Обобщенные эрмитовые световые пучки в свободном пространстве

Интерес к эрмитовым пучкам или, точнее, модам Гаусса-Эрмита, обусловлен тем, что в свободном пространстве они распространяются без изменения своей структуры, изменяясь только масштабно, а в световых волокнах с параболическим профилем показателя преломления они распространяются и без изменения масштаба.

В работах [1,2] приведены разные аналитические выражения для мод Гаусса-Эрмита. Это послужило толчком к тому, чтобы выяснить степень различия и сходства двух разных форм эрмитовых пучков. Оказалось, что оба типа пучков являются частными случаями более общих модовых эрмитовых пучков.

Для того, чтобы сформировать в пространстве такие световые пучки, следует синтезировать на компьютере и изготовить по технологии микролитографии специальные дифракционные оптические элементы. Имеется ряд работ [3-5], по- священных расчету таких фазовых оптических элементов. В [3] они названы моданами. Для их расчета используется метод Кирка-Джонса кодирования с пространственной несущей частотой [6].

В [4] для расчета оптического элемента, генерирующего одномодовый пучок, используется итеративная процедура и вводится в рассмотрение вспомогательная область.

В [5] расчет ведется на основе итеративной аппроксимации функции пропускания транспаранта конечной суммой ортогональных мод.

В данной работе показано, что с энергетической точки зрения оптимальным дифракционным элементом, формирующим однородный эрмито-вый пучок является транспарант, функция пропускания которого равна знаковой функции соответствующего многочлена Эрмита.

Приведены также аналитические выражения, описывающие дифракцию Фраунгофера на таких фазовых элементах.

1. Два типа эрмитовых пучков

Известно, что частным решением параболического уравнения распространения

r|< z ) = arct

2 ik

I

5    52    52 I5z + 5x2 +5x2 v

E (x, y, z ) = 0

R (z ) = z

V

где k - волновое число света, ( x , y ) - поперечные и z - продольная координаты в пространстве, E ( x , y , z ) - медленно меняющаяся вдоль z ком-

плексная амплитуда светового поля, являются модовые функции вида 0:

R ( z ) - радиус кривизны модового пучка.

Функции E_m ⁽¹⁾ _n и E_m ⁽² _n ⁾ описывают разные световые пучки, так как порождаются разными граничными условиями. При z =0 вместо (2) и (6) получим:

E^ ( x , у , z ) = Л^ L ® < ^z z

E mn <  x , y ^{,0 )}= exp

1     1

x ² + y

X

X exp

22           , x ± У H I x \H I У I

7 / \ H n    ( \ Hm    / \ to 2 (z) J   V ®(z)J    V ®(z )J

® 0

I e,x I    I e,y I

X H n I ^j I H m I j j = 1,2

V ® 0 J V ® 0 J

,

где

( \ I 1 , iz 1 ² № < z ) =№ 0 1 +--I ,

\ z 0 J ktoo z0 = ~

H_n ( x ) - многочлен Эрмита, № ₀ — минимальный радиус пучка при z = 0, z 0 —конфокальный параметр.

Функция E_m ⁽¹⁾ _n при изменении расстояния z изменяется только масштабно, сохраняя свой вид. Поэтому решение (2) уравнения (1) можно назвать световой эрмитовой модой. Заметим, что моды (2) взаимно не ортогональны, что следует из справочного интеграла 0:

ю

J e ^{— 2} x² H_n ( x ) H m ( x )d x =

—ю m+n m+n-1   /           x

= hiut r| m + n + i I

I 2 J

где Г ( x ) - гамма-функция.

С другой стороны, известны взаимно ортогональные моды Гаусса-Эрмита, которые также являются частными решениями уравнения (1) [2]:

где 6 j =

Эти два типа модовых эрмитовых пучков отличаются также разным видом дифракции Фраунгофера. Световое поле E_m ⁽² _n ⁾ является собственной функцией оператора Фурье [8]:

J e ^{— x} 2 H_n ( V2 x ) e ^— i ² x ^ d x =

—ю

= л/ П ( - i ) ⁿ e ^{— e} Hn ( V2 ^ )

Это свойство мод Гаусса-Эрмита сохранять свою структуру не только в ближней зоне дифракции Френеля, но и в дальней зоне Фраунгофера (или в фокальной плоскости линзы) используется для эффективного ввода лазерного излучения в световые волокна [3].

Световое поле E _m ⁽¹⁾ _n , сохраняя свою структуру в зоне дифракции Френеля, в дальней зоне «вырождается» в поле с нулевой интенсивностью в центре. Это следует из выражения:

ю

J e ^— x² H_n ( x ) e ^— i ² x ^ d x = 7 Л ( - i ) ⁿ e ^— ^ < 2 ^ ) ⁿ .   (12)

—ю

E mn < x , y , z ) = -T ^exp t i ( n ± m ± 1 м z ^{) ]x} a ( z )

X exp

— ik ( x + y ) 2 R ( z )

exp

2      2

x + y a 2 (z ) .

