Поликонтекстная задача как средство формирования математических компетенций учителя в вузе

Вспомогательные вопросы (сопровождение деятельности студентов)

Действия студентов по решению поликонтекстной задачи и их результаты

Формируемые элементы МК

1

2

3

с га 1m

эх

т

OJ H X co о H о

о EZ

На данном этапе студентам сообщается, в каком формате (в каких условиях он будет выполнять эту задачу). Выдаются вопросы, на которые необходимо ответить и рекомендации.

• 1.    Внимательно прочитайте задачу. Как вы считаете, какие контексты представлены в ней?

• 2.    Из текста задачи выявите, какие противоречия возникли перед режиссером, породив проблему выделения на сцене главных героев с помощью света?

• 3.    Требуется найти освещенность какого типа? Исходя из предыдущего вопроса, ответьте, как называются такие задачи? Выделите соответствующие этапы работы над такими задачами.

• 4.    Какие средства математического анализа целесообразно использовать при решении таких задач.

• 5.    Внимательно работайте над задачей, выявляя трудности, которые могут возникнуть у учащихся при её решении

• 1.    Данная задача имеет несколько контекстов: социальный; физический математический; квазипро-фессиональный.

• 2.    Противоречие между необходимостью подчеркнуть игру актеров и малой освещенностью соответствующих декораций.

• 3.    Необходимо найти наибольшую освещенность. Задачи такого типа называются оптимизационными и имеют следующую этапность: составление математической модели; работа с составленной моделью, ответ на вопрос задачи.

• 4.    Востребована теорема: пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку x = x0.

Тогда :

• а)    если x = x ₀ – точка максимума, то y_наиб. = f ( x₀ );

• б)    если x = x ₀ – точка минимума, то y_наим. = f ( x₀ )

Знание:

понятия математической модели нематематической задачи, процесса, явления; объектов (элементов предметной области) нематематической задачи, процесса, явления;

способов построения математической модели нематематической задачи, процесса, явления

C ra Im

)X X

T X

ra Q_ EZ

На данном этапе студенты составляют математическую модель задачи и работают с составленной моделью.

• 1.    Проанализировав условия задачи, выделите оптимизируемую величину.

• 2.    Вы выделили несколько контекстов в этой задаче. Какие знания, из каких дисциплин и областей вашей жизни необходимы при работе с этой задачей?

• 3.    Обратитесь к справочнику по физике или поисковым системам Интернета и выясните, от каких величин зависит освещенность? Каков характер этих зависимостей? Адаптируйте эти сведения к ситуации, представленной в поликонтекстной задачи.

• 4.    Как вы считаете, какую из этих переменных (от которых зависит освещенность) необходимо обозначить в качестве независимой? Каковы границы изменения этой переменной?

Составление математической модели.

• 1.    Поскольку в задаче требуется выяснить, когда освещенность будет наибольшей, то эта величина является оптимизируемой. Обозначим её буквой E.

• 2.    Необходимо воспользоваться знаниями о понятии «освещенность».

• 3.    Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона освещаемой маленькой площадки к лучу света. То есть

E = K ^{sin ϕ} , где E – освещенность h ² + r ²

на краю стола;

Умение выполнять: анализ нематематической задачи, процесса, явления; выделение в нематематической задаче, процессе, явлении элементарных (частных) требований, установление объектов (элементов предметной области нематематической задачи, процесса, явления) и свойств этих объектов, явно или неявно указанных в условиях и требованиях нематематической задачи; опыт построения математической модели нематематической задачи, процесса, явления

1

2

3

с си 1m

зн

T

CD Q_ EZ

• 5.    Выразите освещенность через эту переменную. Возможно, целесообразнее ввести вспомогательную переменную, которая упростит вид оптимизируемой величины.

• 6.    На подготовительном этапе вы актуализировали теорему, воспользоваться которой необходимо при решении этой задачи. Вспомните алгоритм применения производной для вычисления наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке

h

sin ϕ = _{h 2 + r 2} ; h – расстояние от лампы до стола.

• 4.    Независимая переменная – расстояние от лампы до стола (h). h Є [0; + ∞ ].

• 5.    Вместо функции E = K ₂^h₂ "3 (h ² + r ² ) 2 рассмотрим функцию

1         h ²

T = _k 2 E ² = _(h 2 _{+ r} 2 ₎ 3 . Вместо h можно взять переменную z=h ²

z

^{T =} _{( z + r} 2 ₎ 3 ^. Радиус стола 1 м, ^{тоT =}(z +^z1) ^{3 .}

Работа с составленной моделью.

• 6.    На этом этапе для функции

^{T =} _{( z +} ^z ₁₎ 3 , где z Є [0; + ∞ ], надо найти T наиб.

( z + 1) ³ - z ^. 3 (z + 1) ² ; T = 0

^{T =}        (z + 1) ⁶

(z + 1 – 3z) = 0

2z = 1, z = ¹ ₂ , h ² = ¹ ₂ , h = ¹ ₂

C cu 1m

>5

I

OJ H

T 2

CD m

На данном этапе студенты переводят полученные результаты с математического языка на язык контекстов задачи. Что необходимо было выяснить для того, чтобы разработать вариант размещения лампы, отвечающий требованиям режиссера?

Студенты получают домашнее задание : оформите решение задачи, выделяя этапы работы над ней. Сопроводите решение методическими рекомендациями для учащихся по работе с этой задачей. Разработайте свою поликонтекстную задачу

Ответ на вопрос задачи. Необходимо выяснить, на какой высоте следует подвесить лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность. Освещенность максимальна при h = ¹ ₂ , то есть _r ^h = tg ϕ = ¹ ₂ . Освещенность максимальна при , то есть h = _{2 1} ^h = tg ϕ = ¹₂ = 0,707106781, то есть ϕ ~ 35 ⁰

Осознание необходимости владения системой математических знаний и умений;

осознание значимости построения математической модели нематематической задачи, процесса, явления для будущей профессиональной успешности