О модели внутрипредметных связей в обучении математике студентов инженерного вуза

ABOUT THE MODEL OF INTRASUBJECT COMMUNICATIONSIN TEACHING MATHEMATICS TO STUDENTSOF ENGINEERING HIGHER EDUCATION INSTITUTION

И.И. Вайнштейн, Ю.В. Вайнштейн, К.В. Сафонов I.I. Vainshtein, J.V. Vainshtein, K.V. Safonov

Обучение математике, дифференциальное и интегральное исчисление, модель внутрипредмет-ных связей, мотивация к изучению математики.

Предложена модель внутрипредметных связей раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление», позволяющая студентам инженерного вуза в процессе изучения математики осознать целостность курса, понять его прикладную значимость, что позволяет усилить мотивацию изучения этой дисциплины.

Teaching mathematics, differential and integral calculus, model of intrasubject communications, motivation to study mathematics.

A model of intrasubject communications of the section «Differential and Integral Calculus», allowing students of an engineering higher education institution to realize the integrity of the course and understand its application significance in the process of studying mathematics that increases their motivation to study this discipline is presented.

Х орошо известны слова Галилея о том, что «великая книга природы написана языком математики». Слова эти, характеризуя познавательную силу метода математического моделирования, напоминают преподавателям математики в вузе, о том, как важно раскрывать студентам прикладную значимость математических знаний.

Сделать это, однако, не так просто, поскольку изучение математики проходит на младших курсах, предшествуя изучению специальных дисциплин, когда студентам трудно оценить значимость математических знаний для профессиональной деятельности. Особенно важно показывать прикладную значимость математики в инженерных вузах, где программой предусмотрен ряд сложных разделов.

Преподавателю математики, который обучает студентов – будущих инженеров, следует постоянно иметь в виду, что новый учебный материал вызывает у них вопрос, для чего это нужно и где применяется. Кроме ответов на кон- кретные вопросы, было бы полезно в целях повышения качества математической подготовки студентов формировать не просто мотивацию изучения математики, но и понимание базовой роли математики в развитии предметных и профессиональных компетенций будущего инженера [Шершнева, 2007; Шкерина, Дьячук, 2013].

Формирование у студентов такого понимания является темой дискуссий, научных исследований и диссертационных работ. Сегодня в связи с практической реализацией компетентност-ного подхода в высшей школе особую актуальность приобретает разработка новых методик обучения математике, направленных на формирование математической компетентности студентов.

В настоящей работе рассматриваются некоторые вопросы обучения дифференциальному и интегральному исчислению в инженерном вузе, связанные с формально-математической структурой содержания этого центрального раздела математики. О нем автор известного совре- менного учебника по математическому анализу, математик и педагог В.А. Зорич писал: «Основы дифференциального и интегрального исчисления, как таблица умножения, являются обязательными компонентами любого естественнонаучного образования, если не образования вообще» [Зорич, 2008].

Дифференциальное и интегральное исчисление является разделом высшей математики, тогда как в средней школе изучается элементарная математика, лишь в выпускных классах учащиеся знакомятся с понятиями производной и интеграла. Если разделы вузовских курсов физики, химии и некоторых других на более высоком уровне и более полно излагают школьный учебный материал, то с разделами вузовской математики студенты знакомятся впервые, сталкиваясь при этом с большим количества новых сложных математических понятий и теорем в условиях, кстати говоря, недостаточного количества учебных часов по математике для инженерных направлений подготовки.

Одним из таких разделов является дифференциальное и интегральное исчисление, зарожденное Архимедом, созданное Ньютоном, Лейбницем, Якобом и Иоганном Бернулли, Ло-питалем, Эйлером в XVII–XVIII вв. Традиционная последовательность изложения учебного материала из этого раздела предложена еще в XIX в. Коши и Вейерштрассом, которые ввели базовое, первичное понятие предела функции, сформулировав его как на языке последовательностей, так и на языке « е-6 ».

