Методический подход к агрегированию экспертных и статистически обусловленных данных при определении значений весовых коэффициентов в задачах принятия решений

В условиях стремительного роста объёмов данных и усложнения систем, с которыми взаимодействует современный человек, возрастает потребность в инструментах, способных преобразовывать многообразную, разнотипную информацию в сжатые, интерпретируемые формы. Одним из таких инструментов являются интегральные показатели – обобщённые числовые оценки, сводящие множество частных характеристик объекта или процесса к единому значению. Эти показатели находят широкое применение в экономике, в управлении рисками, в оценке качества и т. д.

Ключевая методологическая трудность при построении интегрального показателя заключается в определении весов, которые задают важность отдельных частных критериев. Принципиально здесь сталкиваются два подхода. Первый основан на объективных данных, где веса рассчитываются по информации, содержащейся в самих показателях. Наиболее распространённым примером использования информационных критериев является энтропийный метод, позволяющий оценить степень значимости каждого критерия на основании его вклада в уменьшение неопределённости (информационного содержания) данных. Эти методы основаны на измерении информационной энтропии и позволяют определить, насколько каждый признак способствует лучшему объяснению или разделению данных. Второй подход – экспертный, базирующийся на субъективных оценках специалистов, обладающих знаниями в соответствующей предметной области. Он позволяет учитывать не только статистические закономерности, но и контекст, цели анализа, практическую значимость характеристик.

Ни один из этих подходов не является универсальным. Чрезмерная опора на данные может привести к игнорированию смысла и специфики предметной области. В то же время полная зависимость от экспертных оценок чревата высокой долей субъективности. Именно поэтому возрастает интерес к гибридным стратегиям, направленным на синтез объективных и субъективных источников информации при определении значений весов интегральных показателей.

• 2 ОБЗОР МЕТОДОВ

• 2.1    Роль весов в многокритериальной оценке и интегральных показателях

• 2.2    Подходы к взвешиванию

В многокритериальных методах оценки и системах построения интегральных показателей веса выполняют фундаментальную функцию согласования разнородных критериев и их влияния на итоговую оценку. В большинстве практических задач отдельные показатели характеризуют разные свойства объекта, измеряются в различных единицах, имеют неодинаковые масштабы и несут неодинаковую ценность для исследователя или пользователя модели. Без введения весовых коэффициентов агрегирование таких критериев приводит к методологически ошибке – когда вклад каждого из них становится одинаковым, независимо от его значимости и роли в структуре задачи [1]. В результате интегральный показатель теряет чувствительность к действительно важным характеристикам и начинает отражать лишь механическую сумму нормированных значений.

Неоднородность критериев проявляется в двух аспектах – содержательном и статистическом. Содержательная неоднородность связана с тем, что разные показатели по своей природе могут отражать принципиально различные стороны объекта. Например, показатель точности в системе рекомендаций и показатель разнообразия представляют разные типы полезности, и их значимость неизбежно различна для разных сценариев принятия решений. Статистическая неоднородность проявляется в различной вариативности данных: одни показатели меняются в широком диапазоне, другие – в весьма узком. В отсутствие весов критерии с высокой дисперсией могут доминировать при агрегации, подавляя влияние показателей с меньшими колебаниями, даже если последние имеют большую содержательную значимость.

Введение весов позволяет решить обе указанные проблемы. С одной стороны, веса отражают предпочтения, цели и приоритеты системы принятия решений, делая вклад каждого критерия соразмерным его реальной роли. С другой стороны, корректное взвешивание стабилизирует агрегирование, компенсируя эффект статистического доминирования и обеспечивая сбалансированное участие показателей в формировании интегральной оценки.

Весовой коэффициент фактически задает силу влияния каждого критерия на итоговый показатель. Даже небольшое изменение веса способно существенно повлиять на ранжирование альтернатив и интерпретацию результата. Поэтому выбор весов является критически важным этапом построения интегральных показателей. Ошибочно подобранные или некорректно обоснованные веса могут привести к искажению выводов, переоценке второстепенных характеристик, подавлению ключевых факторов.

Методы определения весовых коэффициентов в задачах многокритериальной оценки различаются, прежде всего, по математической природе информации , используемой для формирования весов. В этом смысле все подходы можно разделить на два принципиально различных класса: экспертные (субъективные) и статистические (объективные) . Данное разделение основано не на способе сбора информации, а на формальном механизме её преобразования в числовые веса.

