Орбитальный угловой момент астигматического пучка Эрмита-Гаусса

Лазерные пучки с орбитальным угловым моментом (ОУМ) активно исследуются в настоящее время из-за широкого их применения для оптического захвата и вращения микрочастиц [1] и холодных атомов [2], в фазово-контрастной микроскопии [3], в микроскопии со стимулированным истощением излучения [4], в оптической классической [5] и квантовой [6] информатике. Чаще всего пучками с ОУМ являются вихревые лазерные пучки с сингулярной фазой и вихревым (спиральным) волновым фронтом. Комплексная амплитуда таких пучков имеет общий вид A ( r )exp( in φ), где A ( r ) – амплитуда пучка, ( r , φ) – полярные координаты, n – топологический заряд оптического вихря. Плотность ОУМ и полный ОУМ на один фотон таких пучков равны топологическому заряду n . Возникают два вопроса. Все ли лазерные пучки с ОУМ имеют дислокацию фазы и вихревой волновой фронт, или есть другие типы пучков с ОУМ? И какой максимальный ОУМ можно получить на практике?

Ответ на первый вопрос положительный, и его можно найти в работе [7]. В [7] вычислили ОУМ для эллиптического Гауссова пучка, сфокусированного цилиндрической линзой. В этой работе с помощью теоретической оценки показано, что у такого пучка ОУМ может быть равен 10000 на фотон. Правда, практически в [7] реализован только пучок с ОУМ, равным 25 на фотон. Заметим, что идея использования цилиндрической линзы для придания пучку ОУМ была впервые высказана в [8]. В [8] было экспериментально показано, что пучок Эрмита–Гаусса, не обладающий ОУМ, после цилиндрической линзы на определённом расстоянии и при определённых условиях преобразуется в пучок Лагерра–Гаусса с ОУМ.

В работах [9–20] пытались ответить на второй вопрос и получить как можно большее значение ОУМ. В [9] предложено увеличивать ОУМ с помо- щью набора Гауссовых вихревых пучков, центры которых расположены на окружности, а оптические оси отдельных пучков и общая оптическая ось являются скрещенными прямыми. В [9] показано, что ОУМ такого составного пучка может быть равен 204 на фотон. В [10] вместо Гауссовых пучков предлагается использовать небольшие отверстия в непрозрачном экране как точечные источники. Если их расположить в виде спирали, то в совокупности они сформируют вихревой пучок с ОУМ. В [10] практически реализован пучок с ОУМ, равным 3. В [11] показано, что при острой фокусировке оптического вихря с большим топологическим зарядом уменьшается контраст или видность боковых лепестков. В [11] практически фокусировался пучок с ОУМ, равным 15 на фотон. В [12] предложен интересный способ определения топологического заряда оптического вихря с помощью кольцевой дифракционной решётки. Экспериментально показано, что таким способом можно определить топологический заряд ±25. В [13] экспериментально с помощью трёхволнового смешения в нелинейной среде Керра сформированы вихревые гармоники с ОУМ до 30 на фотон. В [14] с помощью цифрового многоэлементного зеркала (с числом микрозеркал 1024×768) практически осуществили генерацию идеального оптического вихря с топологическим зарядом 90. В [15] c помощью жидкокристаллического модулятора света (число элементов 1900×1200) сформировали оптический вихрь с топологическим зарядом 200, что позволило вращать микрочастицы диаметром 1,4 мкм со скоростью 500 мкм/с. В [16] также с помощью модулятора света (число отсчётов 1920×1080) сформированы перепутанные пары фотонов с ОУМ ±300 на фотон. В [17] c помощью спирального фазового зеркала, полученного в пластинке алюминия алмазным резцом, экспериментально сформирован оптический вихрь с топологическим зарядом 100. Эти же авторы [18] c помощью усовершенствованной технологии на подложке из алюминия диаметром 75 мм и шероховатостью 3 нм создали спиральное зеркало, способное формировать оптические вихри с топологическим зарядом 1020. В [18] также интерферометрически доказали, что сформированный зеркалом оптический вихрь имеет топологический заряд 5050. В [19] c помощью электронной литографии в резисте РММА создали голограмму диаметром 80 мкм с разрешением 35 нм и высотой рельефа 25 нм, которая позволила сформировать вихревой пучок электронов с энергией 0,5–1 эВ с топологическим зарядом 1000. И, наконец, в [20] с помощью спирального алюминиевого зеркала диаметром около 50 мм для длины волны 810 нм сформированы фотоны, перепутанные по ОУМ и поляризации. Причём квантовый ОУМ фотонов был равен ± 10010. Это максимальное значение ОУМ, полученное на сегодняшний день.

