщенность (РН или RE, от risk exposure), характеризующий степень подверженности процесса риску. Этот показатель опре- деляется на основе оценок риска по всем отказам в рамках отдельного этапа процесса, после чего определяется интегральный показатель. Для каждого отказа в рамках конкретного этапа процесса определяется Число Риска Отказа (ЧРО), которое получается суммированием Чисел Риска (ЧР) по каждой причине в рамках всего отказа. Потом в рамках каждого этапа суммируются все ЧРО. Таким образом, получается число, характеризующее общий риск этапа, которое и называется рисконасы-щенностью, характеризующихся формулами 9 и 10:

,

где – Число Риска Отказа – суммарный показатель риска по конкретному отказу k в рамках s-го этапа, – Число Риска – оценка риска по каждой j -той причине k -го отказа, определяемая по методологии FMEA: где S, O, D – ранги значимости, возникновения и обнаружения.

Для использования данного показателя в интегральной функции необходима его нормализация в диапазоне [0,1]. Для нормализации используется подход, основанный на нелинейном сжатии с по-

Таблица 7. Примеры функций нормализации для экономических показателей

j	Показатель	Желаемое значение	Функция нормализации h(P)	Комментарий
1	Коэффициент выполнения бюджета (BPI)	> 1,0	ЫРг) = min (1, max ^0,Q 1 jj	0 при 0,9; 1 при >1,0
2	Рентабельность проекта (ROI)	> 15%	h2(P2) = min^max^ 10 jj	0 при ^5%; 1 при >15%
3	Экономия от аутсорсинга (OS)	> 0%	( 1,         P 3 > 10% ,          P3 + 10 h3^) = ) 3 20 - “10% - P 3 < 10% I 0,         P3< -10%	>10%даёт 1; <-10%даёт 0
4	Коэффициент затрат на качество (CoQ)	< 5%	h4(P4) = max(0,1 -^) при P4e[2%,10%]; 1 при P4<2%; 0 при P4>10%	Чем меньше, тем лучше
5	Эффективность улучшений (EOI)	> 0,9	h5(P5) = min^max^ 03 jj	0 при 0,7; 1 при >0,9
6	Срок окупаемости проекта (PBP)	^ план	h6^) = max ^0,1 - H^Q при P^1^P6ptan; и,э H g 0 при P6>1,5^P/Zan	Снижение при превышении срока

Таблица 8. Шкала интерпретации результата оценки E

Диапазон E	Оценка экономической эффективности
[0,9; 1,0]	Отлично - проект высокоэффективен, все целевые показатели достигнуты
[0,7; 0,9)	Хорошо - приемлемый уровень, отдельные показатели требуют внимания
[0,5; 0,7)	Удовлетворительно - есть существенные отклонения, необходим анализ причин
[0; 0,5)	Неудовлетворительно - экономическая эффективность низкая

Таблица 9. Шкала интерпретации результата оценки R и

Диапазон R	Уровень R	РН 11 норм,	Интерпретация	Управленческие действия
0,90–1,00	Очень высокий	0,00–0,10	Процесс близок к эталонному	Плановый мониторинг
0,75–0,89	Высокий	0,11–0,25	Отдельные факторы риска	Предупреждающие действия
0,50–0,74	Средний	0,26–0,50	Значительная неопределенность	Обязательное планирование рисков
0,25–0,49	Низкий	0,51–0,75	Повышенное внимание	Корректирующие действия
< 0,25	Критический	0,76–1,00	Процесс крайне ненадежен	Реинжиниринг

• * Примечание: Так как значение R стремится к 0 (РН_норм стремится к 1), но не достигает его (асимптота функции), значения < 0,25 считаются критическими.

мощью логистической функции, так как максимальное значение РН неизвестно:

PH =-- 1

,

1 + e~~d где d – коэффициент масштабирования, настраиваемый эмпирически на основе исторических данных по аналогичным проектам.

Функция всегда находится в диапазоне [0,1), устойчива к выбросам, не требует знания максимума. Показатель рискоустойчивости процесса R связан с нормализованной рисконасыщенностью:

R = 1-РЩ^ ,                            (12)

В таблице 9 приведена шкала результатов оценок R и Р^норм>

ВЫВОДЫ

Таким образом, в статье обосновано применение мультипликативной свертки четырех критериев (качества, сроков, экономической эффективности и надежности), реализующей принцип «слабого звена» и исключающей компенсацию провалов за счет перевыполнения плана, что критически важно для строительства с высокими требованиями к безопасности. Разработана иерархическая система показателей : качество декомпозировано до глобальных метрик и поэтапных оценок; экономическая эффективность агрегирует шесть показателей, включая эффективность аутсорсинга и затраты на качество; надежность оценена через показатель «рисконасыщенности» на базе FMEA с логистической нормализацией.

Модель адаптивна: весовые коэффициенты и функции нормализации настраиваются под приоритеты компании. Многоуровневая структура обеспечивает диагностику – низкий итоговый показатель декомпозируется до конкретного этапа или метрики, локализуя проблемные зоны. Включение анализа корректирующих действий замыкает цикл непрерывного совершенствования.

Дальнейшее совершенствование предполагает накопление статистики для калибровки параметров, автоматизацию расчетов, разработку типовых профилей весовых коэффициентов и интеграцию оценок в систему KPI для мотивации участников.