Экспертные методы используют субъективные оценки значимости критериев и формализуют их с помощью различных математических моделей. К базовым экспертным методам относятся:

• .    ранговые модели , в которых веса выводятся из порядковых предпочтений критериев [2];

• .    шкальные модели , основанные на числовых оценках значимости с последующей нормировкой [3];

• .    методы парных сравнений , прежде всего метод анализа иерархий Т. Саати, в котором веса вычисляются как собственный вектор матрицы предпочтений [4].

• 2.3 Потребность в гибридизации методов

Принципиальной особенностью экспертных методов является то, что веса отражают содержательную значимость критериев, определяемую знаниями и опытом специалистов. При этом математическая строгость методов различается: от простых нормировочных схем до формализованных спектральных моделей с контролем согласованности. Общим ограничением всех экспертных подходов остаётся их зависимость от субъективных оценок и потенциальная чувствительность к несогласованности исходных суждений.

Объективные методы образуют самостоятельный математический класс, основанный на принципах теории информации. В рамках этого подхода каждый критерий рассматривается как источник информации о различии между альтернативами, а его вес определяется статистической информативностью распределения значений.

Математическая идея энтропийного метода заключается в том, что критерии с высокой степенью вариативности обладают большей способностью различать объекты и, следовательно, должны иметь больший вклад в интегральную оценку [5]. Напротив, показатели с равномерным или слабо изменяющимся распределением характеризуются высокой энтропией и получают меньший вес. Веса вычисляются через нормализацию данных, расчёт энтропии и нормировку коэффициентов разнообразия, что обеспечивает строго формализованную и воспроизводимую процедуру.

Ключевым достоинством энтропийных методов является их объективность в математическом смысле: веса полностью определяются структурой данных и не зависят от субъективных предпочтений. Вместе с тем энтропийный подход не учитывает содержательную значимость критериев и может занижать вклад показателей, критически важных по смыслу, но обладающих низкой вариативностью.

Проблема выбора весовых коэффициентов в интегральных показателях неизбежно сталкивается с противоречием между субъективностью экспертных оценок и объективностью методов, основанных на данных. Экспертные веса отражают содержательную важность критериев, понимание того, какие параметры действительно критичны для анализа объекта или принятия решений. Эти оценки формируются на основе опыта, профессиональной интуиции, знаний предметной области и контекстуальных факторов, которые невозможно извлечь напрямую из числовых данных. Благодаря экспертным весам интегральный показатель получает интерпретируемость и согласованность с реальными приоритетами системы.

В противоположность этому энтропийный подход оценивает критерии исключительно через призму их статистической информативности. Он показывает, какие показатели наиболее вариативны, способны различать объекты и несут наибольший вклад в информационное содержание данных. Однако высокая или низкая вариативность вовсе не означает практическую важность критерия. Некоторые показатели могут быть стабильными по природе, но критически значимыми; другие - вариативными, но второстепенными. Таким образом, энтропийный метод объективен, но его объективность ограничена рамками наблюдаемых данных, что не всегда совпадает с реальной структурой значимости факторов.

Это противоречие создаёт необходимость синергии двух подходов. Только объединение субъективной важности и объективной информативности позволяет сформировать устойчивую и осмысленную систему весов [6]. Экспертные веса придают модели смысл - определяют, какие критерии должны играть решающую роль, соответствуют ли они целям анализа и насколько отражают знания. Энтропийные веса выполняют корректирующую функцию: они адаптируют структуру значимости в соответствии с реальным распределением данных, усиливая критерии с высокой информативностью и ослабляя те, что не различают объекты. Таким образом, энтропийный компонент компенсирует возможные перекосы субъективных суждений, а экспертный - устраняет слепоту статистического подхода.

Сочетание этих двух перспектив - содержательной и информационной приводит к гибридной системе взвешивания, которая одновременно интерпретируема, устойчива и чувствительна к структуре данных. Именно такая система является наиболее адекватной для современных задач многокритериальной оценки, особенно в сложных областях, где критерии различаются по природе, масштабу и уровню неопределённости.

Постановка на разрабатываемый метод логично вытекает из изложенного: цель состоит в формировании комбинированных весов, которые учитывают экспертную значимость критериев, но одновременно модифицируются с учётом информационной ценности каждого показателя, определяемой энтропийным подходом. Разрабатываемый метод направлен на интеграцию двух весовых систем таким образом, чтобы итоговый вектор весов был более сбалансированным, отражал как практическую важность критериев, так и их способность различать объекты, и обеспечивал устойчивость интегральной оценки при изменении данных или смещении экспертных предпочтений.