В предыдущих работах авторов [21], [22] были получены точные формулы для ОУМ астигматического Гауссова пучка, отличные от формул, полученных в [7]. В данной работе мы обобщаем результаты работ [21], [22] и рассматриваем астигматический пучок Эрмита–Гаусса. Будет показано, что эллиптический пучок Эрмита–Гаусса с номером (0, n ) после цилиндрической линзы приобретает ОУМ, который в n раз больше, чем у эллиптического Гауссова пучка после цилиндрической линзы. Теоретическая оценка даёт значение для ОУМ такого пучка более 100000 на фотон. Приведены также экспериментальные результаты для астигматического Гауссова пучка: полученный ОУМ отличался от теоретического на 6 %.

f f^ d E ( x , У ) d E ( x , y ) )

J z = Im E (x , y) I x—---y—---- I d x d y , (2) d y         d x

—f —f f f

W = jj E ( x , y ) E ( x , y )d x d y ,                   (3)

—f —f

где J z – проекция на оптическую ось ОУМ, W – плотность энергии (мощности) света, Im – мнимая часть числа, E – комплексно сопряжённая амплитуда к амплитуде (1). Подставляя (1) в (2) и (3), получим простое выражение для нормированного ОУМ светового поля (1):

y

w x ) .

1. Безвихревой пучок с ОУМ

В этом параграфе для удобства читателя первые четыре формулы совпадают с [7]. Обычно рассматриваются параксиальные вихревые лазерные пучки, обладающие ОУМ. У таких пучков есть точки сингулярности – это изолированные нули интенсивности, в которых фаза не определена и вокруг которых изо-фазная поверхность волнового фронта имеет спиральную форму. Но, оказывается, есть простые световые поля, которые обладают ОУМ и не имеют изолированных нулей интенсивности с вихревой фазой. Рассмотрим Гауссов эллиптический пучок, в перетяжке которого расположена цилиндрическая линза [7], образующая которой повернута в плоскости перетяжки на угол α. Комплексная амплитуда света сразу за цилиндрической линзой имеет вид:

Из (4) видно, что ОУМ равен нулю, если Гауссов пучок имеет круглое сечение ( w_x = w_y ) или линза не имеет наклона к вертикальной оси (α =0). При наклоне в 45 градусов ОУМ (4) максимальный при прочих равных условиях. Из (4) также видно, что ОУМ пучка (1) в общем случае дробный, хотя может быть и целым. Чем меньше фокусное расстояние цилиндрической линзы, тем больше ОУМ пучка, и чем больше степень эллиптичности пучка (1), тем больше его ОУМ. Знак ОУМ определяется тем, по какой оси ( y или x) больше вытянут Гауссов пучок в перетяжке. Преимущество пучка (1) в том, что он может быть реализован без дополнительных элементов, без модулятора света, спиральной фазовой пластинки или голограммы с «вилочкой». Для его формирования надо всего три цилиндрические линзы, две из которых формируют эллиптическую перетяжку Гауссова пучка, а третья – создает ОУМ.

Оценим величину ОУМ для конкретных значений величин, входящих в (4). Гауссов пучок считается параксиальным, если радиусы его перетяжки намного больше длины волны, пусть они будут равны w_x = 2 мм и w_y = 1 мм, фокусное расстояние пусть будет равно f = 10 мм, а длина волны λ = 0,5 мкм, наклон линзы равен 45 градусов (α = π/4). Тогда ОУМ в (4) будет равен 471,24.