По дифференциальному и интегральному исчислению написано великое множество учебников и задачников, существует большое количество исследований по методике обучения этим темам в вузе. Имеются работы, в которых строятся математические модели структуры соответствующего содержания обучения с позиций современной математики [Гапонцева и др., 2010].

В учебниках по математике представление об общей структуре материала, как правило, дают лишь оглавление и предисловие. Содержание предмета, внутрипредметные свя- зи, значимость для науки, техники, области профессиональной деятельности студент может увидеть лишь в процессе изучения всего курса [Вайнштейн, 2010; Вайнштейн, Манушкина, 2011]. В обучении химии, например, образным представлением структуры всей дисциплины, ее внутренних связей является периодическая система элементов Менделеева, однако для курса математики такого представления, к сожалению, нет.

Ниже авторами предложена информационно-структурная модель внутрипредметных связей раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление», представленная на рис. Отметим, что в этой модели выделена значимость числа p и формулы площади круга в обучении математике, к этой формуле мы еще вернемся.

С одной стороны, эта модель представляет студенту фундаментальные понятия и связи между ними, на которые нужно обратить особое внимание при изучении дифференциального и интегрального исчисления. С другой – преподаватель видит, на каких новых математических понятиях следует акцентировать внимание, рассматривая их прикладную и профессиональную значимость; кроме того, модель может быть использована для построения тематических модулей обучения и выбора контрольных точек для оценки текущих и остаточных знаний студентов.

В верхних трех строках модели выделены основные понятия. В первой верхней строке указан объект изучения – функции и последовательности. Во второй строке указаны основополагающие понятия дифференциального и интегрального исчисления: предел функции и предел последовательности.

В блоках, размещенных в третьей строке, выделены понятия, которые формулируются на языке конкретных конструкций изучаемой функции: непрерывность, замечательные пределы, производная, определенный интеграл и ряды. Так, производная – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, сумма ряда – предел его частичных сумм, определенный интеграл – предел интегральных сумм.

ВЕСТНИК

z/«jm, - i/w*

Определенный интеграл [кратные, криволинейные, поверхностные)

Производная [частные производные)

Вычисление функции, интегралов

Дифференциальные уравнения [обыкновенные, с частными производными)

I"

о

Рис. Информационно-структурная модель внутрипредметных связей раздела «Дифференциальное и интегральное исчисление»

Экспоненциальная функция

В остальных блоках – понятия, вытекающие из понятий, указанных выше. Отдельно выделен блок с разделом «Дифференциальные уравнения» (обыкновенные уравнения и уравнения с частными производными). Это связано с тем, что в форме дифференциальных уравнений записывается большинство законов физики, приложений в технике, а дифференциальное и интегральное исчисление – это основной аппарат, с помощью которого дифференциальные уравнения исследуются.

Рассмотрим блок, посвященный числу p и площади круга, которым даже в классических учебниках по дифференциальному и интегральному исчислению достаточного внимания не уделяется: в них вывод числа p , площади круга и длины окружности не приводятся, формулы считаются известными из школьной математики.

В школьном курсе длина окружности и площадь круга определяются как соответствующие пределы длин и площадей правильных вписанных в окружность многоугольников при удвоении количества их сторон. Именно здесь впер- вые фактически возникает понятие предела, хотя нет ни его точного определения, ни доказательства существования предела у последовательностей длин и площадей рассматриваемых многоугольников.

По этой причине число p , формулы длины окружности и площади круга, а вместе с ними и понятие радианной меры в курсе высшей математики не вполне обоснованны. Это приводит к своеобразному «эффекту домино», когда при вычислении площади круга с помощью определенного интеграла в результате замены переменной возникает производная синуса от радианного аргумента. Для ее вычисления применяют первый замечательный предел, но при его доказательстве была использована формула площади сектора, которая опирается на формулу площади круга и радианную меру угла. Таким образом, при выводе формулы площади круга она же и используется, что логически недопустимо, и ситуацию с изложением этого материала следует исправить.