• 3.    АППАРАТ МЕТОДИКИ

  • 3.1.    Общая архитектура

• 3.2.    Оценка согласованности экспертных оценок (Этап 1)

Предложенная методика синтеза экспертных и объективных весов представляет собой последовательную цепочку из шести взаимосвязанных этапов, каждый из которых выполняет определённую функцию в процессе формирования итогового гибридного весового вектора. Архитектура методики построена по принципу конвейерной обработки: результат каждого этапа служит входными данными для последующего, что обеспечивает логическую целостность и прозрачность процесса принятия решений.

Цепочка этапов организована следующим образом: согласованность, вариативность, достаточность, доверие, агрегация, синтез. На первом этапе оценивается степень единодушия экспертной группы посредством вычисления коэффициента согласованности. Далее анализируется вариативность индивидуальных оценок, на основании которой определяется минимально необходимое число экспертов. Третий этап сопоставляет фактическое число экспертов с расчётным минимумом, формируя коэффициент достаточности.

Четвёртый этап является центральным: на основании совместного эффекта согласованности и достаточности через сигмоидальную функцию вычисляется коэффициент доверия, определяющий пропорцию влияния экспертных и энтропийных весов в итоговом показателе. На пятом этапе индивидуальные экспертные оценки агрегируются с учётом компетентности экспертов и нормализуются для обеспечения совместимости с энтропийными весами. Заключительный шестой этап объединяет оба источника весов в единый синтетический вектор посредством выпуклой линейной комбинации.

Важно отметить, что методика является адаптивной: при высоком качестве экспертной группы итоговые веса приближаются к экспертным оценкам, при низком – к объективным энтропийным весам. Данный механизм реализует принцип «мягкого переключения» между двумя весовыми парадигмами, исключая необходимость жёсткого выбора между ними.

Первым этапом методики является количественная оценка степени согласованности экспертной группы. Коэффициент согласованности характеризует, насколько однородны оценки, выставленные различными экспертами по каждому из рассматриваемых критериев. Для его вычисления используется следующая формула:

^cons ⁼ ^Si=i (1-2 ■ -Zj=i|5_eip — S^pl), (1)

где N – число оцениваемых критериев; M – число экспертов в группе; ^PIO – оценка j -го эксперта для i -го критерия; 5 exp – среднее арифметическое экспертных оценок по i -му критерию.

Обоснование выбора данной конструкции определяется следующими соображениями. Внутреннее выражение вычисляет среднее абсолютное отклонение (MAD) оценок экспертов от группового среднего по каждому критерию. Множитель 2 обеспечивает нормировку к единичному диапазону при условии, что оценки экспертов лежат в интервале [0, 1]. Вычитание из единицы преобразует меру расхождения в меру согласованности: чем меньше разброс, тем ближе значение к 1.

Поведение при граничных значениях: если все эксперты выставили одинаковые оценки по всем критериям, MAD = 0 и к cons = 1.0, что свидетельствует об абсолютной согласованности. Если оценки максимально расходятся (часть экспертов ставит 0, часть – 1), ^cons стремится к 0, что указывает на полное отсутствие единодушия. В промежуточных ситуациях коэффициент принимает значения, пропорциональные степени однородности мнений.

Результат данного этапа – величина ^cons – передаётся на этапы 3 и 4, где используется совместно с коэффициентом достаточности для вычисления итогового коэффициента доверия.

Классический подход решения данной задачи через коэффициент конкордации Кендалла не вполне применим к рассматриваемой постановке, поскольку в работе используются не ранговые экспертные оценки, а количественные значения весов. В таких условиях задача состоит не в анализе согласованности ранжировок, а в анализе степени близости числовых оценок экспертов и последующей интеграции этих оценок с объективными весами. Поэтому прямое использование коэффициента конкордации Кендалла требует либо дополнительного преобразования исходных данных в ранговую шкалу, что приводит к потере части информации о величине различий между оценками, либо замены на методы, ориентированные на обработку количественных экспертных данных. В этой связи предлагаемый подход ориентирован именно на работу с неранговыми экспертными оценками и на использование характеристик их разброса, согласованности и достаточности без сведения исходных данных к ранговой форме.

