Практическое применение математических моделей при обработке полетной информации

Многие параметры полета, например такие, как масса ВС и тяга двигателей, самописцем не фиксируются. Нет и других приборов для измерения в полете. Поэтому возникает необходимость в разработке методики получения этих параметров по косвенным данным, содержащимся в ПД. Для этой цели необходимо знать взаимосвязь косвенных и требуемых параметров. Математическое описание этой взаимосвязи является основной компонентой ММ. За редкими исключениями эта компонента математического моделирования многосвязна и неоднозначна, поэтому очень важен способ ее применения, который также входит в ММ.

С помощью математического моделирования мы имеем некую априорную информацию о полете. Использование ее в качестве избыточной позволяет подавить шумы в ПД. С другой стороны, при многократной совместной обработке ПД можно корректировать параметры ММ, и эта коррекция также является частью модели. Подобный подход реализован в стохастических фильтрах Калмана-Бюси. В данной статье применена менее сложная методика, дающая удовлетворительные результаты для решения довольно широкого круга задач идентификации.

Разработка методов определения взлетной массы воздушного судна по данным бортового самописца параметров полета была начата в целях повышения безопасности полетов (БП). Наиболее полно эта проблема отражена в работе М. С. Кубланова [1].

В конце 90-х гг. в России было отмечено несколько летных происшествий, связанных с перегрузкой ВС. Даже приближенные методы показывали фактическую взлетную массу, превышающую не только указанную в сопроводительной документации, но и максимально допустимую. Работы [2.. .4] позволили достаточно точно определять взлетную массу. Полученная точность (порядка 3,5 %) и сплошная, а не выборочная обработка записей самописцев сняли прямую угрозу безопасности поле тов. К сожалению, после этого финансирование исследований в данном направлении резко снизилось и в настоящее время работы по данной тематике ведут только отдельные энтузиасты.

Однако эта тема далеко не исчерпана. Актуальность ее заключается в том, что информация о массе и других параметрах, определяющих поведение ВС на разбеге, необходима экипажу перед полетом и непосредственно в процессе разбега и отрыва. Эти параметры, включающие помимо массы, тягу двигателей, коэффициент лобового сопротивления и т. д., различаются даже для однотипных ВС. Например, суммарная статическая тяга двигателей для Ил-76ТД может отличаться почти на 2 т, а это дает увеличение длины разбега до 200 м. Неточность определения массы в 6 т (около 3 % максимального взлетного веса) изменит длину разбега также на 200 м. Поэтому необходим постоянный мониторинг состояния всех ВС с выдачей экипажам номограмм для предварительного расчета длины разбега и ввод индивидуальных параметров ВС в бортовой вычислитель, который уже в процессе разбега уточнит массу. Затем вычислитель выдаст уточненные скорости принятия решения, подъема передней ноги и отрыва, а также взлетную дистанцию, или сообщит, что взлет невозможен. Подобная работа вычислителя предусмотрена на самолете Ту-204, однако там параметры одинаковы для всех самолетов, а масса определяется по давлению в амортстойках с точностью 3.. .4 % при штиле, поэтому данная система до сих пор еще не задействована.

Для уточнения массы ВС в процессе разбега, причем в самом его начале, необходимы точные данные о параметрах ВС. Эти данные могут быть получены с помощью обработки полетной информации по каждому ВС, а для этого нужна соответствующая методика, описанию которой посвящена данная статья.

Создание математических моделей динамики полета позволяет извлекать из полетных данных информацию, содержащуюся в них в неявном виде, в частности фактическую взлетную массу. Работы по данной тематике были произведены несколькими организациями: ГосНИИ ГА, авиакомпанией «Пулково», ЛИИ, ЦАГИ, МАК, МГТУ ГА. По имеющимся сведениям, достигнута точность определения взлетной массы порядка 3,5 %. Как указано в [1], за рубежом также ведутся аналогичные исследования, но сведения по ним по соображениям коммерческой тайны являются закрытыми. Аналогично обстоят дела и в отечественной авиационной науке.

