О применении математического аппарата при изучении вращательного движения в курсе физики

С.А. Соловьева

Переход человечества в постиндустриальную фазу своего развития приводит к новому типу экономики, в которой существенную роль играют технические и технологические знания. В процессе подготовки специалиста, способного эффективно действовать в новых условиях, в том числе готового к инновационной деятельности, существенную роль играет изучение математики.

В «Концепции развития математического образования в Российской Федерации» [6] подчеркивается значение математики как в создании инновационной экономики, так и в развитии способностей человека. Вместе с тем, значительная часть этого документа посвящена проблемам математического образования, обострившимся в результате социально-экономических изменений. Одна из трех выделенных групп – это проблемы содержательного характера. Отмечено, что содержание математического образования «остается формальным и оторванным от жизни», кроме того, «нарушена его преемственность между уровнями образования».

Одно из направлений работы по решению этих проблем – установление связей между математическими курсами, в том числе вузовскими, и другими дисциплинами, а также разработка таких методов и приемов преподавания высшей математики, которые будут демонстрировать студентам ее применение в их будущей профессии.

Внутри- и, особенно, межпредметной интеграции посвящено значительное число исследовательских работ. Например, в статье В.А. Тестова постулируется то, что научная картина мира, формируемая в процессе обучения, – это особая форма систематизации знаний [11]. В работе Л.В. Львова, М.В. Усынина выделяются уровни интеграции учебных дисциплин в высшей школе [10], а в исследовании Б.Н. Гузанова, К.А. Федуловой предложен план организации междисциплинарного обучения на основе проекто-модульного подхода [2].

Ряд исследований посвящен межпредметным связям конкретных дисциплин, практико-ориентированному обучению. Например, Н.А. Калеевой, З.Н. Краевой, В.А. Черновым рассматривается взаимосвязь курсов механики и прикладной геометрии [4], в Т.П. Кандауровой представлен опыт применения физических задач, содержание которых имеет профессиональную направленность [5]. В других современных исследованиях анализируются междисциплинарные связи математики с другими дисциплинами [3; 8; 12]. В частности, статья С.Н. Дво- ряткиной, А.А. Дякиной, С.А. Розановой посвящена интеграции гуманитарного и математического знания посредством использования информационных технологий [3]; в работе Т.Н. Литвиновой, Е.И. Панченко отмечается необходимость более глубокого изучения математической статистики студентами медицинских вузов [8]; В.М. Федосеев научно-исследовательскую работу студентов рассматривает в контексте межпредметной интеграции [12].

Часть работ посвящена исследованию методических связей между математикой и физикой. Например, И.В. Корогодина, Д.А. Коростелев анализируют возможность преподавания единого курса физики и математики [7]; Горбузова М.С., Коробкова С.А., Смыковская Т.К., Соловьева В.В. рассматривают возможность применения контекстных задач [1]; Л.Б. Лубсанова рассматривает межпредметные связи как форму индивидуального и дифференцированного подходов [9]. Работа T. Ames, E. Reeve, G. Stewardson, K. Lott посвящена оценке эффективности имеющегося опыта интегрированного обучения математике, физике и технологии.

Несмотря на проведенные исследования вопрос интеграции высшей математики с другими дисциплинами, в том числе с физикой, требует дальнейшей проработки. Данное исследование посвящено указанной проблеме, а его целью является анализ математического аппарата, применяемого при изучении одной из тем курса физики, а именно кинематики вращательного движения, для дальнейшего его учета при изучении высшей математики.

Методологической основой исследования является структурный подход. Все учебные дисциплины, изучаемые в рамках одной специальности, взаимосвязаны. Однако студенты в большинстве своем не могут самостоятельно, без помощи преподавателя, увидеть и осознать эти отношения. Между тем, технология демонстрации связей между курсами ме- тодически проработана довольно слабо и требует дальнейшего изучения. Так как в конечном итоге исследование направлено на поиск наиболее эффективных в со- временных условиях методов и приемов преподавания, то, помимо структурного, в работе используется технологический подход. Из общенаучных методов были применены анализ, синтез и сравнение.

Проанализируем сначала факты элементарной математики, используемые при изучении вращательного движения, а также уровень их освоения современ- ными студентами.