Также следует отметить, что в данной работе оценка согласованности экспертной группы не используется для решения задачи исключения отдельных экспертов или искусственного выравнивания состава группы. Напротив, исходная постановка ориентирована на сохранение всей совокупности экспертных суждений как источника содержательно значимой информации. Поэтому согласованность рассматривается не как критерий отсева, а как параметр, характеризующий степень надежности коллективного экспертного мнения при последующем определении итоговых весов. Это позволяет перейти от бинарной схемы «приемлемая/неприемлемая группа» к адаптивной схеме объединения весов, в которой уровень согласованности определяет меру влияния экспертного компонента на итоговый результат. При таком подходе даже частичная несогласованность экспер- тов не приводит к отказу от использования их мнений, а учитывается через снижение степени доверия к экспертному блоку и соответствующее усиление роли объективных весов.

• 3.3.    Оценка вариативности экспертных оценок (Этап 2)

На втором этапе анализируется вариативность индивидуальных экспертных оценок посредством вычисления дисперсии. Данная характеристика отражает степень разброса оценок каждого эксперта относительно его собственного среднего значения и рассчитывается по формуле:

°² ~^fN ^j^i^i^^exp ^— ^exp) ,                      (2)

где ^exp – среднее значение оценок j -го эксперта по всем критериям. Дисперсия σ ² характеризует внутреннюю неоднородность экспертных суждений: высокое значение свидетельствует о существенном разбросе оценок, что может потребовать привлечения дополнительных экспертов.

На основании вычисленной дисперсии определяется минимально необходимое число экспертов:

^Mmin = ^maX (м_Ьазв; У ,                          (3)

где ^base – базовое минимальное число экспертов, устанавливаемое априори; σ ² – допустимая погрешность (порог точности).

Формула 2 реализует следующий принцип: если вариативность оценок велика ( σ ² высока), требуется большее количество экспертов для получения статистически надёжных результатов. Отношение σ ²/ δ ² определяет статистически обоснованный минимум, однако данное значение не может быть ниже базового порога M'oase , что предотвращает вырожденные случаи при малой дисперсии.

Поведение при граничных значениях: при нулевой дисперсии (все оценки одинаковы) σ ²/ δ ² = 0, и ^mi n = . При высокой дисперсии Mmin возрастает пропорционально отношению σ ²/ δ ², что отражает потребность в расширении экспертной группы для компенсации высокой вариативности мнений.

Результат данного этапа – значение Mmin – передаётся на следующий этап для вычисления коэффициента достаточности экспертной группы.

• 3.4.    Коэффициент достаточности экспертной группы (Этап 3)

• 3.5.    Коэффициент доверия экспертным оценкам (Этап 4)

Третий этап сопоставляет фактическое число экспертов M с минимально необходимым Mmi n , вычисленным на предыдущем этапе. Коэффициент достаточности определяется следующим образом:

С=™(^: . (4)

Обоснование данной конструкции состоит в следующем. Коэффициент C выступает в роли индикатора полноты экспертной группы. Если фактическое число экспертов достигает или превышает расчётный минимум ( M ≥ Mmin), коэффициент принимает значение 1, что означает достаточность группы. В противном случае C < 1, и его значение пропорционально отношению M / Mmin , что количественно отражает степень недоукомплектованности экспертной группы.

Поведение при граничных значениях: при M = Mmin коэффициент C = 1 (группа достаточна). При M < Mmi n коэффициент C = M/Mmin < 1, что пропорционально снижает доверие к экспертным оценкам на последующем этапе. Ограничение сверху единицей исключает «поощрение» за избыточное число экспертов, поскольку увеличение группы сверх необходимого минимума не повышает каче- ство оценок автоматически.

Результат данного этапа – коэффициент C – совместно с ^cons используется для вычисления коэффициента доверия на следующем этапе.

Четвёртый этап является центральным элементом методики. Коэффициент доверия ^exp определяет пропорцию, в которой экспертные и энтропийные веса участвуют в формировании итогового синтетического вектора. Для его вычисления используется сигмоидальная (логистическая) функция:

^вхр        КсоцС-т ,                                (5)

1+e t где m – параметр сдвига, определяющий точку перегиба сигмоиды; t – параметр крутизны (температура), регулирующий скорость перехода между режимами минимального и максимального доверия.

Аргументом сигмоиды служит произведение ^cons · C , отражающее совместный эффект согласованности и достаточности экспертной группы.

Обоснование выбора сигмоидальной функции определяется её ключевыми свойствами. Во-первых, она обеспечивает плавный, непрерывный переход между двумя режимами: доверия экспертам (^«tp стремится к 1) и доверия энтропийным весам ( к exp стремится к 0), исключая резкие скачки при изменении входных параметров. Во-вторых, параметры m и t позволяют гибко настраивать поведение функции: m определяет, при каком значении ^■cons · C происходит переключение, а t контролирует ширину переходной зоны. При малом t переход становится практически скачкообразным, при большом – растянутым и плавным.