Работы [2; 3] построены на основе минимизации разности между ММ и ПД, при этом ПД подвергаются су- щественному преобразованию с целью сглаживания, после чего в ММ вводятся вычисленные значения производных. В [2] численному дифференцированию даже посвящена отдельная глава. Но если учесть, что ММ построено на линеаризованных дифференциальных уравнениях, а вычисление производных - неоднозначный процесс, то можно считать, что данные методы не дают требуемой точности.

Более точная методика применена в работе [4], где уравнение движения самолета на разбеге решается относительно массы в каждой точке замера скорости.

[ Т_Й - K t ( K y V ² ) + K d V - K x V ² ] m =-----------------------------.

K t • g + dV I dt

Этот метод позволяет вычислить константу, соответствующую массе самолета, но требует точного знания взлетной тяги и других параметров разбега. При этом требуется вычислить ускорение самолета. В данной статье ускорение вычисляется как квадратичная функция времени, что весьма не очевидно. Конечно, приведенная методика вызывает вполне обоснованные сомнения в заявленных значениях точности. Но преимущество работы автора заключается в том, что численного интегрирования уравнения движения ВС не производится, соответственно снимается вопрос об устойчивости решения.

В работе [1] создан математический аппарат, позволяющий повысить устойчивость математического моделирования путем совмещения видоизмененного метода Эйлера и метода Рунге-Кутта для численного решения уравнений ММ, но и в этом методе дифференцирование производится разностным способом, что даже при устойчивом решении может дать ошибку, превышающую допустимый предел. В качестве примера рассмотрена задача восстановления траектории взлета самолета Ил-76ТД, приведшей к аварии [1. С. 27-30]. Потексту видно, что исследование произведено недостаточно тщательно (правда автор работы признает, что были использованы «скудные сведения из периодической печати») и ответа на вопрос о причине аварии не дает, точнее дает, но семь вариантов ответа. Есть еще один момент, позволяющий говорить о недостаточной адекватности ММ, используемой в работе [1]. Движение самолета, представленное на рис. 9 [1. С. 28] (при неизменной скорости и угле атаки самолет в начале движется вверх, а затем вниз) просто невозможно или не приведен какой-то дополнительный фактор.

Рассмотрим построение ММ для идентификации процесса разбега ВС. Первоначальная цель моделирования - определение взлетной массы ВС и взлетной тяги двигателей по данным бортового самописца. В дальнейшем предусматривается выдача экипажу данных о параметрах разбега, необходимых при подготовке к полету и в процессе взлета.

Вначале определим основополагающие свойства ММ, по которым будет произведена его разработка [1]:

• 1)    адекватность. Уравнения модели должны соответствовать исследуемому процессу, также должны быть учтены все значащие факторы, определяющие его динамику. Поскольку на один и тот же параметр могут оказывать влияние одновременно несколько факторов, это не

обходимо учесть в ММ, что не всегда возможно. Еще один вариант - создание методики выделения требуемого процесса из ПД, что не всегда просто, но возможно;

• 2)    достоверность и работоспособность. Параметры модели должны быть близки к параметрам объекта, а решения уравнений - однозначными и устойчивыми. Для обработки ПД необходима эффективная методика подавления шумов;

• 3)    информативность. Разрабатываемую ММ необходимо сориентировать на решение поставленной задачи, под которой следует понимать извлечение с помощью ММ информации из полетных данных, с целью совершенствования модели и получения информации, содержащейся в ней в неявном виде.

Исходные данные. Уравнение разбега ВС имеет вид dV / dt — [Т _о - К _г ( mg КГ ) + К _ц К- К V ] / т , где V - скорость самолета; t - время; т - масса ВС; Т _о - суммарная тяга двигателей при V— 0 с учетом температуры и давления воздуха; К _г - коэффициент трения качения; g - ускорение свободного падения, g = 9,8 м/с; К _у - обобщенный коэффициент подъемной силы, ( Y — К _у V ¹ ); К _ц - коэффициент, определяющий снижение тяги двигателей от скорости (dT/d V <0); К - обобщенный коэффициент лобового сопротивления, А '— К _Х Р .

