Визуализация торов Лиувилля в задаче динамики двух вихрей одинаковых знаков в круговой области

Изучение гамильтоновых динамических систем, особенно в контексте слоения фазового пространства на инвариантные торы Лиувилля и особые слои, представляет собой одну из ключевых проблем топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем. Классический пример такой классификации представляет собой теория Болсинова -Фоменко - Цишанга, в рамках которой каждой интегрируемой гамильтоновой системе ставится в соответствие бифуркационная диаграмма, снабженная набором грубых или тонких инвариантов, представляющая собой своеобразный «портрет» соответствующей системы [1], [3].

Классические работы по изучению интегрируемых гамильтоновых систем с помощью теории Болсинова - Фоменко - Цишанга были посвящены задачам динамики твердого тела, в которых гамильтониан и дополнительный интеграл являются полиномиальными функциями координат и импульсов [2]. Начиная с работ [4] и т.д., методы вышеуказанной теории были применены к задачам вихревой динамики идеальной жидкости [5] и бозе-эйнштейновского конденсата [6], [14], в которых функция Гамильтона содержит логарифмические слагаемые. В данных работах в рассматриваемых системах, в которых наблюдаются

(с) Прусс Г. А., Соколов С. В., 2026

• (с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

  «Московский Физико-Технический Институт (Национальный Исследовательский Университет)», 2026

2.    Динамическая модель вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате

бифуркации инвариантных торов, строятся бифуркационные диаграммы, бифуркационные комплексы, а топологические инварианты применяются, как основные инструменты для классификации различных интегрируемых случаев.

Настоящая работа продолжает изучение, начатое в [4] и [13], и рассматривает задачу визуализации бифуркаций торов Лиувилля для системы двух вихрей в круговой области.

Задача изучения движения двух вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате рассматривается с учетом внешнего гармонического потенциала [15], [12], [7]. Это приводит к возникновению динамической системы!, которая обладает динамикой, аналогичной задаче классических вихрей в ограниченной цилиндрической области. В этой работе предлагается алгоритм построения связных компонент инвариантных многообразий гамильтоновой системы при заданных начальных координатах вихрей. Этот подход позволяет наглядно проследить за эволюцией перестроек торов Лиувилля.

В данной работе основное внимание сконцентрировано на изучении динамики точечных вихрей внутри области на двумерной плоскости. Аналогичная задача, как было сказано выше, возникает в гидродинамике идеальной жидкости, помещенной в цилиндрический сосуд, в предположении, что вихревые нити прямолинейны и параллельны образующей цилиндрической области. Тогда в силу очевидной трансляционной симметрии в направлении оси цилиндра рассматривается двумерная задача в плоскости, перпендикулярной образующей цилиндра. При изучении динамики двух вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, помещенном в аксиально симметричную ловушку, исследуется динамика вихрей внутри круга, моделирующего поперечное сечение такой ловушки (рис. 1).

Рис. 1. Геометрия задачи двух вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате, помещенном в круговую область

Движение вихря имеет несколько источников: взаимодействие с другими вихрями (V12 и ^21) и прецессия (v_rot) (рис. 1). Во-первых, движение вихря обусловлено взаимодействием, так как любой из них создает поток в точке нахождения другого вихря. Угловая скорость движения жидкости на расстоянии г от вихря [14]:

^{ф( г} ) = А ’ тг²

где h - постоянна я Планка, а т - атомная масса.

В случае, когда вихри имеют одинаковый знак интенсивности, векторы скоростей направлены так, что вихри начинают вращаться вокруг общего центра. Если Ай и k-й вихри имеют интенсивности разных знаков, то система двух вихрей имеет поступательную составляющую движения в направлении течения жидкости между вихрями со скоростью

Vik = rik ®(r_ik ),

Рис. 2. К выводу уравнений движения точечных вихрей в бозе-эйнштейновском конденсате

где rik — расстояние между вихрями.