Интересно рассмотреть нормированную плотность ОУМ пучка (1). В этом случае вместо (2) и (3) надо использовать формулы:

г

E ( x , У ) = exp ■

I

x ² w_x ²

y_

j_z = Im E ( x ,y) I x

w2 J

x

d E ( x , y ) d y

d E ( x , y ) "^    d x

,

Г ikx ² cos ² a x exp--

I     2 f

iky ² sin ² a ikxy sin 2 a

2 f 2 f

I = E ( x , y ) E ( x , y ) .

Подставляя (1) в (5) и (6), получим нормированную плотность ОУМ пучка (1):

где w x и w y – радиусы перетяжки Гауссова пучка по декартовым осям, f – фокусное расстояние тонкой цилиндрической линзы, образующая которой имеет угол с вертикальной осью y , равный α (линза повёрнута против часовой стрелки), k – волновое число света. Нормированный ОУМ в параксиальном случае вычисляется по формулам [7] (c точностью до постоянных):

jz- = 2 f |^( y² — x ²) sin 2 a + 2 xy cos 2 a J .

Из (7) видно, что плотность ОУМ не зависит от радиуса перетяжки Гауссова пучка, то есть ОУМ будет одинаковым и для круглого, и для эллиптического Гауссова пучка. При α =0, π /2 ОУМ (7) равен нулю на декартовых осях и максимальный по модулю на двух ли-

ниях под углами ±45 градусов к оси x . И, наоборот, при α =± π /4 ОУМ (7) равен нулю на двух линиях под углами ±45 градусов к оси x и максимальный по модулю вдоль декартовых осей x и y . На окружности любого радиуса R с центром в начале координат ОУМ зависит только от полярного угла φ и равен:

у = 2 _fR ² sin [ 2( ф-а ) ] . (8)

Из (8) видно, что при обходе вокруг центра при любом R ОУМ меняет знак дважды: при 0< φ – α <  π / 2 ОУМ положительный, при π /2< φ – α < π – отрицательный, при π < φ – α < 3π /2 – положительный и при 3π /2< φ – α <2π – отрицательный. Это говорит о том, что полный ОУМ для круглого Гауссова пучка ( w x = w y ) будет равен нулю, так как совокупность положительных и отрицательных значений плотности ОУМ (8) компенсируют друг друга. Если же Гауссов пучок эллиптический, то полный ОУМ (4) будет отличным от нуля. У обычных вихревых пучков с амплитудой A ( r ) exp( in φ) нормированная плотность ОУМ постоянная j_z / I = n , I = A ²( r ), в отличие от пучка (1), у которого нормированная плотность ОУМ (7) знакопеременная и зависит от координат. То есть в каждой точке в поперечном сечении вихревого пучка A ( r ) exp( in φ) захваченная микрочастица будет получать локальный момент для вращения в одном и том же направлении. А микрочастица, захваченная в пучок (1), в некоторых точках в поперечном сечении пучка будет получать момент для вращения (относительно центра масс, который совпадает с центром пучка и началом координат) по часовой стрелке, а в других точках – против часовой стрелки. Микрочастица будет вращаться как одно целое, если сумма этих локальных моментов не будет равна нулю.

Далее, в отличие от [7], мы покажем, что эллиптический Гауссов пучок после цилиндрической линзы вращается. Получим формулы, описывающие распространение пучка (1), и покажем, что при его распространении не возникает изолированных нулей интенсивности, то есть пучок (1) не является вихревым или сингулярным [9–20]. Преобразование Френеля от комплексной амплитуды (1) имеет вид:

E ( 5 , П , z ) =

= — , ik exp Г ^ ( z ) 5 2 + B ( z ) n ² + C ( z ) 5n1 , ⁽⁹⁾ z p ( z ) q ( z )

Из (9) видно, что Гауссов пучок (1) при распространении остается Гауссовым пучком, но меняется масштабно и вращается. Формула (9) существенно упрощается при α = π /4 и z =2 f , так как при этих параметрах z x →∞, z y →∞:

