Математическое моделирование временного ряда количества преступлений в России

Автор: Кайбичев И.А., Кайбичева Е.И.

Журнал: Вестник экономики, управления и права @vestnik-urep

Статья в выпуске: 4 (49), 2019 года.

Бесплатный доступ

Предпринята попытка найти вид функциональной зависимости между числом преступлений на территории России и фактором времени. В процессе регрессионного анализа использованы наиболее известные функции, применяющиеся в экономике и биологии. В итоге выполненного исследования наиболее точное описание фактического количества преступлений в Российской Федерации получено в сплайновой модели с точками ДеМарко.

Математическая модель, количество преступлений, временной ряд, российская федерация

Короткий адрес: https://sciup.org/142226834

IDR: 142226834

Текст научной статьи Математическое моделирование временного ряда количества преступлений в России

***

Возможность криминологического моделирования поднята в работе Т.В. Пилюгина, Д.А. Натура "Использование математи- ческого моделирования при прогнозировании региональной преступности в вопросах ее предупреждения" [См.: 1]. При этом рассмотрена региональная преступность на примере Краснодарского края, в частности данные с марта 2011 по февраль 2013 года для аппроксимации которых была использована линейная модель [2]. Анализ преступлений в Чикаго в период с 2001 по 2015 годы выполнен Вахрушевым [3]. При этом наилучшие результаты дала регрессия на основе случайных лесов.

Разработанная в исследовании [4] математическая модель позволяет прогнозировать количество преступлений на заданном периоде времени на основе рекуррентной формулы, которая позволяет рассчитать прогнозное значение на основании данных данного месяца за прошлый год и трех предше- ствующих месяцев рассматриваемого пери- ода.

Такая модель основана на предположении, что число преступлений зависит от времени. Эта гипотеза нуждается в проверке. Для этого выполним корреляционный анализ данных по числу преступлений в Российской Федерации за период 2001-2017 годов [5-21]. Расчет коэффициента линейной корреляции Пирсона привел к значению 0,68. У нас всего 17 значений данных

(n=17). При малом объеме выборки выполняют перерасчет коэффициента линейной корреляции Пирсона [22]:

R ‘ = R

1 - R 2

1 + 2(n-3)

Это дает результат R = -0,70. Имеем ситуацию средней связи.

Выполним проверку уровня значимости рассчитанного коэффициента корреляции. Выдвигаем две гипотезы: Н0 - временной зависимости числа преступлений нет (R =0), Н1 - такая связь есть (R ≠0).

Проверку нулевой гипотезы проводят с помощью преобразования Фишера [22]:

11+R′ u=2ln1-R′ =- 0,86

Полученное значение сравнивали с критическим uα(n) =z1-α2√n-3

Z, CL где - квантили нормированного распределения, zl-y =1,96 при уровне значимости α = 0,05 и zi-| =2,576 для α = 0,01. Для нашего случая имеем u0,01(18) =0,67, uo,os(18) =0,51. Выполняется неравенство |u| > ua(n), поэтому принимаем гипотезу Н1. Следовательно, мы установили на- личие временной зависимости числа преступлений с вероятностью 0,99.

Имеющийся статистический материал не дает возможность проверить результаты работы [4]. Однако имеющиеся данные можно интерпретировать с помощью регрессионного анализа. Для этого рассмотрим возможные классы функций.

Линейная модель

Связь между числом преступлений и фактором времени (задаваемом номером года) аппроксимируем прямой линией, коэффициенты которой рассчитаем с помощью регрессионного анализа [22]:

Y м = --72,1743*Х + 14738,3 (4)

где Yм - модельное количество преступлений (тыс. ед.), Х - номер года.

Реальные значения переменной Y, как правило, отличаются от модельных величин Yм, рассчитанных по функции регрессии (таб. 1).