Гироскопическая прецессия бозе-эйнштейновского конденсата также вносит вклад в движение вихря. В ограниченной системе (гармоническая ловушка или цилиндр) поток от вихря искажен границами. Чтобы компенсировать влияние границы, вихрь движется по орбите вокруг центра. Вектор скорости прецессии v , _rot направлен перпендикулярно радиус-вектору вихря г,, и направление вращения совпадает с направлением циркуляции вихря [14]. Угловая частота прецессии задается формулой:

Q(rk) =

Qo

2 ^rk R²

где R - радиус цилиндра, a Qo:

^Qo = —RR mR2

3. Уравнения движения и гамильтонова формулировка

С учетом взаимодействия вихрей и влияния стенок области можно описать эволюцию координат двух вихрей ( п = 2) следующими уравнениями движения:

Гк^       Ь

^Хк = - R2^к^)ук - 2R2 E^ri ^Ф(rik⁾⁽Ук ^- Vi), i=k

ь

Ук = R2Q(rk)Хк + 2R2 Е riФ(rik )( x . - Xi ). i=k

Уравнения движения &-го вихря ( x . ,Ук ) записаны в декартовой системе координат с началом координат О в центре окружности так, что они удовлетворяют соотношению rk = х_к + у_к. Интенсивности вихря обозначены Гк.

Уравнения движения (1) можно привести к стандартной гамильтоновой форме:

.            . дН

Qi = {Ci, ^Н } = Е ^{^i’ ^к ^} д^, к

где C_i ~ координаты фазового вектора C = {xi, х₂ ,у₁ ,у₂ }. При этом скобка Пуассона задается с помощью симплектической формы ш:

{',’1 - -" Ё у

В качестве гамильтониана используется функция, зависящая от координат вихрей, их интенсивностей и физических параметров ловушки:

Н = !2°ЁГ2,„(1  R) Д±Ёг,Г.1.(у, к=1       4        2        к=1 ,<к         4   7

где Фд = b Ф(R) = b По, b — постоянный числовой параметр, определяющий степень взаимодействия вихрей, при различных значениях которого можно описать конденсат как в неограниченном объеме, так и внутри ловушки. В [14] отмечается, что гамильтониан (3) при значении параметра степени взаимодействия b = 2 наиболее удовлетворительно описывает результаты экспериментов в ловушке с жесткими стенками. Поэтому везде далее будем считать, что b = 2.

Пуассонова структура, компоненты матрицы которой

{xi,yj ^} =     $ij ,                                             (4)

г i где bij — символ Кронекера, всюду невырождена и имеет максимальный ранг. В результате гамильтонова система имеет две степени свободы, а фазовое пространство Р С R4:

Р = {(Х1,У₁,Х2,У2) : (х1 + У2 < R2 , (х2 + у2 < R2 , (х1,у1) = (х2,У2)} .

Дополнительный первый интеграл — момент завихренности:

F = Г1т2 +Г2Т2.                                   (5)

Первые интегралы — гамильтониан Н (3) и момент завихренности F (5) — коммутируют относительно скобки Пуассона (4).

Удобно перейти к безразмерным переменным х^, Ук € [0,1] и ввести параметр а, который равен отношению интенсивностей вихрей:

Г2

Хк = Rxk , Ук = Ryk , а = —.

г 1

Тогда матрица симплектической формы ш будет выглядеть следующим образом:

	0    0    а 0 0    0   0 1
ш =	-а  0  0 0 ^ 0   -1  0 0 у

После чего рассматривается система двух точечных вихрей внутри единичного круга, а первые интегралы (3) и (5) можно записать в безразмерном виде, опуская знаки тильды:

Н = ln [1 - (х1 + у2)] + а² ln [1 - (х2 + у2)] - а ln [(Х2 - xi)² + (у2 - уД²] , F = (х1 + у²) + а (х2 + у²) .

4.    Бифуркационная диаграмма

Отображение момента согласно [3] можно определить как: Р : Р ^ R², где (h,f )= Р (С ) = (Н (С),F(С)), VC еР.

Множество критических точек С — это множество всех точек отображения момента с рангом dP (С) < 2. Бифуркационной диаграммой будет множество этих критических значений У = Р(С ПР ).

