Об опыте функционирования информационного образовательного пространства для обучения математике

В современных условиях довольно большая часть образовательной деятельности переместилась в сетевую сферу, выделяя и подчеркивая особый статус информационного образовательного пространства [3; 4]. При этом исследователи указывают на возможность построения электронных учебников и учебных курсов с использованием различных систем [1; 6], хотя чаще всего можно встретить рекомендации по использованию среды Moodle или даже MS PowerPoint.

Постоянное усложнение технологий, лежащих в основе любого информационного пространства, привело к появлению «курсовых систем», таких как Coursera, Udemy или отечественная система Stepik. Появились и альтернативные Moodle платформы для размещения учебных курсов, как, например, EdX.

И если предыдущее поколение технологий с определенным трудом справлялось с размещением математического контента, то современные системы предоставляют разработчику достаточно удобный (можно даже сказать, традиционный) набор инструментов для форматирования математических выражений для размещения в онлайн-курсах с прямой интерпретацией в браузере, что позволяет по необходимости легко внести изменения в готовый продукт, используя лишь то же окно браузера, не обращаясь к текстовым или графическим редакторам.

Возможность работы с математикой в онлайн-режиме открывает возможность для перехода от статичного размещения информации в виде онлайн-учебников и статичных курсов [1; 2; 6] к активному общению в Сети и формированию онлайн-сообществ [5] с опорой на учебные курсы математического или естественно-научного содержания.

В данной статье мы представляем опыт разработки и функционирования учебных курсов для школьников по математике, размещенных на платформе «Мирознай» Волгоградского государственного социально-педагогического университета.

Так исторически сложилось, что все началось с курса «Подготовка школьников к ЕГЭ по математике (профильный уровень). Методы решения 1–12 задач». Данный курс фактически стал пробным шагом для размещения математического контента на EdX-платформе «Мирознай» в 2018/19 уч. г. В следующем году курс вырос в наполнении до покрытия всех задач профильного ЕГЭ по математике. В текущем учебном году на платформе функционируют три курса по математике:

*Исследование выполнено при поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-29-14064 «Теоретикометодологические основы и технологическое обеспечение реализации образовательной деятельности в онлайн-сообществах учащихся школ».

• 1)    «Подготовка школьников к ЕГЭ по математике (профильный уровень)»;

• 2)    «Подготовка школьников к ЕГЭ по математике (базовый уровень)»;

• 3)    «Подготовка школьников к ОГЭ по математике».

Одним из существенных вопросов, решаемых до открытия курсов, – это вопрос времени. Иначе говоря, необходимо решить, когда должен открываться курс, должен ли он закрываться, и необходимо определить дискретность подачи материалов. От решения данного вопроса зависит, будет ли формируемое образовательное пространство краткосрочным или долгосрочным, стационарным по содержанию или расширяемым. Соответственно, и базирующееся на данном пространстве образовательное онлайн-сообщество может получить те или иные характерные черты и особенности.

Так, если курс открыть полностью, то вносимые автором в течение года правки и дополнения будут актуальны не для всех, поскольку некоторые учащиеся смогут ознакомиться с материалами курса фрагментарно, некоторые – очень быстро. Тогда часть внесенных в курс изменений не будет замечена. Если же открывать курс пошагово, с определенной дискретностью по времени, учащиеся получают к изучению уже финальную версию материалов на текущий учебный год.

С другой стороны, часть хорошо подготовленных учеников в большей степени заинтересована в изучении более сложных разделов курса, содержащихся в завершающих блоках. Таких учащихся пошаговое открытие курса приводит к проблеме поиска альтернативных источников информации с возможностью возвращения к курсу во втором полугодии.

Оставлять курсы открытыми больше учебного года нецелесообразно, поскольку как ЕГЭ, так и ОГЭ по математике – это динамично меняющиеся системы. За последние несколько лет изменения коснулись и тематики, и расположения, и количества задач. По этой причине необходимо обновлять содержание и структуру учебных курсов.

Структура указанных выше курсов предельно точно соответствует текущему формату вариантов ЕГЭ (ОГЭ) по математике. Самой крупной единицей структуры является «Занятие», которое, за исключением «Занятия 0» и «Заключительного занятия», представляет собой материал, соответствующий одной задаче из варианта контрольных измерительных материалов (КИМ).

В свою очередь «Занятия» претерпевают более мелкое деление на блоки, объединенные, как правило, тематически. Например, «Занятие 1. Простая планиметрия» из курса подготовки к профильному экзамену делится на следующие блоки задач:

• 1.    Отсечения. Задачи, в которых прямая (прямые) отсекает какую-то часть геометрической фигуры (от треугольника до шестиугольника).