^{X H} n

(:Hx "\h I a < z > J H

I V2 y I , a < ^z ) J

где

a< z ) =

I ro, v

1+ z2

z 0 J

2. Обобщенные эрмитовые пучки

Можно показать, что функции E_m ⁽¹⁾ _n и E_m ⁽² _n ⁾ из уравнений (2) и (6) являются частным случаем более общего решения уравнения (1), которое имеет вид:

E m3n) < x , y , ^z ) = A mn ^{( z} ) ^e xp ^[— B ^{( z ) (} x ² ± y ^{2 ) ] x}

C (z )J m V C (z)

X H n

где

m + n

A -( z ) = | 1 + * I ²

I z 0 )

iz

z 0

m + n i 2

,

B (z )= ю £ 211 + -||1 + z l    z0)l    z0.

+ k y 2 z о I ¹ + — l     z о.

- 1

C ( z ) = ® ₀ £

- 1

+

,

с аналогичной задачей для формирования бесселевых пучков [9].

Покажем в одномерном случае, что транспарант (19) эффективно формирует эрмитовый пучок n -го порядка. Для этого разложим функцию т _n ( x ) по ортогональным многочленам:

to sgn Hn (X) = £ C p) Hp (x)                  (20)

p = 0

где to

C ⁽p ⁿ ) = A J sgn [ H n ( x ) ] e ^- ^H,, ( x )d x ,         (21)

-to

A = ( 2 ⁿn ! jn ) . Для четных номеров n =2 l нули

Y =1- s ^-2, s - модовый параметр. При s =1 решение

(13) переходит в решение Е^П, а при s = (Л)

решение E mn переходит в E m ² ) .

Обобщенные эрмитовые световые пучки (13) порождаются с помощью комплексной амплитуды при z =0 вида:

E® ^{( x} , У ^{,о )} = exp

x ² + y ² ® 0

Выражение для комплексной амплитуды светового пучка (13) в дальней зоне следует из соотношения:

многочлена x_ki : H ₂ l ( x_kil )=0, будут расположены симметрично относительно точки x =0: x_-kl =- x_k>l . Тогда интеграл в уравнении (21) можно представить в виде суммы интегралов:

to

J sgn[H2l (x)] e — Hp (x)d x = -to to      ,l

= Je-x Hp(x)dx + 2(-1)l £(-1)k-1 х .(22)

—to xk, l2

х J e ^{- x} H_p ( x )d x

^{- x} k , l

С учетом справочного интеграла [7]:

e-x2 Hn(x)dx = Hn-1(0)- e-^2 Hn-,(^),(23)

to

J e ^{- x 2} H n

-to

- | e ^- i ^{2 x} ^ d x = Т П ( - i ) ⁿ Х

£ )

n     =2

^х(- Y ) 2 е ⁵ H n

%   ¹

,

l V^{1 - £} )

где s <1. При s= (J2)

уравнение (18) переходит

в уравнение (11). При s =1 используя ассимпто-

тику      Hn ( ю^ ) — " — ' >  2 ⁿ ( ю§ )ⁿ ,     получим:

( -Y )² H n

l

-kJ )

= (2 Q ⁿ . То есть уравнение (18)

переходит в уравнение(12).

3. Фазовый элемент для формирования эрмитова пучка

Для энергетически эффективного формирования эрмитовых пучков обоих типов предлагается в плоскости z =0 располагать фазовый оптический элемент с функцией пропускания:

^T mn ^{( Х} , У ) = ^S g ^{n [} H n ⁽ x ) H m ⁽ У ^{) ]} = = Sgn H n ⁽ X )Sgn H m ⁽ y )

вместо (22) получим следующее выражение для коэффициентов разложения (21):

C 22l) =[22 s-1(2 s)! jn]-1 Х l                2                 .                    (24)

х ( - 1) ^l £ ( - 1) ^k e ^x k^l H 2 s - 1 ( x k , l )

k = 1

При этом нечетные коэффициенты равны нулю.

Аналогично можно показать, что для нечет

ных многочленов Эрмита n =2 1 +1 имеет место следующее выражение для коэффициентов раз-

ложения (21):

C 22 ++ ¹ ) = [ 2^{2 s} (2 s + 1)! j n ] ^{- 1}( - 1) ^l Х

Х

lL            ²

H 2 s (0) + 2 £ ( - 1) ^k e ^x k^l H 2 s ( x k , l )

k = 1

где

^H 2 1 + 1 ^{( x} k , l ) = ⁰ ,

H _{2 s} (0) = ( - 1) ^s ■ 2 ^s ■ 3 ■ 5 ■ 7...