Уравнение (1) описывает движение ВС относительно воздуха, поэтому V - это истинная воздушная скорость. Принимаем воздух за инерциальную систему отсчета, т. е. пренебрегаем кратковременными порывами ветра, но его длительное изменение во время разбега - так называемый сдвиг ветра - система все равно должна отслеживать.

Уравнение (1) не отражает следующие факторы [5]:

• -    боковое обтекание ВС;

• -    раскрутку колес;

• -    несоосность двигателей и ВС.

Из них наиболее весомым является второй фактор: колеса участвуют в разбеге как полторы массы всех колес. Влиянием же бокового обтекания и вертикальной составляющей тяги можно пренебречь.

Датчиками скорости могут быть собственные датчики самописца или система воздушных сигналов, вычисляющая скорость ВС по соотношению полного и статического давлений. Период опроса датчиков - 0,5 или 1 с. Полетные данные переписываются с магнитной ленты самописца в компьютер, где вводится поправка на сжимаемость воздуха и устраняются систематические погрешности бортового датчика. В современных ВС поправки введены в память бортового самописца, поэтому такая обработка не нужна. Случайные погрешности всей системы считывания и записи, согласно техническим требованиям (ТТ), распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, их величина также ограничена ТТ.

Самописцы фиксируют приборную скорость ВС. Для перехода к истинной воздушной скорости необходимо ввести поправку на плотность воздуха, если она отличается от плотности на уровне моря, по стандартной формуле

• ^V ист ^V триб V ^Р СИ ^{1 р} .

Полетные данные для ММ компьютер выдает в виде текстового файла, где записано текущее время, прибор- ная скорость, угол тангажа, обороты двигателей. По паспорту полета, который поступает вместе с магнитной лентой, получают данные о массе ВС, температуре, давлении, силе и направлении ветра при взлете, на основании которых производится расчет начальной тяги и вводятся необходимые уточнения коэффициентов.

Методика обработки данных. Уравнение разбега имеет аналитическое решение. Обычно в этой ситуации осуществляет начальное сглаживание ПД и вариационное приближение решения уравнения к ним [1]. Недостатком данной методики является потеря и искажение информации в процессе сглаживания и неоднозначность получаемых результатов. Такими недостатками в разной степени страдают все методики [3], но в этом случае процесс сглаживания непосредственно влияет на результаты. Кроме того, сглаживание полиномами делает погрешности коррелируемыми, также возможно получение побочного процесса, вызванного связанными погрешностями.

Чтобы избежать указанных недостатков, предлагается уравнение решать численным методом, с коррекцией по ПД. Практически это выглядит следующим образом. Возьмем для простоты изложения численный метод Эйлера:

Хн=Х+ЛХ )т где/(Х.) = dХ/ dt приХ-Х.;т- шаг интегрирования.

Можно взять любой другой метод, но выводы будут не так очевидны и получить их будет намного сложнее.

В существующих методиках производная вычисляется разностным методом, иногда с применением сглаживания во избежание скачков:_ / ( Х ) = (Х- Х ) / т.В этом решении налицо обратная связь, которая может сделать решение неустойчивым, особенно при малых т.

В уравнении разбега (2)производную можно вычислить, поскольку известна скорость, заданная уравнением d V / d t =КV). Скорость можно взять из ПД. Рассмотрим этот процесс подробнее.

Положим, что Х (0), Х (1) Х(2)Х ( и ) - значения аналитического решения уравнения при t - i т, i - 0, 1, 2, „., и ; Х ₁ Х , Х _; Х - это ПД для тех же моментов времени; Y . - / ( Х . ) - производная, вычисленная аналитическим путем.