Во-первых, для вывода и использования ряда простейших формул, например, соотношений

T = —, N

N v = —, t v = T’

связывающих период T , частоту вращения v , время вращения t и количество сделанных оборотов N , требуются навыки беглого выполнения действий над дробями. Большинство студентов справляются с этими вычислениями достаточно хорошо. Однако в последние годы проявляется тенденция ухудшения знаний по данному разделу «школьной» математики, особенно среди студентов, обучающихся на договорной основе.

Во-вторых, при изучении вращательного движения довольно часто требуется использовать понятие радиана, а также связь меры угла (в радианах) и длины дуги, на которую он опирается. Следует отметить, что формирование понятия радиана у школьников связано со значительными методическими трудностями, в частности, у учеников часто вызывает недоумение факт выражения угла через длину. Формальное усвоение этих понятий и соотношений оказывает негативное влияние на их использование в приложениях математики, в том числе на применение естественной параметризации.

В-третьих, из геометрических знаний школьного курса при изучении вращательного движения нужны, например, теорема Пифагора, взаимное расположение

О применении математического аппарата при изучении вращательного движения в курсе физики

прямых и плоскостей в пространстве. Теорема Пифагора используется при выражении ускорения через его тангенциальную и нормальную составляющие. Перпендикулярность прямых, перпендикулярность прямой и плоскости используются при анализе взаимного расположения радиус-вектора r , вектора линейной скорости V и вектора угловой скорости со . Кроме того, само понятие угла поворота вводится на основе двугранного угла между плоскостями.

Далее проанализируем использование понятий математического анализа и высшей алгебры.

Поскольку угол поворота, угловые скорость, ускорение и многие другие величины зависят от времени, они представляют собой функции от времени. В случае равномерного движения угол поворота является периодической функцией. Далее, модуль угловой скорости ω – это производная угла поворота ϕ по времени:

dф Ас? со = — = lim--.

dt ^д^° Аг

Аналогично dco А(У е = — = lim--, dt м^° Nt где ε– модуль углового ускорения. Если же поставить задачу выразить ε через ϕ , то потребуется вторая производная:

d^

С.А. Соловьева

Для более глубокого изучение физического смысла производной в курсе высшей математики можно, наряду с линейными, рассматривать угловые скорость и ускорение, в том числе анализировать тип движения при различных сочетаниях знаков угловой скорости и углового ускорения. Например, если в некоторый мо мент времени t = 10 выполняется условие

* = 0 dt и при переходе через эту точку меняется знак производной, то в момент времени t = 10 угол поворота либо максимальный, либо минимальный, то есть в этот момент времени меняется направление вращения.

Для получения обратных зависимостей, например, для выражения угла ϕ через угловую скорость ю используется интегрирование:

t ср = jo dt.

О

Несмотря на то, что и дифференцированию, и интегрированию в курсе высшей математики уделяют самое пристальное внимание, при применении этих разделов при изучении вращательного движения в физике может возникнуть ряд трудностей, первая из которых связана с разницей в обозначениях. Далее, в курсе математического анализа чаще работают со скалярными функциями, а угловые скорость и ускорение получаются как производные от векторных величин:

_ dtp _ dco

СО = ----,  8 = ----.

dt dt

Кроме того, часто в приложениях (в том числе в рассматриваемой теме) используется интеграл с переменным верхним пределом, а в большинстве общих курсов математики этому понятию не уделено достаточное внимание.

Из материала векторной алгебры при изучении вращательного движения существенно используется векторное произведение векторов:

V = У х r где r - радиус-вектор точки вращающегося тела.

Для получения соотношений для тангенциального и нормального ускорений используют дифференцирование векторного произведения:

dV dco _ - dr

---=---X Г + СО X--, dt dt         dt а этой операции при изучении математики тоже уделяют мало внимания.

Итак, в работе проанализированы математические термины и формулы, используемые при изучении вращательного движения. Выявлены моменты, на которые следует обратить внимание в курсе высшей математики для успешной реализации межпредметных связей.

Дальнейшие исследования могут быть продолжены в направлении анализа математических соотношений, используемых в других разделах физики, и сбора материала для составления задач с практическим содержанием.