Задача о трансверсалях в проектировании пространственных стержневых конструкций

В архитектурном проектировании широко применяются разнообразные пространственные фермы и арки, которые могут служить не только самостоятельными несущими конструкциями, но и входить в состав тонкостенных пространственных покрытий в качестве диафрагм, оболочек и т. п. При проектировании пространственных стержневых конструкций требуется находить прямые линии (трансверсали), пересекающие некоторое множество заранее заданных прямолинейных или криволинейных стержней [1]. Подобные геометрические задачи также возникают в кристаллографии при построении моделей кристаллических решеток [2], в геодезии при расчете траекторий и в других областях техники. В своей простейшей постановке задача о трансверсалях сводится к построению общей секущей двух или трех скрещивающихся прямолинейных направляющих. При этом получают множество прямых, образующих известные линейчатые поверхности второго порядка, применяемые в строительстве и архитектуре (косые плоскости, однополостные гиперболоиды).

Особо следует рассмотреть построение общей секущей четырех произвольно расположенных в пространстве скрещивающихся прямых, так как эта задача не решается методами элементарной геометрии. Для ее точного конструктивного решения требуется использовать теорию кривых второ- го порядка и специализированное программное средство [3].

В современной начертательной геометрии пространство рассматривают как множество каких-либо объектов, которые называют «точками». Одним из простейших множеств является пространство прямых (линейчатое пространство). В линейчатом пространстве в качестве основного базового, неделимого элемента («точки») принята прямая линия, а все геометрические объекты рассматриваются как множества прямых. Например, плоскость рассматривают как поле прямых, а точку плоскости как пучок прямых линий. Студенты, изучающие теорию перспективы, знают, что перспективное изображение точки строится как место пересечения двух каких-либо характерных вспомогательных прямых (радиальных, перпендикулярных к картине, идущих в общую точку схода и др.). Иначе говоря, точка в перспективе моделируется двумя прямыми линиями.

Напомним, что в обычном точечном пространстве прямая моделируется двумя точками. Поэтому двумерное точечное и линейчатое двумерное пространства взаимно двойственны (оба пространства двупараметричны).

При переходе в трехмерное пространство двойственность нарушается. Если обычное точечное пространство трехпараметрично (содержит да ³

Короткий В.А., Усманова Е.А., Хмарова Л.И.

точек), то линейчатое пространство состоит из четырехпараметрического множества прямых (содержит ∞ ⁴ прямых), так как каждая прямая трехмерного пространства определяется четырьмя параметрами.

Решение задачи о трансверсали четырех данных прямых a , b , c , d сводится, как известно, к построению линейчатой поверхности Θ с тремя прямолинейными направляющими, в качестве которых берут любые три прямые из четырех заданных, и к последующему поиску точек пересечения четвертой прямой с поверхностью Θ .

Рис. 1. Пространственная стержневая конструкция (чертеж)

Пусть дан двухпроекционный чертеж пространственной стержневой конструкции, состоящей из четырех непересекающихся стержней a , b , c , d (рис. 1). Требуется найти положение стержней, пересекающих данные, то есть построить трансверсали четырех скрещивающихся прямых. Алгоритм построения трансверсалей остается неизменным при использовании любой геометрической модели, изоморфной трехмерному евклидову пространству. В частности, задача совершенно одинаково решается как на двухпроекционном

Задача о трансверсалях в проектировании пространственных стержневых конструкций чертеже (см. рис. 1), так и на 3D-макете, выстраиваемом на экране компьютера. Изоморфизм модели является обязательным условием не только геометрического, но любого другого моделирования (математического, физического, технического и др.). Рассмотрим алгоритм решения задачи о трансверсалях (общих секущих) четырех непере-секающихся прямых a, b, c, d, произвольно расположенных в пространстве.