(25-1)

Четные коэффициенты равны нулю.

Таким образом, освещая оптический элемент с пропусканием (19) коллимированным гауссовым пучком с амплитудой exp [ - ( x ² + y ² ) /2 ] , получим

где sgn( x ) - знаковая функция.

Задача поиска оптимального фазового фильтра, формирующего эрмитовые пучки сходна с поле за элементом в виде суперпозиции эрмитовых пучков, один из которых будет энергетически преобладать среди прочих с эффективностью около 70%:

to e- %2/2 sgn[Hn (%)]= £ C (n) (e- %22 Hp(%)) p= 0

4. Дифракция Фраунгофера для транспаранта со знаковой функцией пропускания

Для расчета дифракции Фраунгофера плоской волны на участке [- a , a ] оптического элемента с пропусканием sgn [ H _n ( % ) ] , где a должно

пропусканием H 1 ( % )exp ( - % 2/ 2 ) . Тогда в фокальной плоскости линзы согласно уравнению (11) сформируется световое поле с комплексной амплитудой, пропорциональной выражению:

- i4йH 1 ( § )exp ( - ^ ²/2 )

быть больше максимального корня многочлена H n ( x ), аналогично работе [10], удобно использовать представления вида ( n =2 l ):

где H 1 ( ^ ) = 2 ^ .

Если в плоскости z =0 разместить энергетически более выгодный фазовый элемент с пропусканием sgn [ H 1 ( % ) ] = sgn( % ), то согласно уравнению (25) в пространстве за фильтром сформируется суперпозиция световых мод:

sgn [ H _{2 1} ( % ) ] = rect i % I + X a J

to sgn % = £ C2^1H 2 ,+1( %) = s=0

+ 2( - 1) ¹ £ ( - 1) k ^{- 1}

k = 1

,

% rect ----

X % k , 1 J

= -U I ^H 1 ⁽ % ) ^{-    H} 3 ⁽ % ) ^{+     H} 5 ⁽ % ) ^- ...

V к x        12        160

где H 2 1 ⁽ % k , 1 ) = 0,

1, | % ^ % 0 0, % >  % 0 .

Тогда преобразование Фурье от выражения (27) будет иметь вид:

P 21 ( 5 ) = 3 { sgn [ H 2 1 ( % ) ]} = 2 a sinc ( a ^ ) +

Освещая такой фазовый элемент коллимированным гауссовым пучком, получим, что согласно уравнению (32) в частотной плоскости сформируется световое поле с амплитудой, пропорциональной выражению:

l

+ 2( - 1) ¹ £ ( - 1) ^k 2 % k , 1 sinc ( % k , 5

k = 1

to

J sgn( % ) e ^- % ² Z² e ^- i% ^ d % =

-to

где

-2/.

= v n £ C 2 ? _{+ 1}( - i )^{2 s + 1}e ^- ^ ^/2 H 2 s + 1 ( ^ > =          . (33)

s = 0

to

^ { f ( % ) } = J f ( % )exp( - i% 5 )d % ,

-to

= - i e- ^ /21 H 1 ( ^ ) - -H 3 ( ^ ) + — H 5 ( ^ ) - ... I

X 12         160            J

sinc( % ) = sin( % ) / %

Параметр диафрагмы a выбирается из энергетических соображений.

Аналогично получаются выражения для нечетных полиномов Эрмита:

Отношение энергий световых пучков, описываемых вторым и первым слагаемыми в уравнении (33) равно:

sgn ^{[ H} 2 1 + 1 ⁽ % ^{) ]} = ^rect | % | ⁺ X a J

to

J H 3 ²( ^ )e - ^ ²d 5

—^to------------- » 0.167

to

(12)² J H ²( £ )e ^{- 5} 2 d 5

-to

l

+ 2(-1)1 £ (-1)k-1 rect k=1

%

I % k , 1 J

, sgnx

Таким образом, в первом слагаемом суммы (33), описывающем первую моду Гаусса-Эрмита, содержится более 80% всей энергии светового

^P 2 I + 1 ^{( 5 )} = 3^{ sgn ^[ H 2 1 + 1 ⁽ % ^{) ]}} =

[

= - i < 2 a cosc ( a 5 ) + 2( - 1) ¹ £ ( - 1) ^k x ,           (31)

I                                k = 1

^{x 2} % k , 1 ^{cosc (} % k , 1 ^ ^)}

пучка.

