Применение векторов в механических задачах

В современной математике применение понятия вектора играет важную роль. С помощью векторов решаются многочисленные задачи различной степени сложности. Поэтому актуальность данной темы сохраняется до настоящего времени. Интерес человечества к понятию вектора связан с возникновением задач в механике и физике в XIX веке, и первое определение вектора было введено ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1845 году. Вскоре в различные области мировой науки стали активно внедряться векторные вычисления. Были созданы методы вычислений с использованием векторов, проведён их аналитический анализ, а также была выдвинута теория векторных пространств[1].

Применение векторов и их роль в курсе математики соответствуют требованиям учебной программы, поскольку понятие вектора является одним из важнейших математических понятий и имеет существенное значение также при изучении других дисциплин. Одним из фундаментальных понятий математики является понятие «вектор». Развитие данного понятия связано с его широким применением в различных областях математики, информатики, механики, а также в технологии. Векторы широко используются в различных направлениях математики и механики, и благодаря этому студенты получают большие возможности при изучении данных дисциплин и в своей дальнейшей профессиональной деятельности[2].

По наклонной плоскости скользит тело (рисунок 1). Согласно второму закону Ньютона, результирующее действие сил, действующих на тело, равно F = ma.

На данное тело действуют следующие силы:

P — сила тяжести, Psina -LP составляющая силы тяжести, направленная вдоль наклонной плоскости и вызывающая движение вниз, Fmp -Lсила трения, N- L реакция опоры, а также рисунок 1

Pcosa -^ составляющая силы тяжести, создающая давление на наклонную плоскость. Сумма сил, действующих на тело, равна ma . Для этого спроецируем силы на оси O x и O y . Ось O x направим вдоль наклонной плоскости вправо, а ось Oy -L перпендикулярно плоскости вверх.

При рассмотрении проекций на ось Oy получаем: N - Pcosa = 0.

По оси Ox :    - Psina + F_mp = ma.

Тогда равнодействующая сил, действующих на тело, имеет вид

• -    Psina + F_mp + N - Pcosa = ma, или, с учётом условий равновесия по оси O y ,

• -    Psina + F_mp = ma.

Это является уравнением движения тела вдоль наклонной плоскости.

Применение векторов при движении тел по наклонной плоскости позволяет проектировать силы по направлениям, выводить уравнения движения и определять равнодействующую силу.

Научные исследования, связанные с моделированием системы сил с помощью векторов, занимают важное место в механике, инженерии, математике и вычислительной технике[3,4].

Сила — это механическое воздействие, оказываемое на тело другими телами, которое приводит к изменению состояния его движения или к деформации. С математической точки зрения сила рассматривается как векторная физическая величина, поскольку обладает направлением. Вектор силы в пространстве определяется следующим образом:

F=(Fx;Fy;Fz)g R3, где Fx,Fy,Fz — проекции силы соответственно на координатные оси Ox, Oy и Oz.

Задача. На горизонтальную балку длиной 4 метра, изображённую на рисунке, действуют две внешние силы. Сила F 1=300 N приложена на расстоянии 1 метра от левого конца балки (точки O) и направлена вертикально вниз. Сила F2=400 N приложена в середине балки и направлена под углом 3 00вниз и вправо. Левый конец балки A — жёсткая опора (воспринимает силы и момент), правый конец B — роликовая опора

(воспринимает только вертикальную реакцию) (рис. 3). Требуется определить: результирующий вектор сил, действующих на балку, горизонтальную и вертикальную реакции опоры A, а также вертикальную реакцию

рисунок 2

опоры B[4].

Решение. Так как сила ^F 1 направлена строго вертикально вниз, то F 1 = { 0 ; - 300 } N . Сила F 2 направлена вниз под углом 30⁰ , поэтому:

F ^Q x = F 2 • cos 30 0 = 400 • у- « 346,4 N,

F ^а =- F ₂ • sin30⁰ =- 400 • - « - 200 N.

y ₂

Следовательно, F ₂ = { 346,4 ; - 200 } N.

Результирующий вектор сил: R = F 1 + F ₂ = { 346,4 ; - 500 } N .

Уравнение моментов относительно точки A: ^ M = 0 .

Момент силы F i : ^m f ₁ -^{- 300} ' ¹ -^{- 30}0 Nm, момент силы F 2 : M_F 2 -- 200 • 2 -- 400 Nm .

Момент реакции в точке B: ^m b ^- F B y' ^{4 N} •m .

Уравнение моментов:

M F ₁ + M_{F 1} + M B - 0, - 300 - 400 + 4 FB - - 0 ,F B y - 175 N .

Условие равновесия по вертикальным силам:

Условие равновесия по вертикальным силам:

F A + + F B - — 300 — 200 - 0 ,F A y - 325 N-

Вертикальные силы в условиях равновесия

F A y + F B - - 300 - 200 - 0 ,F A y - 325 N.

Условие равновесия по горизонтальным силам:

F A x + R_x - 0 ,F A x -- 346,4.

Заключение. Векторы являются одним из наиболее фундаментальных средств при математическом описании механических задач. Благодаря разделу математики - векторному анализу - можно строго и однозначно описывать направление и модуль сил, положение и параметры движения тела, а также моменты и условия равновесия с использованием координатной - основанных и строго выведенных математических уравнений. В целом, алгебра векторов является необходимой и эффективной теоретической основой для математического моделирования и анализа механических процессов, а её широкое применение обеспечивает высокую результативность как в образовательной сфере, так и в промышленной практике[5,6].

Следовательно, при решении задач статики использование векторного представления сил и их проекций, а также уравнений равновесия сил и моментов позволяет определить распределение сил, действующих на балку, и реакции опор.