Статьи журнала - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
Все статьи: 733
Анализ смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона
Статья научная
Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается в ограниченной плоской области. Проводится продолжение этой задачи в вариационном виде через границу с условием Дирихле до прямоугольной области. Для решения продолженной задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент в вариационном виде. Продолженная задача в вариационном виде рассматривается на конечномерном пространстве. Для решения предыдущей задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент на конечномерном пространстве. Для решения продолженной задачи в матричном виде рассматривается известный метод фиктивных компонент. Показывается, что в методе фиктивных компонент абсолютная ошибка в энергетической норме сходится со скоростью геометрической прогрессии. В качестве обобщения метода фиктивных компонент предлагается новый вариант метода итерационных расширений. Продолженная задача в матричном виде решается методом итерационных расширений. Показывается, что в предложенном варианте метода итерационных расширений относительная ошибка сходится в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи со скоростью геометрической прогрессии. Итерационные параметры в указанном методе выбираются с помощью метода минимальных невязок. Указываются условия достаточные для сходимости применяемого итерационного процесса. Выписан алгоритм, реализующий предложенный вариант метода итерационных расширений. В данном алгоритме производится автоматический выбор итерационных параметров и указывается критерий остановки при достижении оценки требуемой точности. Приводится пример применения метода итерационных расширений для решения частной задачи. В расчетах ставится условие достижения оценки относительной ошибки в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи. Но приводятся относительные ошибки полученного численного решения примера исходной задачи и другими способами. Например, вычисляется поточено относительная ошибка в узлах сетки. Для достижения относительной ошибки не более нескольких процентов требуются всего несколько итераций. Вычислительные эксперименты подтверждают асимптотическую оптимальность метода, полученную в теории.
Бесплатно
Анализ структурных термических деформаций пированадата кадмия
Статья научная
Структурные термические трасформации Cd2V2O7 в области температур от комнатной до 900 °С детально исследованы на основе анализа межатомных расстояний и угловых характеристик кадмий-кислородных полиэдров, рассчитанных из результатов высокотемпературного рентгеногра-фирования. Установлено влияние термической деформации полиэдрических составляющих структуры пированадата кадмия на формирование структурно-чувствительных свойств - испарения и проводимости.
Бесплатно
Аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в газе в одномерном случае
Статья научная
Построено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в сосуде с непроницаемой стенкой, описывающее случаи плоской, цилиндрической и сферической симметрии. На границе сосуда задана отрицательная скорость, а скорость холодного идеального газа равна нулю. В начальный момент времени из этой точки начнет распространяться ударная волна к центру симметрии. Граница сосуда будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением ударной волны. В эйлеровых переменных она движется, но в лагранжевых переменных её траектория является вертикальной линией. Получены уравнения, определяющие структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей как функции времени и лагранжевой координаты, а также зависимость энтропии от скорости ударной волны. Для всех случаев симметрии найдены показатели автомодельности и соответствующие им значения безразмерных координат для широкого диапазона показателей адиабаты. Задача решена в лагранжевых координатах и принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и её отражении от центра, которые построены для бесконечной области в эйлеровых координатах.
Бесплатно
Анатолий Семёнович Макаров. К семидесятилетию со дня рождения
Персоналии
18 августа 2015 года исполнилось семьдесят лет кандидату физико-математических наук, профессору, одному из организаторов математического образования в Челябинске, многолетнему (1985-2011) заведующему кафедрой математического анализа Челябинского государственного педагогического университета МАКАРОВУ Анатолию Семёновичу.
Бесплатно
Статья научная
Приведены результаты по структуре расплавов NaPO3 - NaF, полученные молекулярно-статистическим расчетом на основе метода Монте-Карло. Показана близость результатов двух моделей, основанных на полуэмпирическом и неэмпирическом квантовохимических методах. Проведено сопоставление экспериментальных и расчетных данных.
Бесплатно
Статья научная
В настоящей работе впервые представлены результаты исследования диэлектрических свойств сегнетоэлектрических жидких кристаллов (СЖК) допированных хиральными одностеночными углеродными нанотрубками (ОУНТ). Показано что введение в образец даже малого количества нанотрубок (0,01 вес. %) приводит к существенному снижению величины как действительной, так и мнимой части диэлектрической проницаемости. Данный эффект может быть объяснен захватом делокализованными π электронами примесных ионов и вызванное этим эффектом уменьшение как индуцированной поляризации ЖК, так и электропроводности.