С учетом погрешностей численное решение имеет вид Х+1=Х(i )+А.+/[Х(i ) + А. ]т, где Х~ Х(i) + А., А.- погрешность i-го измерения. Итак, имея набор ПД, можно вычислить все Y.. Обозначим через Z. полученное решение для t - iт. Далее можно интегрировать двумя способами:

• -    1-й способ: Z . - Х _о + тЕ Y _k для к отОдо i- 1 (метод Эйлера в чистом виде [6]);

• -    2-й способ: Z-Х + т У ._₁ при Z _о = Х (0) - начальное условие.

Очевидно, что оба способа неитерационные, соответственно обратная связь отсутствует. Следовательно, решения устойчивы.

Для оценки точности решения представим/[ Х ( i ) + А . ] как/[ Х ( i )]+А . д Y/ д ХприХ-Х . Тогда погрешность Z . ₊₁ для первого способа можно представить как А Z . ₊₁ -А _о + тЕА _к дY / дХ _к_ ₁₂ . , для второго - как А Z . ₊₁ - А . + тА . д Y / дХ.

Поскольку погрешность А. носит случайный характер, то и АZ.+1 является также случайной величиной. Для первого способа погрешность зависит от количества шагов: среднеквадратичное отклонение суммы, в соответствии с предельной теоремой теории вероятностей, возрастает пропорционально квадратному корню от числа шагов. Во втором способе погрешность i попадает только в (i + 1)-е решение и далее не двигается. К ней прибавляется тА. дY / дХ. Если дY / дХ. имеет знак, противоположный А., то возможно уменьшение погрешности. Для этого тА. д¥ / дХ. не должна превышать А. по абсолютному значению более чем в два раза: |тА. дY/ дХ. | < 2А. | или |т д Y/ дХ | < 2 при д Y/ дХ < 0. При этом последнее условие является необходимым, а первое - достаточным.

Отсюда получим следствие: в процессе интегрирования происходит сглаживание, но без потери информации и связывания погрешностей. Еще одно неочевидное следствие: если повторить процесс несколько раз, используя уже не полетные данные, а результаты предыдущего решения Х - Z , то значение Z будет с каждой итерацией неограниченно приближаться к аналитическому решению (в пределах точности выбранного метода решения). Процесс становится итерационным, но под итерацией понимается не вычисление i -го значения, а проход по всем шагам.

Дальнейшее рассмотрение относится только к второму способу

Нетрудно убедиться, что уравнение разбега (2) удовлетворяет обоим приведенным выше условиям.

Перед началом работы производятся имитационные вычислительные эксперименты на аналитическом решении. Определяется вес коэффициентов на разных этапах разбега. На зашумленном решении проверяется процесс сглаживания погрешностей.

Работа модели происходит следующим образом. По полетным данным для каждого момента времени вычисляется производная. Затем по ПД и производной вычисляются значения скорости для всех моментов. Далее ПД заменяются этими значениями, и процесс повторяется до тех пор, пока значения скорости при следующей итерации будут отличаться от предыдущих не более чем на заранее заданную величину. При этом имеет значение путь, пройденный каждой точкой от ПД до последней итерации. Поскольку ПД предварительно не сглаживаются, то исследуется путь от первой итерации, где сглаживание уже произошло. За счет варьирования коэффициентов нужно минимизировать этот путь. Как показали вычислительные эксперименты, имеет значение не только длина пути, но и траектория точки. Она может быть колебательной с затуханием и без затухания или апериодической. Колебательность появляется при значительном отличии массы или тяги модели от реальных. Такое объединение модели и ВС позволяет довольно быстро и точно получить нужную информацию о массе ВС и взлетной тяге двигателей.

Для процесса идентификации точность метода численного интегрирования не имеет первостепенного значения, так как путь минимизируется практически одинаково при любом методе. Высокая точность потребуется для прогнозных расчетов, например при определении взлетной дистанции. В этом случае применимо аналитическое решение, или, если его нет, точный метод на основе данных идентификации.