Выбор подвеса чувствительных элементов инерциальных микромеханических датчиков для систем управления малых космических аппаратов

Разработки прецизионных и высокочувствительных микромеханических инерциальных датчиков с цифровым выходом [1], анализ их текущего состояния и перспектив [2] показывают, что добиться значительных успехов в этом направлении позволяет использование в электромеханических приборах компенсационного типа режима автоколебаний.

В этом случае прибор, например акселерометр или датчик угловой скорости (микро-механический гироскоп), работающий в режиме автоколебаний, представляет собой измерительное устройство, в котором подвижный узел прибора. - инерционная масса. (ИМ) -совершает колебания с некоторыми постоянными амплитудой и частотой, величины которых зависят от параметров системы. При этом наличие входного воздействия приводит к смещению центра, колебаний ИМ и соответствующей временной (частотной) модуляции управляющего сигнала. Глубина, модуляции пропорциональна, измеряемому воздействию.

Конструкция автоколебательного микромеханического гироскопа. (АММГ) описана, в работе [3].

Одним из важнейших элементов микромеханических датчиков (ММД) является подвес инерционных масс, представляющий собой упругие элементы, параметры которых существенным образом влияют на метрологические характеристики приборов. Среди основных требований к упругим элементам подвеса. ИМ ММД можно выделить следующие:

• 1)    отсутствие перекрестных связей между различными поступательными и вращательными движениями ИМ;

• 2)    обеспечение определенной анизотропии упругих свойств подвеса для получения заданных собственных частот и форм собственных колебаний ИМ в подвесе;

• 3)    линейность упругих характеристик, малость нелинейных эффектов при всех перемещениях ИМ [4].

2.    Системы координат

Для анализа, характеристик подвеса. ИМ целесообразно принять основание прибора, и жёстко связанную с ним несущую раму неподвижными в абсолютной системе координат.

Система координат 0XYZ жёстко связана с о снованием, система 0^T Х^т Y ^т Z ^т - с ИМ таким образом, что её начало находится в центре масс ИМ, как это показано на. рис. 1.

При этом ИМ рассматривается как недеформируемое абсолютно жёсткое тело, имеющее шесть степеней свободы относительно системы координат 0XYZ. Её положение, определяемое положением системы 0^TX ^TY^т Z^т относительно системы 0XY Z, задается шестью независимыми обобщенными координатами: радиус-вектором Й и матрицей направляющих косинусов К размерности 3x3. Исходное (невозмущенное) положение ИМ характеризуется радиус-вектором R о и матрицей Ко. В произвольном (возмущенном) положении имеем радиус-вектор R и матрицу К. при этом переход от системы координат 0^TX ^TY^тZ ^т к системе 0XY Z 'задастся вектором смещения р и матрицей нанравлятощих косинусов Ө. Схема, расположения систем координат приведена, на. рис. 1.

Рис. 1. Схема, расположения систем координат

Параметры смещённого положения ИМ можно определить по формулам

.    __ —__

R = Rо + р; К = ӨКо.

3.    Матрица жёсткости подвеса

В общем виде матрица жёсткости подвеса С размер пости 6x6, содержащая элементы Огр симметрична (с^- = с^) и определяет зависимость сил и моментов от линейных перемещений и углов поворота ИМ относительно положения равновесия [F,M ]^T = С * [р, ^T, где матрица, жёсткости С имеет вид

	с11 с12 с13 с14 с15 с16
	с21 с22 с23 с24 с25 с26
С =	с31 с32 с33 с34 с35 с36	.                                      (2)
	с41 с42 с43 с44 с45 с46
	с51 с52 с53 с54 с55 с56
	- с61 с62 с63 с64 с65 с66 -

Верхнюю левую четверть матрицы составляют коэффициенты поступательной жёсткости (Оң ,О22 ,сзз ,сі2 ,сіз ,О2з), нижнюю правую четверть составляют коэффициенты поворотной жёсткости (с₄₄,с55,сбб,с₄5,с₄б,с5б). Остальные коэффициенты могут быть названы коэффициентами перекрестной, поворотно-поступательной жёсткости ( ^с14.^с15.^с1б.^с24■^с25■^с26•^с34■^с35•^с36)■

Для дальнейшего анализа, сделаем ряд предположений:

- упругие элементы подвеса, выполнены без технологических погрешностей и перекрест ные связи между различными поступательными и вращательными движениями ИМ отсутствуют,

• - расположение упругих элементов подвеса. ИМ и их форма, обеспечивающая коэффициент жёсткости сзз, значительно больший, чем сц и с22, приводит к тому, что ИМ будет иметь лишь две поступательные степени свободы и одну вращательную,

  - полное совпадение упругих свойств элементов подвеса и их симметричное расположение относителвно центра масс ИМ приводит к отсутствию вращения ИМ относителвно указанной ранее степени свободы.