E ( 5 , n , z = 2 f ) = - 2 i Y ^{- 1} x

X exp

где

Y =

где

ik k ²          k ⁴ sin ² 2 а

---;--1--;—;—;---------,

2 z 4 z p ( z )  64 f z p ( z ) q(z )

k ²

^{B ( z} ) = 1 - 4 z • q ( z )•

.      ik ³ sin 2 а

C ( z ) =----;-----------,

8 fz ² p ( z ) q ( z )

A(52+T) ⁵   "+ i^

4 f ⁽      ) w2 Y ² w Y ² 2 f y ²

(

^{1 +}

V

16 f ²

1/2

k ² w 2 w 2

xy

Из (11) видно, что эллиптический Гауссов пучок (1) на расстоянии z = 2 f повернулся на 90 градусов и уширился, так как γ > 1.

2. Формирование эллиптического Гауссова пучка

В [7] эллиптический Гауссов пучок формировался с помощью двух цилиндрических линз. Но можно обойтись всего одной цилиндрической линзой, чтобы создать расходящийся или сходящийся эллиптический Гауссов пучок. Рассмотрим подробнее эту ситуацию. Пусть в перетяжке обычного Гауссова пучка

с круглым сечением и радиусом перетяжки w размещена цилиндрическая линза с кривизной вдоль оси x и фокусным расстоянием f 1 . Тогда комплексная амплитуда эллиптического Гауссова пучка на расстоянии z за цилиндрической линзой будет равна:

E ( x , y , z ) =

= ( q o ( z ) q i ( z ) ) ^1/2 exp

x ²

w ² q ₂( z )

y ²

w ² q o ^{( z} ) J ,

1 ik p(z) =—+—, wx2  2zx zf

x

zx

1 ik q ( z ) = —+ —+ wy2   2zy zf

k ² sin ² 2 а 16 f ² p ( z ) ^,

2 ^, z cos а- f

z y

z sin ² а - f

.

где q o( z) = 1 + iz Iz o , qi( z) = q o( z) - zIf1 , q 2( z) = q1( z) (1 + izoIf.) z o = kw 2I2.

Из (13), (14) видно, что при f ₁→∞ получается амплитуда обычного Гауссова пучка:

E ( x , y , z ) = ( q o ( z ) ) ‘exp ( - ( x ² + y ²)I w ² q o ( z ) ) .   (15)

Если в поле (13) поместить цилиндрическую линзу с фокусным расстоянием f , образующая которой повёрнута в плоскости перетяжки на угол α, комплексная амплитуда света сразу за цилиндрической линзой будет имеет вид:

E ( x , y , z ) =

( q o ^{( z} ) q ‘ ^{( z} ) )

(       2            2 A

( x y I exp II x

V w q ^ ( z ) w q o ( z ) J

I ikx cos а x exp--

V     2 f

iky ² sin ² а   ikxy sin 2 а

2 f 2 f

Нормированный ОУМ пучка (16) имеет вид:

J z W

| kw ² sin 2 a ।

I 8 f J

^f q oP       q 2,2 1

V Re( q ₀) Re( q ₂) J

| kw ² sin 2 a ।

I 8 f J

z f1

Из (17) видно, что при f 1 →∞ ОУМ стремится к нулю, так как пучок (13) стремится к обычному Гауссову пучку (15). Из (17) также следует, что, увеличивая расстояние z между первой цилиндрической линзой с фокусным расстояние f 1 и второй цилиндрической линзой с фокусным расстоянием f , можно неограниченно увеличивать ОУМ лазерного пучка. При z =0 и z = 2 f ₁ ОУМ (17) тоже равен нулю, так как Гауссов пучок имеет круглое сечение. Положительный максимальный ОУМ (17) будет при z = f ₁, то есть если разместить вторую цилиндрическую линзу в фокусе первой. Тогда вместо (17) получим ( z = f 1 ):

Jz Iw = ( kw 2 sin2 a ) / ( 8 f ) . (18)

