Построение общего вида теоремы Хана–Жордана

Уточнённый порядок играет важную роль в теории роста субгармонических функции, в ряде других разделов математики.

Абсолютно непрерывная функция Л. на полуоси л л называется уточнённым порядком, если выполняются следующие два условия :

• 1)    существует предел 7—f+tz                         ,

hm г hirp'fr ) = О

• 2)                   .

В приложениях чаще всего используется не сам уточнённый порядок

Л-’. , а функ-ция

. Отметим следующее свойство уточнённого порядка.

Теорема 1. для любого г > о существует предел

и этот предел равномерный на любом сегменте

Если Л’. – уточнённый порядок, то существует дифференцируемый, и даже анали-тический, уточнённый порядок Р. С’. такой, что

’I '

где            .

Поэтому предположение о дифференцируемости уточнённого порядка часто не ограничивает общности рассуждений. В дальнейшем мы будем предполагать, что функ-ция Л’. является непрерывно дифференцируемой на полуоси .

Рост произвольной функции л?. сравнивается с ростом функции вида

Множество функций вида множество степеней Г , а

– это более широкое множество, чем , или множество функций вида

, где – вещественные числа, а – это -тая итерация логарифма. Например,         .

Пусть Лн

– положительная функция на полуоси

. Порядком

функции называется число

Важность понятия уточнённого порядка в теории роста функций можно усмотреть из следующей теоремы.

Положительная на полуоси функция называется регулярно меняющейся в смысле Караматы, если для любого существует конечный предел

Пусть р (t) - некоторый уточнённый порядок. На пространстве Rc определяется одно-параметрическое семейство преобразований Азарина At: RR ' Rc, t e (0,^), согласно формулам p (tE) pt AtP’Pt(E) v(t) ’

Для любого борелевского множества E .

Напомним теперь некоторые определения и результаты из теории интеграла и меры.

I IR ”                                                                            Е ^— IR"

–

определена вещественная борелевская мера μ , борелевское множество. Ограничением(сужением) меры μ на множество E называется мера μE , которая определяется формулой                для любого борелевского множества .

Если ^ e = ^Р , то говорим, что мера ^р сосредоточена на множестве E .

Носителем меры ^μ (обозначение supp ^μ ) называется наименьшее замкнутое множество, на котором сосредоточена мера.

Меры ^{μ 1} и ^{μ 2} называются взаимно сингулярным, если они сосредоточены на непересекающихся борелевских множествах ^{E 1} и ^{E 2} .

Сформулируем следующие известные теоремы,

Теорема Жордана. Всякая вещественная мера однозначно представляется в виде ^Р = ^Р + ^{— Р} - , где ^Р + и ^Р - - взаимно сингулярные положительные меры.

Мера ^Р + называется положительной составляющей меры ^р .

Мера ^Р - называется отрицательной составляющей меры ^р .

Теорема Хана. Для любой вещественной меры ^μ в области ^G существует разложение ^G на два непересекающихся множества ^{G 1} и ^{G 2} причем

р (E)-0 при Е с G1

р(E)-° при Е с G2

Хотя разложение "        не единственно, но меры р + ир- определяемые формулами                 ,                не зависят от выбора G1 и G2.

Из этих теорем следует, что если ^μ – вещественная борелевская мера на , то существует борелевские множества ^{E 1} и ^{E 2} такие, что 1)              ,

• 2)             ,

3) V + = Р е 1 ,р - = Р е 2 .

Величина 1 р| = р ++р - называется полной вариацией или модулем меры Р с :

Вещественная борелевская мера ^μ на называется локально конечной

выполняется неравенство

I Pit K )<™.

Комплексной борелевской мерой называется функция множеств ^р ( ^Е ),

представляемая в виде ^{р ( Е} ) ^р 1 ^{( Е ) +} i ^P 2 ⁽ E ) , где ^р 1 , ^р 2

–

конечные

вещественные борелевские меры

Обозначим через семейство функций множеств , представимых в виде р р 1 р2, гдер 1, р2 вещественные локально конечные борелевские

| |рл                                                                               Е ^— IR"

. функция μ определена на борелевских множествах за исключением тех Е , для которых                . В частности функция μ будет определена и счётно аддитивна на всех борелевских множествах с компактным в замыканием.

тт               г с М ■

Две меры        называются эквивалентными, если выполняется равенство

для любых борелевских множеств Е , указанного выше вида.

Теорема 3.1. Всякий элемент ' ~ ' эквивалентен разности ^р 1 ^{— р} 2, где где ^{μ 1} и ^{μ 2} – положительные взаимно сингулярные локально конечные борелевские меры на . Причем ^{μ 1} и ^{μ 2} определяются однозначно.

Доказательство.