• 2.    Разные высоты. Учащимся предлагаются задачи на нахождение высот в треугольниках и четырехугольниках.

• 3.    Вписанный угол. В задачах основным элементом является угол, вписанный в окружность.

• 4.    Вписанный четырехугольник. Задачи на свойства вписанного четырехугольника.

• 5.    Вписанная окружность. Рассмотрены свойства фигур, в которые можно вписать окружность.

• 6.    Угол между… Задачи о различных углах в треугольниках.

• 7.    Угол и окружность. Варианты задач на взаимное расположение угла и окружности, если угол не вписан.

• 8.    Еще немного тригонометрии в геометрии. Блок с заданиями, содержащими тригонометрические функции.

Задача 8

1 возможный балл (оценивается)

Первый и второй насосы наполняют бассейн за 18 минут, второй и третий - за 24 минуты, а первый и третий - за 36 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

? Подсказка (1 из 6): Пусть к - пропускная способность первого насоса, у - второго, z - третьего.

Подсказка (2 из 6): Получаем уравнения: = 18, ж + у

-----= 24,= 36.

у + г х + г

Подсказка (3 из 6): Получаем: х + у = —, у + г = —,

Подсказка (4 из 6): Складываем

1 Подсказка (5 из 6): Надо найти значение = t.

х + у + z

Подсказка (6 из 6): t = 16.

Рис. 1. Пример системы подсказок

Каждый блок задач предваряется примерами решения. Примеры решений могут быть предложены как в виде достаточно коротких видеороликов, так и в текстовом варианте.

Но примеры решений – это не единственная система поддержки учащихся. При решении относительно сложных задач они могут воспользоваться подсказками (рис. 1).

Таким образом, подсказки позволяют восстановить путь рассуждений при решении задач, способных вызвать затруднение учащихся.

Все занятия первой части каждого из курсов завершаются контрольной работой, содержащей до десяти задач по рассмотренной теме. В контрольной работе не предполагается система подсказок, поэтому самостоятельное решение задач позволяет судить об уровне освоения пройденного материала.

Вторая часть курсов, содержащая более сложные задачи, построена с использованием несколько иного подхода к реализации системы подсказок. Здесь задачи размещаются с полным решением (как правило, авторским). Поэтому независимо от результата выполнения задания учащиеся могут сравнить свое решение с предложенным вариантом, проанализировать недостатки и достоинства собственного решения, возможно, ознакомиться с альтернативным вариантом решения.

Именно при анализе решений задач из второй части экзаменационного варианта можно наблюдать интересные особенности работы учащихся в большом, пусть и распределенном социуме – образовательном онлайн-сообществе, поскольку обмен мнениями, решениями, даже ошибками (!) позволяет взглянуть на процесс решения задачи с разных, иногда даже неожиданных сторон.

Особенно ярко подобный плюрализм мнений можно наблюдать при решении задач по геометрии. Безусловно, ежегодный анализ результатов ЕГЭ по математике профильного уровня говорит о том, что решать геометрические задачи из второй части готовы немногие, т. к. средний процент решения стереометрической задачи составил 7,2% в 2021 г. и 2,5% в 2022 г., а средний процент выполнения планиметрической задачи составил 3,5% в 2021 г. и 4,3% в 2022 г. [7; 8]. При этом, работая в коллективе, учащиеся способны генерировать самые разные подходы к решению геометрических задач. Например, решая задачу на нахождение расстояния от точки до плоскости, некоторые школьники пошли прямым путем выявления длины перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость, с полным обоснованием каждого шага. Но некоторая часть учащихся предложила воспользоваться методом координат, который успешно используется любите-

Соответствие между заданиями курсов по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике

Занятия курса по подготовке к ОГЭ по математике Соответствующие занятия курса по подготовке к ЕГЭ по математике Занятия 1–5. Контекстно зависимые задачи Занятие 6. Выражение с дробями Занятие 7. Числа на оси Занятие 8. Корни и степени Занятие 9. Простое уравнение Занятие 5. Простые уравнения Занятие 10. Задача на вероятность Занятие 3. Первая задача на вероятность. Занятие 4. Вторая задача на вероятность Занятие 11. Графики функций Занятие 10. Графики функций Занятие 12. Расчеты по формуле Занятие 8. Расчетная задача Занятие 13. Простые неравенства и их системы Занятие 14. Неравенство Занятие 14. Последовательности и прогрессии Занятие 18. Интересная задача Занятие 15. Треугольник и его элементы Занятие 1. Простая планиметрия. Занятие 2. Простая стереометрия. Занятие 13. Стереометрия. Занятие 16. Планиметрия Занятие 16. Окружности и иже с ними Занятие 17. Четырехугольники. И не только Занятие 18. Задачи «в клеточку» Занятие 19. Выбор геометрических утверждений Занятие 20. Уравнения, неравенства и их системы Занятие 12. Решение уравнений. Занятие 14. Неравенство Занятие 21. Текстовая задача Занятие 9. Текстовая задача Занятие 22. Построение графика Занятие 10. Графики функций Занятие 23. Расчетная задача по геометрии Занятие 13. Стереометрия. Занятие 16. Планиметрия Занятие 24. Геометрическое доказательство Занятие 25. Сложная задача по геометрии лями аналитического решения задач по геометрии. Наконец, нашлись и те, кто предложил попробовать найти расстояние от точки до прямой путем вычисления объема многогранника, в котором данное расстояние играет роль высоты, таким образом, проведя аналогию с решением планиметрической задачей из первой части на нахождение высоты треугольника или параллелограмма.

На платформе «Мирознай» размещены три курса по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ по математике. Кажется очевидным, что на курсе подготовки к ОГЭ есть смысл заниматься учащимся девятых классов, тогда как курсы подготовки к ЕГЭ любого уровня подойдут только одиннадцатиклассникам. Данное суждение принципиально неверное. Дело в том, что многие задачи ОГЭ и методы их решения наследуются следующей ступенью экзаменов, что хорошо прослеживается в табл. на с. 46.

Так текстовые задачи перетекают из девятого в одиннадцатый класс практически без изменений. Отличие состоит лишь в том, что девятиклассники должны решить текстовую задачу в развернутом виде, тогда как на ЕГЭ учащиеся должны выдать только верный ответ.

Практически без изменений ЕГЭ также наследует задачи по планиметрии, поскольку в десятом и одиннадцатом классах изучается уже не планиметрия, а стереометрия. Хотя следует отметить, что учащиеся одиннадцатых классов для решения планиметрических (и стереометрических) задач получают еще один мощный инструмент – курс тригонометрии.

Из-за множества «продолжающихся» тем можно сказать, что все три курса дополняют друг друга. При этом появляется возможность как одиннадцатиклассникам компенсировать пробелы в знаниях, решая задачи курса подготовки к ОГЭ, так и девятиклассникам расширить знания, попробовав свои силы в решении задач из базового и профильного курсов.

И конечно же, все курсы должны быть доступны для учащихся десятых классов, поскольку, с одной стороны, они располагают необходимым запасом времени для восстановления системы знаний при решении задач ОГЭ, с другой – у них есть возможность постепенно вливаться в подготовку к ЕГЭ по мере изучения материала школьного курса математики.

Задача 14

• 1    возможный балл (оценивается)

Помещение освещается фонарем стремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,1. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

? Подсказка (1 из 2): Вероятность того, что все три лампы перегорят равна 0, 1 X 0,1 х 0, 1 = О, 001.

Подсказка (2 из 2): Вычитаем полученную вероятность из единицы: 1 — 0,001 = 0,999.

Рис. 2. Пример задачи по теории вероятностей

Соответственно, формирующееся вокруг курсов сообщество учащихся обретает еще одну характерную черту – учащиеся, обращающиеся к одному материалу и участвующие в его обсуждении, могут быть разного возраста.

При обучении на курсах обязательно возникает вопрос о достаточности материалов курса для качественной подготовки к экзамену. Ответ на него дать достаточно сложно, поскольку курс не может быть тематически исчерпывающим. Всегда найдется новый тип задач, который составители вариантов предложат на экзамене следующего года. Особенно это касается задач с развернутым ответом.

Тем не менее, как показывает опыт, представленный в курсах материал достаточно широко охватывает задания первой части варианта. Примером может служить задача, предложенная на профильном экзамене 2022 г.:

Помещение освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Подобную задачу (рис. 2) можно было встретить при подготовке годом ранее.

В заключение следует отметить, что размещенные на платформе «Мирознай» курсы подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике могут служить основой индивидуальной работы учащихся школ из любой точки страны, а также для организации групповых занятий со школьниками и для формирования образовательных онлайн-сообществ. Представленный опыт может быть с преобразованиями или напрямую транслирован на другие учебные дисциплины и на создание курсов межпредметного характера.