Таблица 1

Линейная модель

Год	Y (тыс.)	Y м (тыс.)	e	e 2
2001	2968,3	3317,5	-349,2	121958,6
2002	2526,3	3245,4	-719,1	517034,9
2003	2756,4	3173,2	-416,8	173703,2
2004	2893,8	3101,0	-207,2	42933,0
2005	3554,7	3028,8	525,9	276540,8
2006	3855,4	2956,7	898,7	807744,0
2007	3582,5	2884,5	698,0	487232,1
2008	3209,9	2812,3	397,6	158081,3
2009	2994,8	2740,1	254,7	64856,1
2010	2628,8	2668,0	-39,2	1533,3
2011	2404,8	2595,8	-191,0	36474,4
2012	2302,2	2523,6	-221,4	49021,7
2013	2206,2	2451,4	-245,2	60139,8
2014 2015	2190,6 2388,5	2379,3 2307,1	-188,7 81,4	35592,5 6628,3
2016	2160,1	2234,9	-74,8	5596,7
2017	2058,5	2162,7	-104,2	10865,3
2018	1991,5	2090,6	-99,1	9813,4
среднее	2704,1	2704,0	0,0	159208,3

В качестве показателя качества регрессионной модели часто используют среднее значение квадрата ошибки e^2 = 1n^ ei2 (5)

i=1

В нашем случае среднее значение квадрата ошибки для линейной модели составило 159208,3 (Табл. 1).

Среднее значение ошибки равно 0. Коэффициент линейной корреляции Пирсона между ошибкой и номером года также равен 0. Это позволяет считать ошибку случайной величиной.

Рис. 1. Сравнение фактических значений с линейной моделью

Отметим, что линейная модель не может объяснить имеющийся максимум, приходящийся на 2006 год (Рис. 1).

Сплайновая модель

Используем аппроксимацию кусочнолинейной функцией, называемой в математике сплайном

277,6873 ∗ X - 553185,2001 ≤X ≤ 2006,,

-188,884 ∗ X + 382757,7 2006 <^ ≤ 2018. (6)

Y_М = ^

Сплайновая модель (Таб. 2) дает меньшее среднее значение квадрата ошибки (95696,9) по сравнению с линейной моделью (4).

Таблица 2

Сплайновая модель

Год	Y (тыс.)	Y м (тыс.)	e	e 2
2001	2968,3	2467,0	501,3	251338,2
2002	2526,3	2744,7	-218,4	47677,1
2003	2756,4	3022,3	-265,9	70723,1
2004	2893,8	3300,0	-406,2	165019,1
2005	3554,7	3577,7	-23,0	529,6
2006	3855,4	3855,4	0,0	0,0
2007	3582,5	3666,5	-84,0	7058,6
2008	3209,9	3477,6	-267,7	71679,9
2009	2994,8	3288,7	-293,9	86404,6
2010	2628,8	3099,9	-471,1	221899,5
2011	2404,8	2911,0	-506,2	256215,8
2012	2302,2	2722,1	-419,9	176310,3
2013	2206,2	2533,2	-327,0	106934,7
2014	2190,6	2344,3	-153,7	23631,1
2015	2388,5	2155,4	233,1	54317,1
2016	2160,1	1966,6	193,5	37459,6
2017	2058,5	1777,7	280,8	78865,1
2018	1991,5	1588,8	402,7	162178,3
среднее	2704,1	2805,5	-96,1	95696,9

Отметим, что среднее значение ошибки равно -96,1. Коэффициент линейной корреляции Пирсона между ошибкой и номером года также равен 0,227. Это не позволяет считать ошибку случайной величиной.

Cплайновая модель также корректно описывает максимум, приходящийся на 2006 год (Рис. 2).

Сплайновая модель с точками ДеМарка

В сплайновой модели [6] был смоделирован единственный максимум, приходящийся на 2006 год. В техническом анализе валютного и финансового рынков часто

Рис. 2. Сравнение фактических значений со сплайновой моделью

применяют точки ДеМарка [23]. В таких точках значения меньше или больше двух соседних величин временного ряда. Среди фактических данных есть две точки минимума (2002 и 2014 год) и две точки максимума (2006 и 2015 год).