При принятых допущениях матрица жёсткости подвеса С будет иметв вид

	" С11	0	0
С =	0	С 22	0	.                                                (3)
	0	0	С 33

Упругие элементы подвеса АММГ должны обеспечиватв линейное перемещение ИМ по двум осям (0Х и 0У) и препятствовать перемещению по оси 0Z, а также её вращательному движению.

Матрица податливости кремния имеет следующий вид:

Г 811 812 813 814 815 816 821 822 823 824 825 826 8 ‘ = 831 841 832 842 833 843 834 844 835 845 836 846 ,                                   (4) 851 852 853 854 855 856 _ 861 862 863 864 865 866 - где 8U = 822=833 = 0,762 • 10-11 Пa-1, 812 = 813=823=821 = 831=832 = -0,214 • 10-11 Па-1, 844 = 855=866 = 1,255 • 10-11 Па-1, 814 = 815=816=824= 825=826=834 = 835=836=845 = 846= = 856 = 841 =851 =861 =842 = 852 =862=843 = 853 =863 =854=864=865 = 0 [5].

Для направления, заданного направляющими косинусами /, m и п, модули упругости кремния равен [5]

Е =

I ² (I² Su + т ² S 12 + п ² S 13 ) + т ² (I² S 21 + т ² S 22 + n ² S 23 ) + n ² (I² S 31 + т ² S 32 + п ² S 33 ) + т ² n ² S 44 + п ² I ² S 55 + I ² т ² 5 бб

Для направления, заданного направляющими косинусами I = 1, т = 1 и п = 1, модуль упругости кремния = 2,1 • 10¹⁰ Па. Матрица направляющих косинусов имеет вид

°11  °21  °31		100
°21  °22 °23	=	010
°31  °32 °33		001

Тогда константа упругости 812 равна компоненте тензора упругости четвёрного порядка 81122 и равна с учётом нулевых элементов матрицы направляющих косинусов: 81₂ = 81₁₂₂ = 0211 • а₂₂ • 812 = -0,214 • 10^-11 Па^-1. Коэффициент Пуассона ц‘ = -81₂ • Е = 0,0449, модуль сдвига, равен: G = ₂(Др, ’ ) = 1 ' 1010 Па И-

4.    Жёсткость криволинейного элемента подвеса

Из физических соображений понятно, что для обеспечения возможности перемещения ИМ по осям 0Х и 0У необходимо использовать криволинейные подвесы, пример которых приведён на рис. 2 [4].

Рис. 2. Общий вид криволинейного подвеса

Для такой формы подвеса коэффициент жёсткости при деформации изгиба будет равен

_ 2Ehb ³ Снрл пг. = ^ТЬ^.

Чтобы обеспечить равножёсткость подвеса, целесообразно использовать S-образный упругий элемент подвеса ИМ, приведённый на рис. 3, как совокупность двух криволинейных подвесов с коэффициентами жёсткости при деформации изгиба

Спр.п: $г,1 — ^Спр.іізг.2 дет равен [4]

Спр.изг.з- В этом случае коэффициент жёсткости такого подвеса бу-

^С2 ( fe ) ^—

2Ehb3

91В² .

Спр.п зг.1 • Спр.изг.2

СПр.ИЗГ.1 + Спр.нзг.2

Рис. 3. S-образный упругий элемент подвеса ИМ

При перемещении ИМ вдоль оси СУ коэффициент матрицы жёсткости с22 в соответствии с принципом суперпозиции будет равен сумме п коэффициентов жёсткости упругих элементов подвеса ИМ:

п

С22 — ^>(к)

fe =1

8Ehb3

91В² .

Тогда при b — 1С^-5 м, Һ — 2 • 1С^-4 м, I — 1С^-3 м, В — 5 • 1С^-4 м с ₂₂ — 15 Н/м.

При перемещении ИМ вдоль оси СХ деформация изгиба будет иметь вид, показанный на рис. 4.

Рис. 4. Деформация изгиба упругого элемента подвеса ИМ при перемещении ИМ вдоль оси СХ

В этом случае сила упругости изгиба Ғ_упр (^), действующая на ИМ при перемещении заделки к ИМ Fro упругого элемент а подвеса вдоль оси СХ на расстояние ж(к), будет равна

^упр ( к ) ^{— С}2 ( к ) • ^Д^

При перемещении ИМ вдоль оси СХ сумма проекций этих сил упругости на ось СУ для всех четырёх упругих элементов подвеса ИМ будет равна нулю, а проекция этой силы упругости на ось 0Х для к-го упругого элемента подвеса ИМ будет равна

^упр ж ( к ) =

^е2 ( к ) • ^А1ж ( к ) • ® ( к )

V ¹² +^

2ЕҺЬ3            і

91В² ^ 11 — Д2 , _T2

\ у ^{1 +ж} ( к )

(Ю)

где АІ_ж(к) - увеличение длины к-го упругого элемента подвеса ИМ при перемещении его заделки к ИМ вдоль оси 0Х на расстояние ж(к).

Общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при её перемещении вдоль оси 0Х, по принципу суперпозиции будет равна

п

1 упр ж

Е 7- (к)

к =1

8ЕҺЬ 3

91В2

-

і

/² +4)

• ^( к ) *

(И)

Коэффициент ең будет нелинейным.

Аналогично рассмотренному ранее случаю использования прямоугольного прямого подвеса езз будет существенно превышать ең, что позволяет сделать предположение об отсутствии у ИМ степени свободы на линейное перемещение вдоль оси 0Х.

5.    Жёсткость криволинейного элемента подвеса, расположенного под углом

В случае крепления упругих 5-образных элементов подвеса по углам ИМ под углом a = | к о си 0^тХ ^т (рис. 5) уравнение силы упругости изгиба Ғ_{уп р} (к), действующей на ИМ при перемещении заделки к ИМ к-го упругого элемент а подвеса вдоль оси 0Х на расстояние Ж(к), будет также определяться соотношением (10). Деформация упругого элемента подвеса приведена на рис. 6.

Рис. 5. Вариант расположения упругих элементов подвеса, по углам ИМ

Рис. 6. Деформация изгиба упругого элемента подвеса ИМ при перемещении ИМ вдоль оси 0Х при расположении упругих элементов подвеса, по углам ИМ

При перемещении ИМ вдоль оси 0Х на расетояние Аж (Аж не превышает значения l • cos а) проекция силы упругости изгиба подвеса Ғупр (к) на ось 0Х будет равна [6]

^упр_Ж ( к ) = ^-2|||- • f^{1 —} ж ₉ о Л , =) • ^(l • cos а ± ^Аж) .     (¹²)

^9lB \    у Аж² + I ² — 2 • Аж • I • cos а/

Общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при её перемещении вдоль оси 0А, по принципу суперпозиции будет равна

_ 4Ehb-

Ғупр ж = "9ZB2"

(2 • Аж +

l • (l • cos а — Аж)

V Аж² + l² — 2 • Аж • l • cos а

-

l • (l • cos а + Аж)

V Аж² + l² + 2 • Аж • l • cos а

.

Аналогичным образом общая сила упругости, действующая на ИМ со стороны упругих элементов подвеса при её перемещении вдоль оси 0Y, по принципу суперпозиции будет равна

_ 4E^b-

^^пру     -9 в²

( 2 • Ау +

l • (l • sin а — Ау) VАy² + l² — 2 • Ау • l • sin а

l • (l • sin а + Ау)

V Ау² + l² + 2 • Ау • l • sin а

.

Как и ранее, жесткость с-- по оси 0Z будет существенно превышать сц и С22, что позволяет сделать предположение об отсутствии у ИМ линейного перемещения вдоль этой оси.

6.    Моделирование динамики ИМ АММГ Рис. 7. График зависимости амплитуды колебаний ИМ 0Y вдоль выходной оси от угла расположе ния упругих элементов ее подвеса а.

Было проведено моделирование динамики ИМ АММГ с расположением S-образных упругих элементов подвеса по углам ИМ в программной среде Simulink [7]. При моделировании были использованы следующие значения параметров:

масса m = 2 • 10^-6 кг (ИМ):

коэффициенты демпфирования по осям ж и у соответственно ц_х = Цу =5 • 10^-5 Н-с/м;

угловая скорость вращения АММГ вокруг оси чувствительности ш^ = 1°/с;

сила, создаваемая датчиком силы (ДС) F_a = 150 • 10—6 Н;

расстояние от начального положения ИМ, на котором расположены датчики положения (ДИ) х_т= 10 • 10—6 м;

входное напряжение ДС Ппдс =5 В;

коэффициент преобразования ДС кд с = 30 • 10—6 Н/В;

коэффициент преобразования ДИ кдп = 900 В/м;

коэффициент преобразования оптического преобразователя коп = 100;

постоянная времени ДС Т2 = 10^-8 с.

На рис. 7 представлен график зависимости амплитуды колебаний ИМ вдоль выходной оси 0У от угла расположения упругих элементов подвеса.

Амплитуда колебаний ИМ 0У вдоль выходной оси достигает своего максимума при угле a = 48°24‘.

7.    Выводы

Проведенные исследования и разработанная методика расчета показали, что выбор угла расположения элементов подвеса позволяет осуществить оптимизацию жескостных характеристик подвеса, существенным образом влияющих на параметры и характер движения ИМ. Особенно важным представляется результат, показывающий наличие области значительного возрастания амплитуды колебаний по выходной оси (оси 0У) при угле a ~ 48°. Амплитуда колебаний 210 нм обеспечивает высокую чувствительность прибора и хороший динамический диапазон измерения. Таким образом, использование данной методики даёт возможность целенаправленно проводить процесс проектирования подвеса ИМ микроме-ханических приборов.

Работа, отраженная в данной статье, признана лучшей на Всероссийском конкурсе научных и инновационных проектов студентов, аспирантов и молодых ученых (МФТИ-2012).