Результат данного этапа – коэффициент к exp – используется на этапе 6 в качестве весового множителя при объединении экспертных и энтропийных весов.

• 3.6.    Формирование агрегированных экспертных оценок (Этап 5)

На пятом этапе индивидуальные экспертные оценки агрегируются в единый весовой вектор с учётом компетентности каждого эксперта. Агрегация осуществляется по формуле взвешенного среднего:

^Sexp_w ^— Sj=l (^exp ’ ^) ,                            (6)

где ^Wj – вес (компетентность) j -го эксперта; Σ w – сумма весов всех экспертов.

Нормировка весов на их сумму обеспечивает инвариантность результата относительно масштаба весовых коэффициентов.

Затем производится нормализация агрегированных оценок для обеспечения их совместимости с энтропийными весами:

Л         X

.                                                      (7)

^^l °₽xp_w

Нормализация гарантирует, что сумма агрегированных экспертных весов равна 1, что является необходимым условием для корректного применения выпуклой линейной комбинации на следующем этапе. Без нормализации масштабы экспертных и энтропийных весов могут существенно различаться, что приведёт к искажению итогового результата.

Входными данными для данного этапа служат матрица экспертных оценок и вектор компетентностей экспертов. Результат – нормализованный весовой вектор ^nerm – передаётся на заключительный этап синтеза.

• 3.7.    Объединение экспертных и энтропийных весов (Этап 6)

На заключительном этапе формируется итоговый синтетический весовой вектор посредством выпуклой линейной комбинации нормализованных экспертных и энтропийных весов:

^ union I*exp ^ norm

entropy ^,

где $ entropy – энтропийный вес i -го критерия, вычисленный на основе информативности данных.

Коэффициент ^exp выступает в роли адаптивного балансира: он автоматически перераспределяет влияние между двумя источниками в зависимости от качества экспертной группы.

Обоснование формулы выпуклой комбинации состоит в следующем. Данная конструкция гарантирует, что итоговые веса также образуют корректное вероятностное распределение (сумма равна 1 при условии, что оба исходных вектора нормализованы). Кроме того, каждый итоговый вес является ограниченной снизу и сверху комбинацией соответствующих экспертного и энтропийного весов, что исключает появление отрицательных или аномально больших значений.

Поведение при граничных значениях: при ^exp = 1 синтетические (итоговые) веса полностью совпадают с нормализованными экспертными весами (Runion = ). При ^exp = 0 итоговые веса определяются исключительно энтропийным методом (■^uriion = ). Промежуточные значения ^exp обеспечивают гибридный баланс, адаптивный к конкретным условиям.

• 4.    Иллюстрационные расчёты

• 4.1.    Сценарий А: согласованная группа

Для демонстрации работы методики выполнены расчёты для трёх сценариев, различающихся степенью согласованности экспертной группы. Во всех сценариях используются следующие общие параметры: число критериев N = 4, число экспертов M = 5, параметр сдвига сигмоиды m = 0.5, параметр крутизны t = 0.1, базовое минимальное число экспертов ^base = 3, допустимая погрешность δ = 0.05. Веса компетентности экспертов приняты равными ( ^wi = 1 для всех j ). Энтропийные веса зафиксированы: $ entropy = (0.35; 0.25; 0.20; 0.20).

В данном сценарии эксперты демонстрируют высокую степень единодушия: их оценки по каждому критерию отличаются незначительно (таблица 1). Данная ситуация характерна для случаев, когда в экспертную группу входят специалисты с однородным профессиональным опытом и сходным пониманием предметной области.

Таблица 1. Исходные экспертные оценки (сценарий А)

Эксперт	Критерий 1	Критерий 2	Критерий 3	Критерий 4
Эксперт 1	0.34	0.26	0.19	0.21
Эксперт 2	0.35	0.25	0.20	0.20
Эксперт 3	0.33	0.27	0.18	0.22
Эксперт 4	0.34	0.26	0.19	0.21
Эксперт 5	0.34	0.26	0.19	0.21

Пошаговый расчёт по формулам методики:

Этап 1. Среднее абсолютное отклонение по критериям: 0.0042, 0.0054, 0.0038, 0.0036. Коэффициент согласованности = 0.9760.

Этап 2. Дисперсия экспертных оценок σ ² = 0.0033. Статистический минимум экспертов σ ²/ δ ² = 1.32. Итоговое = max(3, 1.32) = 3.0000.