Действие первое. Принимая любые три из четырех данных прямых (например, прямые a , b , c ) за направляющие линейчатой поверхности Θ , строим сетку прямых, пересекающих направляющие a , b , c . Как известно, Θ – поверхность второго порядка (однополостный эллиптический гиперболоид), поэтому любое плоское сечение поверхности Θ – кривая второго порядка, которая вполне определена пятью своими точками. Поэтому достаточно «дополнить» сетку гиперболоида Θ всего двумя прямыми m, n , пересекающими данные прямые a , b , c (рис. 2, а). Поскольку эта задача решается известным способом, то на чертеже не показаны вспомогательные построения. После выполнения вспомогательных построений получаем сетку, содержащую пять прямых a , b , c , m , n , лежащих на поверхности гиперболоида Θ . Каждая из скрещивающихся прямых a , b , c пересекается с прямыми m , n , образуя шесть точек пересечения (см. рис. 2, а).

Действие второе. Находим точки пересечения заданной прямой d с поверхностью Θ . Это построение выполняется по схеме решения первой позиционной задачи. В соответствии со схемой через прямую d проводим вспомогательную секущую плоскость Σ , которая пересекает сетку a , b , c , n , m в точках 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . Горизонтальные проекции этих точек отмечены на чертеже (рис . 2, б) двойными кружками. Через найденные точки 1…5 проходит коническое сечение g поверхности Θ се-

а)                               б)                                            в)

Рис. 2. Построение кривой второго порядка по пяти точкам

Научно-методический раздел кущей плоскостью Е. В пересечении прямой d с коническим сечением g отмечаем точки M, N (рис. 2, в).

Отметим, что посредством обычных инструментов (циркуля, линейки) невозможно вычертить кривую второго порядка, проходящую через заданные точки 1...5 . Такая опция (вычерчивание кривой второго порядка, проходящей через пять заданных точек) для общего случая не предусмотрена ни в одной из современных графических программ. Поэтому для решения задач геометрического моделирования составлено программное средство [3], с помощью которого вычерчивается кривая второго порядка g (в данном примере -гипербола), инцидентная пяти точкам 1^5 (см. рис. 2, в). В точках M , N прямая d пересекается с поверхностью гиперболоида ©(a , b , c...) .

Действие третье. Искомая трансверсаль t в соответствии с условием задачи должна пересечься с прямыми a , b , c , следовательно, прямая t должна находиться на поверхности гиперболоида ©(a , b , c...) . С другой стороны, прямая t должна пересекать данную прямую d , которая имеет с гиперболоидом © всего две общие точки M , N . Поэтому искомая прямая должна быть образующей гиперболоида и проходить через точку N (или M ). Через точку N на поверхности гиперболоида проходит единственная прямолинейная образующая, пересекающая направляющие a , b , c , которая и является искомой трансверсалью t . Для окончательного решения задачи достаточно провести через точку N (или точку M ) прямую , пересекающую любые две из трех заданных прямых a , b , c .

Пусть, например, построена прямая t , проходящая через N и пересекающая прямые a , b в точках A , B (рис. 3). Построение такой прямой выполняется обычными средствами начертательной геометрии, поэтому на чертеже условно не показаны соответствующие вспомогательные построения. Найденная прямая t имеет три общие точки A , B , N с поверхностью гиперболоида © , следовательно, прямая t принадлежит поверхности гиперболоида и в некоторой точке C пересекает направляющую c (см. рис. 3). Прямая t является искомой трансверсалью, пересекающей данные прямые a , b , c , d в точках A , B , C , N .

Рис. 3. Построение трансверсали

Повторяя указанное рассуждение для точки M , находим еще одно решение задачи. Очевидно, если точки пересечения M , N с гиперболоидом © мнимые, то задача не имеет решения. Если точки M , N совпали (прямая d касается гиперболоида © ) -получаем одно решение. Таким образом, задача о трансверсалях четырех данных прямых может иметь два, одно или вовсе не иметь решений.

Вывод

Алгоритм решения задачи о трансверсалях может быть реализован в практике конструирования пространственных стержневых конструкций с помощью специализированных средств компьютерной графики в сочетании с классическими методами начертательной геометрии.