Для этого в соответствии с представленной моделью целесообразно вернуться к обоснова- нию школьного вывода формулы площади круга. Так как последовательность площадей многоугольников, аппроксимирующих круг, монотонно возрастает и ограничена сверху, то, как и при определении числа e, можно применить теорему о существовании предела таких последовательностей. Полезно отметить, что определяемое число p и формулы площади круга и длины окружности не зависят от способов приближения круга вписанными многоугольниками, и можно анонсировать, что это будет использовано при изучении определенного интеграла.

Таким образом, в соответствии с моделью вывод основополагающей в геометрии формулы площади круга в разделе «Дифференциальное и интегральное исчисление» дает студенту возможность уже на первых этапах изучения высшей математики еще раз увидеть ее особую прикладную роль.

С учетом модели внутрипредметных связей рассмотрим прикладной пример, при решении которого последовательно реализуются этапы «прикладная задача, математическая модель, ее исследование».

Пример. Определить температуру в различных точках нагреваемого однородного стержня.

Решение этой задачи можно проводить в два этапа.

• 1.    После изучения функций многих переменных и определенного интеграла можно вывести уравнение теплопроводности для температуры стержня T ( x, t ) в точке x стержня в момент времени t:

• 2.    Основываясь на знаниях по теме «Ряды»,

2 62Т(хр) _дТ(хр) 2_ к dx2 dt " ср"

где k – коэффициент теплопроводности, c – удельная теплоемкость, ρ – плотность стержня. Уравнение (1) является основополагающим при решении вопросов, связанных с тепловыми процессами, и выводится в учебниках по уравнениям математической физики, а также учебниках по математике для инженерных направлений подготовки.

При выводе уравнения (1) используется ряд математических конструкций и знаний: предел, частные приращения и частные производные функции, теорема о конечном приращении, определенный интеграл и его свойства.

можно рассмотреть распределение температуры в однородном стержне конечной длины, на концах которого поддерживается нулевая температура, если известна температура стержня φ(х) в начальный момент времени.

При решении этой важной задачи демонстрируется прикладная значимость функциональных рядов, разложения функций в такие ряды, а также рядов Фурье, т. к. решение задачи записывается в виде функционального ряда, у которого числовые коэффициенты выражаются через коэффициенты разложения в ряд Фурье температуры φ ( х ) в начальный момент времени.

Следует отметить, что при решении рассматриваемой задачи возникает краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, решение которой в разделе «Дифференциальное и интегральное исчисление» не вызывает особых трудностей.

Мотивационная значимость данной задачи значительно выше абстрактных примеров на технику разложения функции в ряд Фурье; особенно полезно предложить ее студентам с конкретными функциями φ ( x ) и значениями физических параметров.

Преподаватель математики может не только предлагать другие прикладные задачи, но также и уточнять предложенную модель внутри-предметных связей дифференциального и интегрального исчисления. Например, можно добавить такие темы, как итерационный процесс, основы дифференциальной и фрактальной геометрии, основанные на фундаментальном поня- тии предела.

Рассмотренную модель следует учитывать при разработке рабочих программ математических дисциплин инженерных направлений под- готовки.

Отметим, что предложенная модель вну-трипредметных связей раздела «Дифференци- альное и интегральное исчисление» используется в институте космических и информацион-

ВЕСТНИК

ных технологий Сибирского федерального университета в лекционных и электронных обучающих курсах по дисциплине «Математический анализ». Имеющийся опыт подтвердил эффективность этих курсов: у студентов возникает более глубокое понимание математических знаний и возможностей их профессионального применения [Носков, Шершнева, 2010].

Такого рода информационно-структурные модели могут быть построены не только для математических, но и для других дисциплин; использование моделей будет способствовать формированию целостного отношения к содержанию дисциплин, а также повышению мотивации их изучения.