Этап 3. Коэффициент достаточности C = min(5/3.0000, 1) = 1.0000.

Этап 4. Аргумент сигмоиды    · C = 0.9915 · 1.0000 = 0.9915. Коэффициент доверия = 0.9927.

Этап 5. Агрегированные экспертные оценки : (0.3406, 0.2565, 0.1915, 0.2128). Нормализованные веса : (0.3401, 0.2562, 0.1912, 0.2125).

Этап 6. Синтетические веса : (0.3402, 0.2561, 0.1913, 0.2124).

Итоговые веса сценария представлены в таблице 2.

Таблица 2. Итоговые веса (сценарий А)

Критерий	J norm (экспертные)	entropy (энтропийные)	J union (синтетические)
Критерий 1	0.3401	0.3500	0.3402
Критерий 2	0.2562	0.2500	0.2561
Критерий 3	0.1912	0.2000	0.1913
Критерий 4	0.2125	0.2000	0.2124

• 4.2.    Сценарий Б: несогласованная группа

В данном сценарии оценки экспертов существенно расходятся: по каждому критерию наблюдается значительный разброс мнений (таблица 3). Такая ситуация может возникать при привлечении специалистов из различных областей, обладающих принципиально разным видением приоритетов.

Таблица 3. Исходные экспертные оценки (сценарий Б)

Эксперт	Критерий 1	Критерий 2	Критерий 3	Критерий 4
Эксперт 1	0.47	0.03	0.47	0.03
Эксперт 2	0.03	0.47	0.03	0.47
Эксперт 3	0.45	0.05	0.05	0.45
Эксперт 4	0.05	0.45	0.45	0.05
Эксперт 5	0.25	0.25	0.25	0.25

Пошаговый расчёт по формулам методики:

Этап 1. Среднее абсолютное отклонение по критериям: 0.1700, 0.1700, 0.1700, 0.1700. Коэффициент согласованности = 0.66.

Этап 2. Дисперсия экспертных оценок σ ² = 0.036. Статистический минимум экспертов σ ²/ δ ² = 14.4. Итоговое = max(3, 14.4) = 14.4.

Этап 3. Коэффициент достаточности C = min(5/14.4, 1) = 0.3448.

Этап 4. Аргумент сигмоиды · C = 0.66 · 0.3448 = 0.2276. Коэффициент доверия = 0.0616.

Этап 5. Агрегированные экспертные оценки : (0.2500, 0.5000, 0.2500, 0.2500). Нормализованные веса : (0.2500, 0.2500, 0.2500, 0.2500).

Этап 6. Синтетические веса : (0.3438, 0.2500, 0.2031, 0.2031).

Итоговые веса сценария представлены в таблице 4.

Таблица 4. Итоговые веса (сценарий Б)

Критерий	J norm (экспертные)	J entropy (энтропийные)	J union (синтетические)
Критерий 1	0.2500	0.3500	0.3438
Критерий 2	0.2500	0.2500	0.2500
Критерий 3	0.2500	0.2000	0.2031
Критерий 4	0.2500	0.2000	0.2031

• 4.3.    Сценарий В: частично согласованная группа

В данном сценарии наблюдается умеренный разброс оценок: эксперты в целом демонстрируют схожие тенденции, однако имеются заметные расхождения по отдельным критериям (таблица 5). Данная ситуация является наиболее типичной для реальной практики экспертного оценивания.

Таблица 5 . Исходные экспертные оценки (сценарий В)

Эксперт	Критерий 1	Критерий 2	Критерий 3	Критерий 4
Эксперт 1	0.42	0.13	0.29	0.16
Эксперт 2	0.20	0.37	0.11	0.32
Эксперт 3	0.37	0.16	0.34	0.13
Эксперт 4	0.16	0.34	0.14	0.36
Эксперт 5	0.39	0.20	0.26	0.15

Пошаговый расчёт по формулам методики:

Этап 1. Среднее абсолютное отклонение по критериям: 0.1017, 0.0908, 0.0808, 0.2251. Коэффициент согласованности = 0.8175.

Этап 2. Дисперсия экспертных оценок σ ² = 0.01029. Статистический минимум экспертов σ ²/ δ ² = 4.1198. Итоговое = max(3, 4.1198) = 4.1198.

Этап 3. Коэффициент достаточности C = min(5/4.1198, 1) = 1.0000.

Этап 4. Аргумент сигмоиды · C = 0.8175 · 1.0000 = 0.8175. Коэффициент доверия = 0.8925.