ри (17) при z = f ₁). Из (21) также следует, что при равенстве выражения в скобках единице ОУМ равен по модулю целому числу: J z / W =– n . В [8] было показано, что при определённых условиях пучок Эрмита–Гаусса, не обладающий ОУМ, можно с помощью цилиндрической линзы преобразовать в пучок Лагерра–Гаусса, имеющий ОУМ, равный J z / W =± n . Ниже мы покажем (другим способом, чем в [8]), что пучок (19) Эрмита–Гаусса с номером (0, n ) при условии, что w_x = w_y = w , sin2α = 1 и kw ²/(4 f ) = z ₀ /(2 f ) = 1, где z ₀ – длина Рэлея, на расстоянии z =2 f формирует пучок Лагерра–Гаусса с номером (0, n ). Действительно, преобразование Френеля для комплексной амплитуды пучка (19) при перечисленных выше условиях можно записать в виде:

E n ( C , n , z = 2 f ) =

I - ik |       |

= --- exp ik

V 4 n f J   V

C l +n X 4 f

M M

J J H

— M —M

2 x

w

x exp

X ² + y ²

w ²

Выражение (18) совпадает с выражением (4) для ОУМ, если принять, что w y = w, w x = 0. При z >2 f 1 ОУМ (17) меняет знак (становится отрицательным) [23] и далее увеличивается по модулю с ростом z .

3. Эллиптический пучок Эрмита–Гаусса (0, n) после цилиндрической линзы

Увеличить ОУМ лазерного пучка можно с помощью формирования эллиптического пучка Эрмита–Гаусса. В отличие от [8] рассмотрим далее эллиптический пучок Эрмита–Гаусса, сфокусированный цилиндрической линзой. Этот пучок является примером светового поля, ОУМ которого может быть в n раз больше, чем (4). Амплитуда в начальной плоскости такого поля описывается 1D эллиптическим пучком Эрмита–Гаусса с цилиндрической линзой, наклонённой в начальной плоскости

под углом α градусов к декартовым осям:

^f V² X ¹

En (X, У ) = Hn \ ---- I exp l W J

V

x ²

x

2 1 '

w y J

x

k7 ( xy + x ^+ y n ) 2 f

d x d y .

Заметим, что условие z 0 /(2 f) = 1 в (22) пока не использовалось, это будет сделано позже.

Интеграл по переменной x в выражении (22) можно вычислить с помощью справочного интеграла [24]:

I c X I

I H n ( cx )exp \ ibx --I d x =

—M             X           /

M

in V2n exp c

а интеграл по y , после вычисления интеграла по x ,

можно вычислить с помощью другого справочного интеграла [24, 25]:

M

J H n ( cy )exp ( — p ( y — t ) ² ) d y =

—M

v^L p — c :) : :² _н с rr p ^{( n + 1)I2}         n I \p — c²

I ikx cos a x exp--

V     2 f

iky ² sin ² a ikxy sin 2 a

2 f 2 f

Тогда на двойном фокусном расстоянии за цилиндрической линзой получим вместо (22) комплексную ам-

плитуду вида:

Амплитуда поля (19) отличается от (1) только многочленом Эрмита H n ( x ), и они совпадают при n =0. Подставляя (19) в (2), (3), получим нормированный ОУМ для поля (19):

E n & n, z = 2 f ) =

n n+1 I ZQ II Y I I = — i    ——   , n exp ik

⁽ ) V 2 f JV Y ( n j p V

^ ² +n ² I

x

4 f J

J z

W

y

- w x ( ² n ⁺ 1 ) ) .

Из (20) видно, что при n =0 ОУМ (20) совпадает с (4). Но есть и отличия: если радиусы Гауссова пучка равны w x = w y = w , то ОУМ в (4) равен нулю, а ОУМ пучка (19) не равен нулю, а вместо (20) можно записать:

Jz Iw =- ( ( kw ² sin 2 a )/ ( 4 f ) ) n .                (21)

Из (21) следует, что ОУМ поля (19) при w x = w y = w примерно в 2 n больше по модулю, чем у поля (1) (смот-

x exp

f 5 ² +n ²

V w²

ik 2q I

+ —52 x H

2 f J   ⁿ

где w = w (1 + 4 f21 z o2) , f = f (1 + 4 f21 z o2), Y=(1 + z o2/4 f2 )1/2, Y = (1 — z o2|4 f2 )1/2.

z o⁽ YY ^{) —} 1 f_{F ;ri} ^z 0 I C — i П

. V2 fw V     2 f ^J.

