Применение узкоспециализированных понятий в преподавании высшей алгебры в условиях кредитной системы обучения

Б.Б. Садыкова

В кредитной технологии обучения Республики Казахстан большая часть материала отводится на самостоятельное изучение студенту, что не дает возможности изучить все необходимые курсы в достаточной степени. Объем материала, который должен освоить студент, оста- ется тем же, что и при линейном обучении, а время на изучение – в три раза меньше. Преподаватель старается лишь дать всё самое необходимое, общее по его дисциплине, основные определения, правила, направления и структуру предмета. Остальной материал, а это прибли- зительно 70 %, студент должен изучить самостоятельно.

На Западе в течение одного полугодия изучают по 3–4 обязательных дисциплины, у нас же студенту первого курса, пришедшему со школьной скамьи и со слабо развитыми навыками самостоятельной работы, по ГОСО предлагается не менее десяти, и все они – разного направления (общеобразовательные). Студент физически не успевает подготовиться по всем предметам, поэтому большая масса студентов изучает материал поверхностно, только то, что дает лекционно педагог. На старших курсах количество дисциплин уменьшается, преподаются только дисциплины по данной специальности, но зачастую за два года обучения студенты привыкают учиться «в темпе». И именно здесь начинают прослеживаться пробелы в знаниях, в этом случае часто используют правило индукции: «от простого к сложному», но этот метод не всегда дает ожидаемый результат.

Отсюда, следует рассмотреть два вопроса относительно математики как дисциплины.

• 1.    Применимо ли правило – «от сложного к простому» при изучении математики?

• 2.    Возможно ли снять сложности обучения основным дисциплинам посредством изучения узкоспециализированных понятий?

Ранее в статье уже было сказано, что студентам недостаточно времени для изучения основных дисциплин, поэтому рассматривать узкоспециализированные понятия лучше на дополнительных занятиях или элективных курсах. Одной из ведущих на данных занятиях могут являться тема о тензорных пространствах и тема «уравнения над телами», так как они в системе обучения в вузе входят в значительную часть самостоятельно изучаемого материала. Предлагаемый блок тем является составляющей частью алгебры, изучаемой на старших курсах физико-математических факультетов. Этот курс одновременно усложняет и упрощает обучение. Сложность заключается в необходимости знаний основных элементов аналитической геометрии и основ высшей алгебры, упрощение – при освоении данной темы обучаемым дает возможность легче ориентироваться в главных дисциплинах своего курса.

На примере алгебры кватернионов, векторного и тензорного пространства, уравнений над телами и нового метода или способа перемножения элементов кватерниона, который может заинтересовать студента, дадим ответ на второй вопрос.

Итак, введем понятие «квазислед» посредством гамильтоновых кватернионов, чертежа и преобразований в матрице.

Рассмотрим алгебру кватернионов и воспользуемся уже известным ее построением. Возьмем элементы х = ex0 + jx1 + kx2 + lx3 и y = ey0 + jy1 + ky2 + ly3, где R – тело, x0, x1, x2, x3 – коэффициенты из R, e, j, k, l – базисные элементы. Перемножим два элемента x · y = (ex0 + jx1 + kx2 +lx3) (ey0 + jy1 + ky2 +ly3) = e (x0 y0 + x1y1 + x2 y2 + x3 y3 ) + j (x0 y1 + x1 y0 + x2 y3 - x3 y2 ) + k (x0 y2 - x1y3 + x2 y0 + x3 y1 ) + l (x0 y3 + x1 y2 - x2 y1 + x3 y0 ). Полученный результат запишем в виде матрицы

/ ^оУо ^оУ1 ^оУг хоУз \

*1Уо ^1У1 *1У2 -хгу3 \

I х2у0 -х2уг х2у2 х2у3

• \    ^зУо ^зУ1 -^зУа ^з№ , в которой

коэффициенты расставлены в определенном порядке: коэффициенты при e – расположены по главной диагонали, при l – по побочной диагонали, при j – в четырехугольнике относительно главной диагонали, при k – в четырехугольнике относительно побочной диагонали. На схематическом изображении данной матрицы

, где ° – коэффициент при e, * – коэффициент при j, · – коэффициент при k, ▪ – коэффициент при l видно, что коэффициенты,

Применение узкоспециализированных понятий в преподавании высшей алгебры в условиях кредитной системы обучения

записанные при e, j, k, l, дают определен- ную сумму, аналогичную следу матрицы.

Каждую такую сумму из полученных коэффициентов назовем квазиследом. Умножение двух элементов кватер- нионов определим через «наложение» матриц специального вида

/х₀  %□ х₀  х₀\/у₀  у_г у₂  у₃х

• X,  X, X,  х, у_{0  У1}   у₂  у_{3 =}

I х₂  х₂ х₂  х₂ I у₀  у,  у₂  у_э I

\х₃   х₃ х₃  х₃/\у_{а  У1} у₂  уд/

• / ^оУо   *оУ1  ^оУг   ^оУз \

• - ^Xi^  ^i^i ^1^ -ЗД

I х₂у₀  -x₂y_t х₂у₂   х₂у₃

\ ^зУо   ^зУ1 -^зУг  ^3^   , где первая матрица остается без изменения, а вторая – транспонируется.

Этот пример приводит студентов к пониманию, что можно не перемножать многочлены кватернионов, а представлять их в виде матриц и, как бы «накладывая» друг на друга, получать ответ, учитывая знаки. Этот метод намного облегчает вычисления при умножении элементов кватернионов.

В данном случае, квазислед и кватернион является узкоспециализированными понятиями, которые облегчают понимание не только основных определений алгебры, но также теорем, аксиом, лемм и следствий. Студенту для того, чтобы изучить эту тему, не раз и не два придет- ся обращаться к учебникам, к основным математическим определениям, при этом он не только научится самостоятельной работе, но и получит весь необходимый багаж знаний.

Вышесказанное позволяет сделать вывод, что, в частности, по математике возможно облегчение обучения основным дисциплинам посредством изучения узкоспециализированных понятий. Таким образом, мы ответили на второй вопрос. На основе приведенного примера одним из вариантов ответа на первый вопрос является «да», т. е. возможность применения правила «от сложного к простому» в частных вопросах изучения математики.

В заключение отметим, что в данной статье представлены лишь частные случаи, посредством которых мы получаем ответы на поставленные вопросы.