Рассмотрим аппроксимацию сплайновой функцией

Y М =

-442 ∗ X + 887410,3, ⎪^⎧ 332,275∗X-662688,

-208,1∗X+421304,

_⎪ 197,9∗X-396380, ⎩-129,238∗X+262802,4,

2001 ≤ X ≤ 2002,

2002 < X ≤ 2006, 2006<^ ≤ 2014, (7) 2014<^ ≤ 2015,

2015 < ^ ≤ 2018.

Использование точек ДеМарко (Таб. 3) уменьшило среднее значение квадрата ошибки до 37818,8.

Отметим, что среднее значение ошибки равно -132,2. Коэффициент линейной корреляции Пирсона между ошибкой и номером года также равен -0,055. Это позволяет считать ошибку случайной величиной.

Таблица 3

Сплайновая модель с точками ДеМарко

Год	Y (тыс.)	Y м (тыс.)	e	e²
2001	2968,3	2968,3	0,0	0,0
2002	2526,3	2526,3	0,0	0,0
2003	2756,4	2858,6	-102,2	10439,7
2004	2893,8	3190,8	-297,0	88238,7
2005	3554,7	3523,1	31,6	997,0
2006	3855,4	3855,4	0,0	0,0
2007	3582,5	3647,3	-64,8	4199,0
2008	3209,9	3439,2	-229,3	52578,5
2009	2994,8	3231,1	-236,3	55837,7
2010	2628,8	3023,0	-394,2	155393,6

2011	2404,8	2814,9	-410,1	168182,0
2012	2302,2	2606,8	-304,6	92781,2
2013	2206,2	2398,7	-192,5	37056,3
2014	2190,6	2190,6	0,0	0,0
2015	2388,5	2388,5	0,0	0,0
2016	2160,1	2259,3	-99,2	9833,2
2017	2058,5	2130,0	-71,5	5115,8
2018	1991,5	2000,8	-9,3	86,2
среднее	2704,1	2836,3	-132,2	37818,8

Рис. 3. Сравнение фактических значений со сплайновой моделью с точками ДеМарко

Заметим, что учет точек ДеМарко позволил более точно смоделировать фактические данные (Рис. 3).

Модель Ферхюльста

Для аппроксимации нашей ситуации используем функцию Ферхюльста которая часто используется в биологии для описания динамики популяции [24]:

93396,71 8

^{YМ =} 3417,3 - 3390,0 ∗ exp(-0,00235 ∗(X-2000)) (8)

Отметим, что среднее значение ошибки равно -11,3 (Таб. 4). Коэффициент линейной корреляции Пирсона между ошибкой и номером года также равен -0,118. Это позволяет считать ошибку случайной величиной.

Таблица 4

Модель Ферхюльста

Год	Y (тыс.)	Y м (тыс.)	e	e 2
2001	2968,3	3320,5	-352,2	124041,4
2002	2526,3	3229,1	-702,8	493865,0

2003 2004	2756,4 2893,8	3142,5 3060,6	-386,1 -166,8	149101,3 27806,1
2005	3554,7	2982,8	571,9	327122,6
2006	3855,4	2908,8	946,6	895995,2
2007	3582,5	2838,5	744,0	553539,5
2008	3209,9	2771,5	438,4	192193,1
2009	2994,8	2707,6	287,2	82478,1
2010	2628,8	2646,6	-17,8	317,3
2011	2404,8	2588,3	-183,5	33677,7
2012	2302,2	2532,5	-230,3	53058,2
2013	2206,2	2479,1	-272,9	74494,8
2014	2190,6	2427,9	-237,3	56334,5
2015	2388,5	2378,8	9,7	93,3
2016	2160,1	2331,7	-171,6	29444,7
2017	2058,5	2286,4	-227,9	51933,5
2018	1991,5	2242,8	-251,3	63162,3
среднее	2704,1	2715,3	-10,7	178258,8

Модель Ферхюльста дала наибольшее среднее значение квадрата ошибки (178258,8). При этом модельные результаты заметно отличаются от фактических (Рис. 4).

