О реализации контроля точности решений плоских задач теории упругости при помощи смешанных конечных элементов
Автор: Фролов Максим Евгеньевич
Журнал: Вычислительная механика сплошных сред @journal-icmm
Статья в выпуске: 1 т.7, 2014 года.
Бесплатный доступ
Работа посвящена развитию одного метода апостериорного контроля точности приближенных решений краевых задач. Суть таких методов заключается в том, что по исходным данным задачи и имеющемуся приближенному решению количественно оценивается ошибка - отклонение приближенного решения от неизвестного точного. Подход носит название функционального, поскольку опирается на методы функционального анализа, что позволяет вычислять гарантированные верхние границы погрешности для широкого класса приближенных решений. Для иллюстрации возможностей подхода используется известный программный пакет для инженерных расчетов - ANSYS. На тестовых примерах показано, что функциональный подход при его реализации на основе смешанного конечного элемента Арнольда-Боффи-Фалка расширяет возможности стандартной методики ANSYS. Полученные результаты указывают на стабильно высокую эффективность оценки истинной величины погрешности. В то же время с измельчением конечно-элементной сетки стандартная процедура может приводить к существенному росту переоценки ошибки.
Апостериорные оценки погрешности, метод конечных элементов, смешанные аппроксимации, плоская деформация
Короткий адрес: https://sciup.org/14320710
IDR: 14320710 | DOI: 10.7242/1999-6691/2014.7.1.8
Список литературы О реализации контроля точности решений плоских задач теории упругости при помощи смешанных конечных элементов
- Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space//Quart. Appl. Math. -1947. -V. 5, N. 3. -P. 241-269.
- Synge J.L. The hypercircle method//Studies in numerical analysis/Ed. B.K.P. Scaife. -London: Academic Press, 1974. -P. 201-217.
- Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. -512 с.
- Verfürth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. -Chichester, Stuttgart: John Wiley & Teubner, 1996. -127 p.
- Ainsworth M., Oden J.T. A posteriori error estimation in finite element analysis. -New York: John Wiley & Sons, 2000. -240 p.
- Babuška I., Strouboulis T. The finite element method and its reliability. -New York: Oxford University Press, 2001. -802 p.
- Bangerth W., Rannacher R. Adaptive finite element methods for differential equations. Lectures in Mathematics. -ETH Zurich, Basel: Birkhauser, 2003. -207 p.
- Neittaanmäki P., Repin S. Reliable methods for computer simulation. Error control and a posteriori estimates. Studies in Mathematics and Its Applications. -New York: Elsevier, 2004. -305 p.
- Ladevèze P., Pelle J.-P. Mastering calculations in linear and nonlinear mechanics. Mechanical Engineering Series. -New York, NY: Springer, 2005. -413 p.
- Repin S.I. A posteriori estimates for partial differential equations. Radon Series on Computational and Applied Mathematics 4. -Berlin: de Gruyter, 2008. -316 p.
- Szabò B., Babuška I. Introduction to finite element analysis: Formulation, verification and validation. -John Wiley & Sons, 2011. -364 p.
- Mali O., Neittaanmäki P., Repin S. Accuracy verification methods. Theory and algorithms. Computational Methods in Applied Sciences 32. -Dordrecht: Springer, 2014. -355 p.
- Алексеев А.K., Махнев И.Н. Использование лагранжевых коэффициентов при апостериорной оценке погрешности расчета//Сиб. журн. вычисл. матем. -2009. -Т. 12, № 4. -С. 375-388.
- Боголюбов А.Н., Малых М.Д., Панин А.А. Зависимость эффективности апостериорной оценки точности приближенного решения эллиптической краевой задачи от входных данных и параметров алгоритма//Вестник Московского Университета. Серия 3: Физика. Астрономия. -2009. -№ 1. -С. 18-22.
- Фролов М.Е., Чурилова М.А. Адаптация сеток на основе функциональных апостериорных оценок с аппроксимацией Равьяра-Тома//ЖВММФ. -2012. -Т. 52, № 7. -C. 1277-1288.
- Чурилова М.А. Применение функционального подхода к адаптивному решению эллиптических задач//Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2012. -№ 158. -С. 64-69.
- Корнеев В.Г. Контроль погрешности численных решений краевых задач механики сплошной среды//Научно-технические ведомости СПбГПУ. -2009. -Т. 4, № 88. -С. 31-43.
- Корнеев В.Г. Простые алгоритмы вычисления классических апостериорных оценок погрешности численных решений эллиптических уравнений//Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. -2011. -Т. 153, № 4. -С. 11-27.
- Золотарёва Н.Д., Николаев Е.С. Метод построения сеток, адаптирующихся к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и четвертого порядков//Дифференциальные уравнения. -2009. -Т. 45, № 8. -С. 1165-1178.
- Золотарёва Н.Д., Николаев Е.С. Адаптивная p-версия метода конечных элементов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка//Дифференциальные уравнения. -2013. -Т. 49, № 7. -С. 863-876.
- Багаев Б.М., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В. Сеточные методы решения задач с пограничным слоем. -Новосибирск: Наука, 2001. -Ч. 2. -224 с.
- Караваев А.С., Копысов С.П. Перестроение неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток//Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2013. -№ 4. -С. 62-78.
- Караваев А.С., Копысов С.П., Пономарёв А.Б. Алгоритмы построения и перестроения неструктурированных четырехугольных сеток в многосвязных областях//Вычисл. мех. сплош. сред. -2012. -Т. 5, № 2. -С. 144-150.
- Копысов С.П., Новиков А.К. Метод декомпозиции для параллельного адаптивного конечно-элементного алгоритма//Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. -2010. -№ 3. -С. 141-154.
- Фролов М.Е. Применение функциональных оценок погрешности со смешанными аппроксимациями к плоским задачам линейной теории упругости//ЖВММФ. -2013. -Т. 53, № 7. -С. 1178-1191.
- Arnold D.N., Boffi D., Falk R.S. Quadrilateral H(div) finite elements//SIAM J. Numer. Anal. -2005. -V. 42, N. 6. -P. 2429-2451.
- Muzalevsky A.V., Repin S.I. On two-sided error estimates for approximate solutions of problems in the linear theory of elasticity//Russ. J. Numer. Anal. M. -2003. -V. 18, N. 1. -P. 65-85.
- Durán R.G. Mixed finite element methods. Mixed finite elements, compatibility conditions, and applications//Lecture Notes in Mathematics. -2008. -V. 1939. -P. 1-44.
- Zienkiewicz O.C., Zhu J.Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis//Int. J. Numer. Meth. Eng. -1987. -V. 24, N. 2. -P. 337-357.
- Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей//ЖВММФ. -1969. -Т. 9. -С. 1102-1120.
- Manet V. The use of ANSYS to calculate the behaviour of sandwich structures//Compos. Sci. Technol. -1998. -V. 58, N. 12. -P. 1899-1905.