Этап 5. Агрегированные экспертные оценки : (0.3064 0.2402, 0.2284, 0.2251). Нормализованные веса : (0.3064 0.2402, 0.2284, 0.2251).

Этап 6. Синтетические веса : (0.3111, 0.2413, 0.2253, 0.2224).

Итоговые веса сценария представлены в таблице 6.

Таблица 6. Итоговые веса (сценарий В)

Критерий	J norm (экспертные)	J entropy (энтропийные)	J union (синтетические)
Критерий 1	0.3064	0.3500	0.3111
Критерий 2	0.2402	0.2500	0.2413
Критерий 3	0.2284	0.2000	0.2253
Критерий 4	0.2251	0.2000	0.2224

• 4.4.    Сводная таблица трёх сценариев

• 5.    ДИСКУССИЯ

В таблице 7 представлены ключевые коэффициенты, вычисленные для каждого из трёх сценариев, что позволяет наглядно проследить, как методика адаптируется к различным условиям экспертного оценивания.

Таблица 7. Сводная таблица ключевых коэффициентов по сценариям

Показатель	Сценарий A	Сценарий Б	Сценарий В
^ cons	0.9760	0.6600	0.8175
о 2	0.0033	0.0360	0.0103
min	3.0000	14.400	4.1198
C	1.0	0.3448	1.0
i cons ' C	0.9915	0.2276	0.8175
^ exp	0.9927	0.0616	0.8925

Анализ результатов свидетельствует о том, что предложенная методика корректно адаптируется к качеству экспертной группы. В сценарии А (согласованная группа) коэффициент доверия = 0.9927, что означает практически полное доверие экспертным оценкам: итоговые синтетические веса близки к нормализованным экспертным. В сценарии Б (несогласованная группа)    = 0.0616, что приводит к преобладанию энтропийных весов в итоговом векторе. Сценарий В демонстрирует промежуточный режим: при = 0.8925 итоговые веса представляют собой сбалансированную комбинацию обоих источников.

Таким образом, методика обеспечивает автоматическое «мягкое переключение» между экспертным и энтропийным подходами в зависимости от объективно измеряемых характеристик экспертной группы – её согласованности и достаточности. Данное свойство является ключевым преимуществом предложенного подхода перед методами, требующими жёсткого выбора между субъективным и объективным взвешиванием.

Предложенная методика объединения экспертных и энтропийных весов решает центральную проблему многокритериальной оценки – необходимость согласовать семантическую значимость критериев, определяемую экспертами, и их объективную информативность, определяемую данными. В отличие от традиционных подходов, где субъективные или объективные схемы доминируют и приводят к искажению итогового весового вектора, разработанный метод использует адаптивный коэффициент доверия, основанный на согласованности экспертных суждений, стабильности оценок и достаточности экспертной группы. Благодаря этому экспертный компонент усиливается лишь тогда, когда данные экспертов действительно обоснованы и устойчивы, а в ситуациях неопределённости автоматически уступает место объективной энтропийной компоненте.

Сравнение с текущими работами показывает, что предлагаемая методика обладает принципиальными отличиями и преимуществами. В работе Chang [7] субъективные и объективные веса объединяются фиксированным коэффициентом смешивания, который не зависит от качества экспертной информации. Эксперты в этой модели считаются надёжными по умолчанию, и итоговые веса не чувствительны к согласованности их суждений или к численности группы. В противоположность этому, предложенный метод формирует степень доверия к экспертной части по реальным характеристикам экспертных данных, что избавляет от риска неконтролируемого влияния противоречивых или неоднородных оценок. Аналогичным образом, модель OSWMI [8], интегрирующая BWM, CRITIC и LINMAP II, стремится согласовать субъективные и объективные веса через оптимизационную процедуру, но не учитывает внутреннее качество экспертной группы – ее согласованность, дисперсию суждений и минимально необходимое число экспертов. Это приводит к тому, что даже слабые или нестабильные экспертные данные оказывают прямое влияние на итоговый вес. В предлагаемой методике такой риск устранён за счёт строгого механизма диагностики экспертного блока. Комплексные схемы, использующие множество методов, Delphi-опросы и Монте-Карло симуляции, обеспечивают устойчивость за счёт увеличения числа процедур, но не за счёт анализа качества экспертных суждений [9]. Предлагаемый подход достигает аналогичного уровня устойчивости не усложнением методов, а встроенным контролем качества данных, что делает метод существенно проще, легче воспроизводимым и более доступным для практических задач.

