Распространение возмущений в пограничном слоена вращающемся конусе в сверхзвуковом потоке газа

Множество работ посвящено исследованию пограничных слоев на. вращающихся телах, в том числе на. конусе, поскольку такие исследования могут найти непосредственное применение как в баллистике, так и в аэрокосмических отраслях. В частности, интересно исследовать, что происходит с распространением возмущений в пограничном слое на. конусе, если придать ему вращение.

2.    Расчет ламинарного пограничного слоя

Для исследования скоростей распространения возмущений неообходимо прежде получить профили скоростей и энтальпии в пограничном слое. Расчет проводится в следующих предположениях:

• 1)    скорости внешнего потока, достаточно велики, чтобы конус обтекался с присоединенным скачком и соответственно внешнее течение было безградиентным и коническим;

• 2)    температуры нагрева, пограничного слоя достаточно малы и можно не учитывать высокотемпературные эффекты (потери на. радиационное излучение, рекомбинация и диссоциация молекул), газ считается совершенным;

• 3)    для упрощения расчета будем считать верным соотношение р р = const, здесь р — плотность, р — вязкость, т.е. вязкость линейно зависит от температуры газа;

• 4)    конус обтекается под нулевым углом атаки.

  

  Рис. 1. Система координат, использованная при расчете

  
  

Использовалась неподвижная система координат, изображенная на рис. 1. ие

Обезразмерив систему уравнений следующим образом: и* = ии_е, v * = v , w* = wи_е, Re

I

x* = xl, у * = у , T * = TTe, р* = рре, р* = рре, г де l — длина образующей конуса, Re ие, Те, ре, ре — скорость, температура, плотность и вязкость внешнего потока, Re — число

Рейнольдса, ее можно записать в виде [1]:

дрит^ + дрвтш = о Эх ду ди    ди   т^ 2   д ди

""еХ ^{+ 1}™аУ - ^рт; ^w = аГО дw    ди    t ' _w      д дw

"“te ^{+ рв}ду ^{+ р}т; “^w = э^Э?

дһ дһ          2   /диУ    /дw\ \   д р дһ ридх рВ ду   ^       Р I ду       ду I   дуРтду^

рһ = 1 + ^М2 р, где tw — радиус сечения конуса с граничными условиями:

и ^ 1; w ^ 0; һ ^ 1 пр и у ^ го,

_  Tw и = v = 0; һ = —; w = w(x) при у = 0,

T е и = 1; v = w = 0; һ = 1 при х = 0.

Для устранения особенности в вершине конуса и для сведения сетки к прямоугольной используется преобразование Дородницына-Лиза (х,у ) ^ (^,р) [2], запишем систему уравнений в новых переменных:

д д2 /    д2 / др др2    др”2

2 2 3w

= 2^/д/ д ² / _ д/д²/\

3 др дрд^ д^ др2 , д дw дw

др др

+ /

2^ / д/дw д/дw\ др 3 др 3 др д^ д^ др

2 д/

-

д N дһ др Рт др

+ /^ + (р - -)М2N ((|2/У2 + (Д 21 =1 (|/|^ _ |/|һ\ N = рр, др                 др2       др       3 др д^ д^ др с граничными условиями:

£ = 0 : f = y,w = 0, h = 1,

„   ,  „ Of _     _   ,

У = 0 : f = 0, — = 0, „(Д = ш • ^,h = h_w ,

9f ту ^^ : — =1,w = 0, h = 1.

Уту

Расчет проводился при параметрах М2(у—1) = 1, sin у = 0.5, где М — число Маха внешнего потока, у — показатель адиабаты газа, у — угол полураствора конуса.

3.    Получение диаграммы направленностей для скорости распространения возмущений

В работах [3,4] рассматривается распространение возмущений в пограничных слоях в сильной теории взаимодействия и приводится выражение для нахождения а — скорости распространения возмущений, здесь u, w — профили продольной и поперечной скорости, Н — профиль полной энтальпии, Ө — направление распространения возмущений:

(^ '   ”     ^Н -    . а» — [~Н — U2 — „2) ., = 0

2    J_o (u cos Ө + w sin Ө — а)²       J_o

Рис. 2. Влияние угловой скорости на диаграмму направленностей, £ = 0.1

Рис. 3. Влияние расстояния от вершины конуса на диаграмму иаправлеииостей, ш = 1

Зная профили в различных сечениях вдоль конуса и при различных безразмерных угловых скоростях вращения, можно получить диаграммы направленностей для величины скорости распространения возмущений в зависимости от угловой скорости (рис. 2) и в зависимости от удаленности сечения от вершины (рис. 3). Оказалось, что скорость распространения возмущений вверх по потоку ( Ө = тг) очень слабо зависит от угловой скорости, изменения имеют порядок 10-4 пр и ш = 1.

4.    Заключение

В работе было исследовано влияние вращения конуса на скорости распространения возмущений в пограничном слое. Получено, что диаграмма направленностей становится заметно несимметричной при придании вращения конусу: чем больше угловая скорость и чем дальше вдоль конуса, тем более явным становится влияние вращения, хотя скорость распространения возмущений вверх по потоку меняется очень слабо и почти не зависит от угловой скорости.