Рис. 4. Сравнение фактических значений с моделью Ферхюльста

В итоге выполненного исследования наиболее точное описание фактического количества преступлений в Российской Федерации получено в сплайновой модели с точками ДеМарко.

Предложенная математическая модель числа преступлений в Российской Федерации может быть использована для прогнозирования.

Список литературы Математическое моделирование временного ряда количества преступлений в России

Пилюгина Т.В., Натура Д.А. Использование математического моделирования при прогнозировании региональной преступности в вопросах ее предупреждения // Всероссийский криминологический журнал. 2017. Т. 11. № 1. C. 61-70.
Пилюгина Т.В., Пичкурено Т. А., Вендина А.А. Математические методы прогнозирования преступности // ASPECTUS. 2015. № 1. С. 98-103.
Вахрушев А.А. Прогнозирование уровня преступности на основе статистических данных: Магистерская диссертация. СПб: Санкт-Петербургский университет, 2016. 37 с.
Айкожаев Н.М., Шестопалова О.Л. Математическая модель прогнозирования динамики преступлений // Научное сообщество студентов XXI столетия. Технические науки: сб. ст. по мат. XLIV междунар. студ. науч.-практ. конф. (Россия, Новосибирск, 26 июля 2016 г.). 7(43). https://sibac.info/archive/technic/7(43).pdf
Российский статистический ежегодник 2003. Стат. сб. М.: Госкомстат России, 2003. 705 С.
Российский статистический ежегодник 2004. Стат. сб. М.: Росстат, 2004. 725 с.
Российский статистический ежегодник 2005. Стат. сб. М.: Росстат, 2005. 819 с.
Российский статистический ежегодник 2006. Стат. сб. М.: Росстат, 2006. 806 с.
Российский статистический ежегодник 2007. Стат. сб. М.: Росстат, 2007. 825 с.
Российский статистический ежегодник 2008. Стат. сб. М.: Росстат, 2008. 847 с.
Российский статистический ежегодник 2009. Стат. сб. М.: Росстат, 2009. 785 с.
Российский статистический ежегодник 2010. Стат. сб. М.: Росстат, 2010. 813 с.
Российский статистический ежегодник 2011. Стат. сб. М.: Росстат, 2011. 795 с.
Российский статистический ежегодник 2012. Стат. сб. М.: Росстат, 2012. 786 с.
Российский статистический ежегодник 2013. Стат. сб. М.: Росстат, 2013. 717 с.
Российский статистический ежегодник 2014. Стат. сб. М.: Росстат, 2014. 693 с.
Российский статистический ежегодник 2015. Стат. сб. М.: Росстат, 2015. 728 с.
Российский статистический ежегодник 2016. Стат. сб. М.: Росстат, 2016. 725 с.
Российский статистический ежегодник 2017. Стат. сб. М.: Росстат, 2017. 686 с.
Российский статистический ежегодник 2018. Стат. сб. М.: Росстат, 2018. 694 с.
21.Число зарегистрированных преступлений по видам. URL: http:// www.gks.ru/ Население/ Правонарушения / Основные показатели преступности / 10-01.doc.
Харченко М.А. Корреляционный анализ: Учебное пособие для вузов. Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2008. 31 с.
ДеМарк Т.Р. Технический анализ новая наука. М.: Изд-во "Евро", 2012. 178 с.
Соколов С.В. Модели динамики популяций: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭ-ТУ «ЛЭТИ», 2018. 61 с.

Еще

Статья научная