В рамках настоящей работы корректнее говорить не о статистическом превосходстве предлагаемой методики над классическими подходами, а о ее большей применимости для определенного класса задач. Такой класс задач характеризуется следующими особенностями: эксперты формируют количественные оценки значимости критериев; согласованность группы может быть неполной; при этом целью исследования является не статистическая фильтрация экспертов, а получение итоговых весовых коэффициентов для дальнейшего многокритериального анализа. В подобных условиях традиционные методы позволяют оценить согласованность и выявить свойства экспертной группы, однако не обеспечивают непосредственного механизма объединения экспертных и объективных весов. Предлагаемый подход ориентирован именно на решение этой задачи, вследствие чего его результат следует интерпретировать не как универсально более точный в статистическом смысле, а как более адекватный целям построения итогового вектора весов в условиях неоднозначного экспертного мнения.

Тем не менее, несмотря на очевидные преимущества, метод обладает и рядом ограничений. Его эффективность зависит от корректности исходных экспертных оценок и от того, насколько сопоставимо эксперты используют шкалу. При значительных различиях в интерпретации шкал даже нормировка может не полностью устранить искажения. Кроме того, энтропийная часть чувствительна к структуре данных: при малых выборках, высоких корреляциях между критериями или специфических распределениях признаки могут быть оценены неоднозначно. Параметры логистической функции также определяют характер поведения модели, и на текущем этапе они задаются исследователем. Эти ограничения важны для корректного применения методики и указывают направления дальнейшей работы.

Вместе с тем потенциал разработанного метода значительно шире, чем у существующих моделей интеграции весов. Благодаря адаптивности коэффициента доверия метод может применяться в условиях ограниченного числа экспертов, при высокой вариативности оценок или при необходимости учитывать данные разного качества. Он сохраняет интерпретируемость и позволяет объяснить конечный вес каждого критерия через качество экспертного блока и структуру данных – что делает метод особенно ценным для систем поддержки принятия решений, где прозрачность важнее, чем математическая сложность. Модель универсальна и подходит как для социально-экономических и управленческих задач, так и для технических систем, медицинских индексов, спортивной оценки, цифровых двойников и машинного обучения. Наличие встроенной диагностики качества экспертной информации превращает метод в устойчивый инструмент для построения надёжных интегральных показателей даже в условиях неопределённости, малого числа экспертов и неоднородности данных.

• 6.    ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложена формализованная методика интеграции экспертных и энтропийных весов, направленная на устранение ограничений, присущих каждому из подходов при их отдельном использовании. Основная идея метода заключается в адаптивном комбинировании субъективных экспертных оценок и объективной информационной структуры данных, что позволяет формировать устойчивые, интерпретируемые и статистически обоснованные весовые коэффициенты в задачах многокритериальной оценки.

Методика включает несколько ключевых этапов: оценку согласованности экспертных суждений, определение вариативности оценок и минимально необходимого числа экспертов, вычисление коэффициента достаточности экспертной группы, формирование агрегированных нормированных экспертных весов и построение коэффициента доверия к экспертным данным на основе логистической функции. Совокупность этих шагов позволяет количественно регулировать влияние экспертных весов, сохраняя их значимость при высокой согласованности и достаточности, и одновременно снижая их вклад при наличии неопределённости, предвзятости или недостатке экспертов.

Интеграция экспертной и энтропийной компонент через гибридную взвешивающую формулу обеспечивает баланс между смысловой важностью критериев и их объективной информативностью. Такой подход позволяет корректировать весовую структуру с учётом как данных, так и доменных знаний, что делает итоговые веса привлекательными для широкого спектра прикладных задач. Благодаря адаптивности и математической строгости модель оказывается робастной к шуму в экспертных оценках, неполноте данных и структурной неоднородности критериев.

Разработанный метод обладает высокой универсальностью и может быть использован в различных областях – от экономического и социального анализа до технических систем, машинного обучения и построения интегральных индексов качества. Он обеспечивает прозрачность для специалистов, позволяет учитывать разнородные источники информации и улучшает доверие к итоговой многокритериальной оценке.

Таким образом, предложенная методика представляет собой значимый вклад в область комбинированных схем взвешивания и открывает перспективы для дальнейших исследований. В будущем возможно расширение модели за счёт включения дополнительных объективных метрик информативности, оптимизации параметров логистической функции на основе эмпирических данных, а также интеграции модели в системы автоматизированной поддержки принятия решений и интеллектуального анализа данных.