Из (25) видно, что поле (19) на расстоянии z = 2 f по-прежнему остаётся пучком Эрмита–Гаусса, но с комплексным аргументом у многочлена Эрмита. Заметим, что аргумент многочлена Эрмита в (25) становится действительным только на горизонтальной оси при η = 0. На этой оси у многочлена Эрмита есть n изолированных невырожденных нулей интенсивности. Причём, как следует из (21), ОУМ такого пучка с n изолированными нулями будет либо больше n , если z 0 /(2 f) > 1, либо меньше n , если z 0 /(2 f ) < 1. При условии z ₀ / (2 f ) = 1, так как x ^{– n}H_n ( ax )→(2 a ) ⁿ при x →∞, вместо многочлена Эрмита в (25) остаётся только одно слагаемое с максимальным показателем степени (один изолированный n -кратно вырожденный ноль интенсивности). Тогда вместо (25) получим:

E n Й, П , z = z 0 = ² f ) =

• 2     2^

ik \4^ I^{X                 (} 27)

x exp

42 + П2 + ik ^П )^ ^~ i П ) n

2 w²     4 f J( w J

.

Из (27) видно, что комплексная амплитуда поля пропорциональна сомножителю (ξ– i η) ⁿ = rⁿ exp(–i n φ), где ( r, φ) – полярные координаты, характерному для оптических вихрей и пучков Лагерра–Гаусса с номерами (0, n ). Пучок (27) имеет ОУМ, равный J_z / W =– n .

Оценим ОУМ (21) на один фотон для пучка (19) при следующих практически реализуемых параметрах: длина волны λ = 532 нм, угол поворота цилиндрической линзы α = π /4, радиус перетяжки Гауссова пучка w = 2 мм, фокусное расстояние f = 10 мм и порядок многочлена Эрмита n = 100. Нормированный ОУМ будет равен: 118104 на фотон.

• 4.    Эксперимент

На рис. 1 показана экспериментальная схема для генерации и анализа эллиптических Гауссовых пучков. Выходное излучение твердотельного лазера коллимировалось с помощью системы, состоящей из пинхолла PH и сферической линзы L ( f = 150 мм). Радиус перетяжки коллимированного Гауссова пучка w = 3,5 мм. Далее расширенный лазерный пучок делился на два с помощью светоделительного кубика BS 1 для реализации схемы интерферометра Маха– Цендера. В одном из плеч интерферометра с помощью цилиндрической линзы CL ₁ ( f ₁ = 500 мм) формировался эллиптический Гауссов пучок в плоскости второй цилиндрической линзы CL ₂ ( f ₂ = 100 мм). Расстояние между линзами CL ₁ и CL ₂ равнялось 200 мм.

Анализируемый лазерный пучок, сфокусированный линзой CL ₂, и опорный лазерный пучок с плоским волновым фронтом сводились с помощью второго светоделительного кубика BS ₂. Нейтральный светофильтр F был использован для выравнивания интенсивностей пучков при съёмке интерферограмм. Картины интерференции регистрировались с помощью видеокамеры CCD ToupCam U3CMOS08500KPA (размер пикселя 1,67 мкм, разрешение 3328×2548 пикселов).

