Решение двумерных интегральных уравнений Фредгольма второго рода методом коллокации и наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимацией
Бесплатный доступ
Для численного решения двумерного интегрального уравнения Фредгольма второго рода предложен новый алгоритм на основе метода коллокации и наименьших квадратов с полиномиальной аппроксимацией. В нем решение отыскивается в виде полиномиального аппроксиманта с неопределенными коэффициентами, после подстановки которого в изначальное уравнение получается приближенное относительно искомых коэффициентов уравнение. Для его решения применяется метод коллокации, причем число точек коллокации берется чаще всего больше числа коэффициентов искомого аппроксиманта. Коллокациями полученного уравнения получается переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно искомых коэффициентов. Предложенный алгоритм реализован в компьютерной программе. Его применением решен ряд уравнений, решенных другими методами и приведенных в известных публикациях. Сравнением численных результатов показано преимущество по точности нового алгоритма перед другими методами, примененными для решения этих уравнений. В численных экспериментах исследовано влияние параметров метода на обусловленность переопределенных СЛАУ, решением которых отыскиваются полиномиальные аппроксимации решения интегральных уравнений. В таблицах численных результатов приведены значения параметров алгоритма, с которыми получены конкретные решения: степень аппроксимирующего полинома, число ячеек и узлов квадратуры Гаусса, степень переопределенности и обусловленность матрицы СЛАУ.
Двумерные интегральные уравнения фредгольма второго рода, прямой метод, квадратуры гаусса, метод коллокации, линейная задача наименьших квадратов, обусловленность слау
Короткий адрес: https://sciup.org/147248007
IDR: 147248007 | УДК: 519.642.4 | DOI: 10.14529/mmp250109
Solution of two-dimensional Fredholm integral equations of the second kind by the method of collocation and least squares with polynomial approximation
A new numerical algorithm based on the collocation and least squares method is proposed for the numerical solution of a two-dimensional Fredholm integral equation of the second kind. The solution is sought in the form of a polynomial approximant with undetermined coefficients, after substituting which into the equation, obtains an approximate equation with respect to the undetermined coefficients. The collocation method is used to solve that equation, and the number of collocation points is usually taken to be greater than the number of coefficients of the sought approximant. Overdetermined system of linear algebraic equations (SLAE) with respect to the sought coefficients are obtained by collocations of the approximate equation. The proposed algorithm is implemented in a computer program. Presented the results of numerical experiments on solving several equations for which are known results obtained by other methods cited in well-known publications. By comparing the results obtained by the new proposed algorithm with results achieved by other methods shown it's advantage in accuracy of the approximate solution over the compared methods. In numerical experiments were investigated the influence of the method parameters on the condition number of SLAE matrix, the solution of which is used to find polynomial approximation of the solution of integral equation. The tables of the numerical results show the values of the algorithm parameters with which were obtained specific solutions: the degree of the approximating polynomial, the number of cells and nodes of the Gauss quadrature, the degree of the SLAE overdetermination and condition number of it's matrix.