Еще более эффективным способом формирования первой эрмитовой моды оказывается способ освещения фазового фильтра с пропусканием:

sgn [ H 1 ( % ) ] rect | % I                               (35)

X a J

. .    1- cos% где cosc(%) =------- x

5. Пример

Пусть требуется сформировать первую моду Гаусса-Эрмита при n =1, m =0. Для этого в плоскости z =0, следует расположить транспарант с

не гауссовым пучком, а плоской световой волной. В этом случае в фокальной плоскости линзы сформируется световое поле с амплитудой, описываемой выражением:

a

J sgn( % )e ^- “ ⁵ d % =- 2 ai cosc( a 5 ),              (36)

- a

где функция cosc( x ) определена в уравнении (31).

Взаимная корреляция светового поля (36) и первой эрмитовой моды оценивается выражением:

to                                           2/         ²

J [ 2 a cosc( a 5 ) ] H 1 ( 5 ) e ^{5 /2} d 5 -to

^П "^“I=

J |2 a cosc( a ^ )\²d 5 - J H 1( 5 )e ^{- 5} 2^/2 d 5 -⁽³⁷⁾

-to                          -to

= -4= ( 1 - e ^- a ^2/2 ) ²

a V n '

Размер апертуры фазового элемента (35) [- a,a ] выбирается из условия максимума выражения (37), который достигается при a =2.2. При этом корреляция (37) будет равна n =0-85-

Таким образом первая мода Гаусса-Эрмита содержится в световом поле (36) с эффективностью около 85%.

• 6.    Численные результаты

При численном моделировании использовались следующие параметры: размерность массивов N =256, область изменения аргумента x g [-8,8], длина волны Х =0.63 ц т, фокусное расстояние f =100 mm.

На рис. 1а показан эрмитовый пучок

E ₃⁽¹⁾( x ) = H ₃( x )exp ( - x ² ) , x g [ - 8,8].       (38)

На рис. 1б,в показаны соответственно интенсивность (квадрат модуля) и фаза (аргумент) Фурье-преобразования от функции (38).

Для сравнения на рис. 2 показан результат дифракции Фраунгофера для второго типа эрмитовых пучков. На рис. 2а показан сам пучок

E 3 ²⁾( x ) = H 3 ( x )exp ( - x ² /2) , x g [ - 8,8], (39) а на рис. 2б,в показаны интенсивность и фаза его Фурье-образа, соответственно.

На рис. 3а показан результат бинаризации эрмитового пучка (39): кривая 1 - это функция

T 3 ( x ) = sgn [ H 3 ( x ) ] , x g [ - 3,3], (40)

а кривая 2 - это функция (39). На рис. 3б,в показаны соответственно интенсивность и фаза Фурье-преобразования от бинарной функции (40) при x g [-3,3]. Диапазон изменения аргумента x функции (40) выбран таким образом, чтобы корреляция П , аналогичная определенной в уравнении (37), была максимальной. В этом случае корреляция между функциями интенсивности, показанных на рис. 2б и рис. 3б составляет 0.84. Поэтому можно заключить, что 84% световой энергии плоского пучка, освещающего фазовый элемент (40), будет идти на формирование эрмитового пучка (39). На рис. 4 показана зависимость взаимной корреляции П от полудлины отрезка [- a,a ] для эрмитового пучка третьего порядка n =3. В Таблице приведены оптимальные размеры отрезков [- a,a ], на которых заданы бинарные функции sgn [ H n ( x ) ] , n = 1,7 и значения взаимной корреляции между Фурье-образами от функций (39) и (40) при n = 1,7 -

-4.00

-1.00

а)

Рис. 2.

Таблица

Номер моды, n	1	2	3	4	5	6	7
Оптимальный размер апертуры, a ( mm )	2,1	2,6	3,0	3,4	3,7	4	4,2
Корреляция, η	0,86	0,84	0,84	0,82	0,82	0,81	0,81

а)                                   б)                                   в)

Рис. 3.

Рис.4

Из Таблицы видно, что с ростом номера эр-митового пучка энергетическая эффективность η медленно спадает с 86% до 81% ( n ≤ 7).

Заключение

В работе получены следующие результаты: получено выражение для обобщенных эрмитовых пучков, сохраняющих свою структуру при распространении в зоне дифракции Френеля (ур. (13)-(16));

получены разложения в ряд по многочленам Эрмита бинарных знаковых функций, которые можно рассматривать как функции пропускания оптических элементов, для эффективного формирования эрмитовых пучков (ур. (20), (24), (25));

получены выражения, описывающие дифракцию Фраунгофера плоской волны на бинарной знаковой функции от многочлена Эрмита (ур. (28), (31));

показано, что знаковые бинарные функции можно рассматривать как пропускание оптических элементов, формирующих эрми-товые пучки с эффективностью не меньше 80% (ур. (34), (37) и Таблица).

Эта работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 96-01-00021).