Рис. 1. Экспериментальная схема для генерации и анализа эллиптических Гауссовых пучков: Laser – твердотельный лазер (λ = 532 нм), PH – пинхолл (размер отверстия 40 мкм), L – сферическая линза (f = 150 мм), BS1 и BS2 – светоделительные кубики, F – нейтральный светофильтр, M1 и M2 – зеркала, CL1 и CL2 – цилиндрические линзы (f1 = 500 мм, f2 = 100 мм), CCD – видеокамера

На рис. 2 а показано распределение интенсивности сходящегося эллиптического Гауссова пучка в плоскости цилиндрической линзы с фокусным расстоянием f = 100 мм, повёрнутой на угол 45 градусов в плоскости пучка. На рис. 2 б показано сечение интенсивности того же пучка на расстоянии z =2 f от цилиндрической линзы. Видно, что пучок повернулся почти на 90 градусов. На рис. 2 в показана интерферограмма эллиптического Гауссова пучка на расстоянии z =2 f (рис. 2 б ) с почти плоской волной. На рис. 2 г показана интенсивность пучка на расстоянии z = 3 f . Видно, что он повернулся на 135 градусов по отношению к исходному сечению (рис. 2 а ). На рис. 2 д показана интерферограмма этого сечения (рис. 2 г ) с плоской волной.

а)

в)

Рис. 2. Распределения интенсивности эллиптического Гауссова пучка, зарегистрированные на расстоянии от цилиндрической линзы z, равном 0 (а), 2f (б), 3f (г) и интерферограммы этого пучка с плоской волной на расстояниях 2f (в) и 3f (д). Размер всех кадров 5608×4255 мкм

На рис. 3 показаны две интерферограммы (рис. 3 а , б ), такие же, как на рис. 2 в , но отличающиеся тем, что у опорного пучка была сделана задержка по фазе на π. По этим двум интерферограммам можно однозначно восстановить фазу астигматического Гауссова пучка на расстоянии 2 f от цилиндрической линзы (рис. 2 б ). Восстановленная фаза астигматического Гауссова пучка (рис. 2 б ) показана на рис. 3 в . По данной фазе далее вычислялся ОУМ, он оказался равен J_z / W ≈ 63. Это значение почти в 2 раза меньше теоретического значения.

Рис. 3. Две интерферограммы (а, б), зарегистрированные в оптической схеме на рис. 1 на расстоянии 2f от второй цилиндрической линзы. Фаза опорного пучка при регистрации второй интерферограммы изменялась на π. Восстановленная по интерферограммам фаза астигматического Гауссова пучка (в). Также восстановленная фаза (г) поля (рис. 2г) на расстоянии 3f

а)

в)

Рис. 4. Рассчитанное распределение интенсивности (a, б) двух интерферограмм, почти совпадающих с экспериментальными (рис. 3а, б). Вторая интерферограмма так же получена при изменении фазовой задержки у плоского опорного пучка на π. Восстановленная из интерферограмм (а, б) фаза астигматического Гауссова пучка (в). Размер кадров 5608×4255 мкм

Далее, чтобы уточнить значение ОУМ ( J_z / W ≈ 63), полученного из экспериментальной фазы (рис. 3 в ), мы предлагаем использовать новый модельно-экcпериментальный метод расчёта ОУМ. Он состоит в следующем. На рис. 4 а , б показаны две модельные интерферограммы, которые рассчитывались, чтобы повторить эксперимент на рис. 2 б , в . Интерферограммы на рис. 4 а , б совпадают по числу полос с экспериментальными интерферограммами на рис. 3 а , б . А на рис. 4 в показана модельная фаза, восстановленная из двух модельных интерферграмм на рис. 4 а , б . У модельной фазы (рис. 4 в ), во-первых, нет шумов, которые есть у аналогичной экспериментальной фазы (рис. 3 в ), а во-вторых, она получена не только в той области, где интенсивность больше 0,1 от максимума (как получена экспериментальная фаза на рис. 3 в ), но и в области размером 14×14 мм (4000×4000 отсчётов). Это важно, так как в ОУМ немалый вклад вносят об-

ласти пучка, в которых интенсивность мала, но площадь такой области велика и градиент фазы большой (много полос на интерферограмме).