Вначале докажем однозначность. Пусть существует μ ^{1 ,}μ ^{2 , ,} μ ^{3 ,}μ ⁴ такие, что ^р 1 ^{р 2} = ^р 3 ^р 4 , где ^р 1 и ^р 2 - положительные взаимно сингулярные меры, также как ^μ 3 и ^μ 4 . Пусть – произвольный компакт, а ^μ 1 ^,μ 2 ^,μ 3 ^,μ 4 – ограничения мер ^р 1 ^,р 2 , ^,р з ^{,р 4} на компакт К . Имеем ^р 1 ^{- р} 2 = ^р з ^{- р} 4 . Пусть А 1 и ^А 2 такие множества, что , мера ^μ 1 сосредоточена на ^А 1 , а мера ^р 2 сосредоточена на А 2 . Пусть Е ^с А 1 . Тогда ^р 1 ⁽ Е ^{) + р 4 (} Е ) = ^р з ^{( Е} ) , ^р 1 ⁽ Е )- ^р з ⁽ Е ) . Если ^{Е с} А 2 , то 0 = ^р 1 ^{( Е} )“ ^р з ^{( Е} ) . Из этого следует, что ^р 1 “ ^р з .

~ ~

~ ~

~ и              П U

Аналогично получаем ^p 1 ^{_ p} з . Поэтому ^p 1 ^p з . Отсюда следует, что ^p 1 ^Р з , а следовательно, и ^{p 2} = ^{p 4} . Однозначность доказана.

Теперь докажем первое утверждение теоремы. По условию        , где ν1 , ν 2 – вещественные локально конечные борелевские меры на . Пусть где ν1 ,m , ν2,m – ограничения мер ν1 , ν2 на компакт

B ( 0 ,m ) i ( 0,- ) ^m . Отметим, что если ^k < ^m , то мера ^Y k есть ограничение меры

^γm на

B ( 0 ,k ) i ( 0 ,¹ )

^k . Пусть

IRJ = 4* Uy

(3.1)

есть разложение Хана для меры ^Y m . Тогда при ^k <  ^m имеем

( Y k I A l - | ( E ) = Y k ( E П A^m ) ) = Y ( E Л A m i B ( 0 ,k | k ( 0 , 1 ) ) > 0

Yk Lm)<0                                                           V

Аналогично ^{A 2}    . Поэтому (3.1) есть также разложение Хана для меры ^γk

. Далее находим, что t(Ym )+L t, L 1 IE )=Ym (E n A 1m)n B (°-^i( 0 ■ k ))=Yk (E n A mH Yk )J E)

B ( 0 ) i 0

k _.

Это означает, что ограничение меры на

есть

—   :

– произвольное борелевское множество. Из (3.2) следует, что при k(Yk)+(E). Таким образом, последовательность   (Ym)+(E)   возрастает, также как и последовательность (Ym)-(E). Определим на борелевских множествах следующие функции множеств p 1(E)= lim (Ym)+(E) m ^ да

Эти функции положительны. Пусть ^Ei да

– дизъюнктная последовательность

E = i Ei борелевских множеств   i =1 . Имеем p 2 (E )= lim (Ym)_(E) m ^ да

Р 1 ^{( E} ) = lim ( Y m U ^E ) = ^lim Ё ( Y m ) + ( E i ) m 4rn              m 4да . = 1

Так как (Ym)+(Ei)

i = 1              .

С другой стороны

k

k

V 1 ⁽ E )> lim E ( Y m ) + ( E i ) = E P 1 ( E i ) m ^» i =1                i = 1

Теперь легко вывести, что да p 1(E l=E p 1 (Ei) i =1             .

Таким образом ^{μ 1} – положительная борелевская мера. Если является компактом , то последовательность ^{( Ym} ) + ⁽ E ) является стабилизирующейся. Поэтому мера ^{μ 1} локально конечная. Аналогично доказывается, что ^{μ 2} – положительная локально конечная борелевская мера.

Г ^ ID 1

Если борелевское множество Е такое, что – компакт, то для достаточно больших n имеем P1 (E) P2(E)=(Ym)+(E) (Ym)—(E)=Ym(E) = P(E). Тем самым элемент ^ эквивалентен P1 P2.

Обозначим через

A ^l ₁ ^{2 )}= a 12 n ( b ( 0,2 ) i ( 0 , 2 ) )    A m ) = A m n

• A . = i A¹;¹ ) m > 2     ¹ m = 2 ¹

A 2^{2 )} = A 2^{2 i}n ( B ( 0,2 ) i ( 0 , 2 ) )    A m - A m n

A = “ A' ’)          ’

m > 2     ² m = 2 ²

Выполняются соотношения

Пусть ^E – борелевское множество,

P 1 ^{( E} ) = lim ( Y_k )₊ ⁽ E ) = Yk ( E ⁿ A1 ) k ^x

0 , -| б( B ( 0 ,m -1 ) б 10 , ^- k) m               m — 1

0 , -| б( B ( 0 ,m — 1 ) б 10 , ^- k) m               m — 1

. Имеем

k

k

= Z Y k ( E nO= X Y i ( E n А ?)

i =2

i =1

Из соотношений следует, что . Из сказанного следует, что ограничение меры ^{μ 1} на множество ^{A 1} есть ненулевая мера и, значит, мера ^{μ 1} сосредоточена на множестве ^{A 1}

Аналогично доказывается, что мера ^{μ 2}

сосредоточена на A2 . Поэтому меры μ1 и μ2 взаимно сингулярны. Теорема доказана