Следуя результатам работ [4], [13], в которых были подробно описаны аналитические выражения для бифуркационных диаграмм, будем изучать перестройки торов Лиувилля, возникающие в данной системе в случае интенсивностей вихрей одинаковых знаков а > 0. На рисунке 2 изображена бифуркационная диаграмма при а = 0, 5, и для каждой камеры диаграммы указано число инвариантных торов в прообразе отображения момента, буквы а, /3 и у (согласно [9]) показывают следующие перестройки:

а : 0 ^ S¹ ^ T²;

3 : T² ^ S¹ х (S¹ U S¹) ^ 2T²; у : T² ^ S¹ U T² ^ 2T².

Здесь через S1 х (S1 U S1) обозначено интегральное многообразие, которое представляет собой произведение «восьмерки» на окружность [9].

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма Е и ее увеличенный фрагмент при а = 0.5

Рис. 4. Увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы Е пр и а = 0.5; координаты точек А, В,С, D, Е соответствуют значениям первых интегралов: Н = —0,48324, F (А) = 0, 4247243, F(В ) = 0,4248243, F(С) = 0,4250233, F(D) = 0,4250243, F(Е) = 0,4250543

Рис. 5. Перестройка торов Лиувилля вдоль линии первого интеграла Н = const

5.    Алгоритм визуализации торов Лиувилля

Рассмотрим значения первых интегралов в различных камерах бифуркационной диаграммы на увеличенном фрагменте, изображенном на рис. 3. Ниже приведем алгоритм визуализации перестроек торов Лиувилля, которые изображены на рис. 4.

• 1)    Фиксируются значения первых интегралов Н и F, определяющие положение точки на бифуркационной диаграмме - точки Л, В, С, D, Е на рис. 3.

• 2)    Формируется семейство решений для координат вихрей xi, yi Х2, у₂, которое удовлетворяет системе (6), где Н = con st, F = const соответствуют выбранным точкам на бифуркационной диаграмме.

• 3)    Используя полученные решения в качестве начальных данных, осуществляется численное решение основной системы уравнений (2) с помощью метода Рунге-Кутты 8-го порядка.

• 4)    Для решений, соответствующих области бифуркационной диаграммы с двумя инвариантными торами в прообразе отображения момента, проведена кластеризация для их разделения.

• 5)    Полученные координаты используются для построения трёхмерной проекции тора в пространстве (x1, х₂, у1).

6.    Основные результаты

В результате визуализации можно наблюдать бифуркации торов Лиувилля различных типов (7) при переходе через границы областей бифуркационной диаграммы. На рис. 4 представлены примеры таких бифуркаций: устойчивая перестройка при рождении одного тора (перестройка типа а при изменении константы интеграла F из пустого множества в Л), устойчивая бифуркация одного тора в два (перестройка типа у при изменении константы интеграла F из Л в В) и неустойчивая бифуркация двух торов в один (перестройка типа 3 из С в Е). Обратим внимание, что точки В и С лежат на бифуркационной диаграмме в области двух торов (рис. 3), которые мы и наблюдаем на рис. 4, при этом точка D находится на бифуркационной линии, а точка С находится близко к точке D, так что мы можем заметить сближение торов и их слияние в точке D.

Ранее визуализация бифуркации двух торов Лиувилля в один при пересечении ветви бифуркационной диаграммы уже была представлена для интегрируемого случая Адлера -ван Мербеке в [16].

В работе представлен алгоритм визуализации лиувиллевых торов для интегрируемой модели двух вихрей одинаковых знаков в круговой области. Наглядно демонстрируется, как количество и взаимное расположение торов изменяется при переходах между камерами бифуркационной диаграммы. Проведено численное исследование слоений Лиувилля. Описанный способ визуализации является универсальным и может быть применен для последующего изучения практически всех возникающих видов бифуркаций в изучаемых интегрируемых гамильтоновых системах.

Дальнейшие исследования будут направлены на классификацию различных типов бифуркаций, возникающих в задачах вихревой динамики, а также на обобщение разработанного подхода на более сложные модели вихревых движений идеальной жидкости и бозе-эйнштейновского конденсата.