Далее по модельной восстановленной фазе (рис. 4 в ) и рассчитанной на расстоянии z =2 f интенсивности (на рис. 4 не показана) в области 14×14 мм (4000×4000 отсчётов) по общим формулам (2) и (3) рассчитывался нормированный ОУМ, который был равен:

Jz

W

×

∞∞

J J

-∞ -∞

∞∞

I d d ]

I ( x , y ) l x — - y — IФ ( x , y )d x d y ^ d y    d x )

I J I ( x , y )d x d y

-∞ -∞

- 1

≈ 109, 63.

×

Теоретический нормированный ОУМ астигматического Гауссова пучка на рис. 2, рассчитанный по формуле (17), равен ( w = 3,5 мм, k = 2π / λ = 11810 мм^–1, f ₁ = 500 мм, f = 100 мм, z = 200 мм, α = π /4):

Jz W

(i 2 • ~ kw sin 2α

I 8 f J

z

f 1

z

-

f 1

≈ 116.

Из сравнения (28) и (29) видно, что значение нормированного ОУМ астигматического пучка на рис. 2, рассчитанного на основе экспериментальных данных (рис. 3) и с помощью модельных данных (рис. 4), отличается от теоретического значения всего на 6 %.

Заключение

В работе мы получили следующие результаты. Получены явные выражения для комплексной амплитуды эллиптического Гауссова пучка, сфокусированного цилиндрической линзой. Показано, что при распространении такой пучок вращается, оставаясь Гауссовым эллиптическим пучком. На двойном фокусном расстоянии интенсивность пучка поворачивается на 90 градусов. Получена явная формула для нормированного ОУМ эллиптического пучка Эрмита–Гаусса с номером (0, n ), сфокусированного цилиндрической линзой. Теоретическая оценка показывает, что при практически реализуемых параметрах задачи ОУМ такого пучка может достигать значения больше 100000 на фотон. Максимально достигнутое значение ОУМ равно 10010 [20]. Получено выражение для комплексной амплитуды пучка Эрмита– Гаусса, сфокусированного цилиндрической линзой. Эта амплитуда выражается через многочлен Эрмита с комплексным аргументом. Причём действительным аргумент становится только на горизонтальной декартовой оси, на которой у него расположены n невырожденных изолированных нулей интенсивности. ОУМ такого пучка может быть больше n , если длина Рэлея больше двойного фокусного расстояния цилиндрической линзы, или меньше n , если длина Рэлея меньше двойного фокусного расстояния цилиндрической линзы. Показано, что на двойном фокусном расстоянии и при условии, что длина Рэлея равна двойному фокусному расстоянию, многочлен Эрмита преобразуется в одночлен с максимальным показателем степени n , и n нулей соединяются в один n -кратно вырожденный изолированный ноль. А весь пучок Эрмита–Гаусса преобразуется в пучок Лагерра–Гаусса с номером (0, n ), нормированный ОУМ которого равен n .

Экспериментально, с помощью двух интерферограмм, отличающихся задержкой по фазе на π в опорном пучке, была восстановлена фаза эллиптического Гауссова пучка, прошедшего цилиндрическую линзу. По восстановленной фазе и измеренной интенсивности такого лазерного пучка и по общим формулам (2),

• ( 3) был рассчитан нормированный ОУМ ( J_z / W ≈ 63), который отличается от теоретического ( J_z / W = 116) в 2 раза. С помощью предложенного модельно-экспериментального метода (рассчитываются две интерферограммы, которые почти совпадают с двумя экспериментальными, и восстанавливается модельная фаза) получено уточненное значение ОУМ ( J z / W ≈ 109,63), которое отличается от теоретического всего на 6 %.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства научных организаций (соглашение № 007-Г3/43363/26) в параграфе «Формирование эллиптического Гауссова пучка» и Российского научного фонда (грант № 17-19-01186) в параграфе «Эллиптический пучок Эрмита–Гаусса (0, n ) после цилиндрической линзы» и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 18-07-01129, 18-07-01380, 17-47630420, 16-47-630483) в параграфе «Безвихревой пучок с ОУМ». Экспериментальное исследование выполнено А.П. Порфирьевым в рамках гранта Президента РФ поддержки молодых кандидатов наук МК-2390.2017.2.