Бесплатно
Аппроксимация матрицы с положительными элементами матрицей единичного ранга
Статья научная
Большинство современных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики требуют решения линейных задач большой размерности. Для понижения вычислительной сложности используется специальная структура матриц, соответствующих этим задачам. Блочно-малоранговые матрицы представляют из себя приближение с хорошей точностью плотных матриц в малопараметрическом формате. Блоки малого ранга представляются в виде произведения матриц меньшего размера. Это позволяет значительно экономить машинную память. Методы приближенной факторизации блочно-малоранговых матриц могут быть применены для приближенного решения и предобуславливания систем с плотными матрицами в задачах аэро-, гидро- и электродинамики, а также в прикладной статистике и логистике. Для построения малопараметрических представлений матриц, основанных на малоранговых аппроксимациях отдельных блоков, широко используются алгебраические методы. В данной работе рассмотрен эффективный способ аппроксимации блоков матрицы с положительными элементами матрицей единичного ранга, т. е. в виде произведения столбца на строку. Решение задачи ищется среди допустимых представлений, минимизирующих среднее значение модулей логарифмов отношения приближенного представления элемента к точному значению. Аппроксимирующая задача сведена к задаче линейного программирования, для которой двойственная задача является задачей построения циркуляции минимальной стоимости в полном двудольном графе с пропускными способностями всех дуг равными единице. Для решения полученной задачи предложен алгоритм, имеющий вычислительную сложность не более O(|I|·|J|·log(|I|·|J|)), где I - множество строк в блоке, J - множество столбцов в блоке.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается вторая начально-краевая задача с однородными граничными условиями для одномерного модифицированного уравнения теплопроводности. Модификация состоит в замене коэффициента температуропроводности интегральной нагрузкой. В работе она имеет вид степенной функции от интеграла квадрата модуля производной решения уравнения по пространственной переменной. Уравнения с подобной нагрузкой ассоциированы с некоторыми практически важными параболическими уравнениями со степенной нелинейностью в главной части. Это позволяет использовать решения нагруженных задач для начала процесса последовательного приближения к решениям редуцируемых к ним нелинейных задач. В этом случае по отношению к исходному нелинейному уравнению нагруженное уравнение содержит ослабленную нелинейность. Линеаризация нагруженного уравнения позволяет найти его приближенное решение. В рассматриваемых в работе трех случаях интегральная нагрузка представляет собой квадрат нормы производной решения по x в пространстве L2 в натуральной, обратной к натуральной и целой отрицательной степенях. Установлены соответствующие априорные неравенства, правая часть которых используется для перехода к линеаризованным уравнениям. Приводятся примеры линеаризации данным способом уравнений теплопроводности с интегральной нагрузкой в главной части.
Бесплатно
Статья научная
Целью исследования является развитие асимптотического метода пограничных функций для бисингулярно возмущенных задач. В работе доказана возможность применения обобщенного метода пограничных функций к построению полного асимптотического разложения решения задачи Дирихле для бисингулярно возмущенного, линейного, неоднородного, эллиптического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными в кольце с квадратичным ростом на границе. Построенный асимптотический ряд представляет собой ряд Пюйзо. Построенное разложение обосновано принципом максимума.
Бесплатно
Асимптотика решения двухзонной двухточечной краевой задачи
Статья научная
Исследуется асимптотическое поведение решения двухточечной краевой задачи на отрезке для линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной. Существенные особенности задачи - присутствие малого параметра перед производной второго порядка от искомой функции, существование двухслойного пограничного слоя на левом конце отрезка при х = 0 и негладкость решения соответствующей невозмущенной краевой задачи. Требуется построить равномерное асимптотическое разложение решения двухзонной двухточечной краевой задачи на единичном отрезке с любой степенью точности при стремлении малого параметра к нулю. Из-за второй и третьей особенности задачи так легко невозможно построить асимптотическое разложение решения по малому параметру известными асимптотическими методами. При решении поставленной задачи нами используются: методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, метод малого параметра, классический метод пограничных функций, обобщенный метод пограничных функций и принцип максимума. Задача решается в два этапа: на первом этапе строится формальное разложение решения двухточечной краевой задачи, а на втором этапе приводится обоснование этого разложения, т. е. оценивается остаточный член разложения. На первом этапе формальное асимптотическое решение ищется в виде суммы трех решений: гладкое внешнее решение на всем отрезке; классическое погранслойное решений в окрестности х = 0, которое экспоненциально убывает вне погранслоя и промежуточное погранслойное решение при х = 0, которое степенным характером убывает вне погранслоя. Построенное асимптотическое разложение решения двухточечной краевой задачи является асимптотическим в смысле Эрдей.
Бесплатно
Асимптотика решения одной задачи Валле-Пуссена с нестабильным спектром
Статья научная
Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике, социологии, океанологии и др. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром используются при моделировании процессов различной природы. Обычно при моделировании отбрасывают малые факторы, чтобы получилась более простая модель, с которой можно было бы извлечь нужную информацию. Практика доказала, что малые факторы надо не учитывать не в уравнениях, а в решениях. Уравнения, содержащие малые факторы, называют возмущенными. Теория возмущений получила широкое применение в современной прикладной математике. С ее помощью исследователи отвечают на вопросы влияния различных факторов на течение процесса, об устойчивости полученных решений, близости процессов, описываемых полученными решениями, реальным исследуемым объектам. Исследуется задача Валле-Пуссена для системы неоднородных линейных сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что спектр матрицы, являющейся коэффициентом линейной части системы, нестабилен в трех точках рассматриваемого отрезка. Требуется построить равномерное асимптотическое разложение решения задачи, модифицируя классический метод пограничных функций.
Бесплатно
Статья научная
Строится полное равномерное асимптотическое разложение по малому параметру решения первой краевой задачи. Первая краевая задача ставится для сингулярно возмущенного линейного неоднородного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными параболического типа. Задача исследуется на прямоугольнике. Особенности задачи - присутствие малого параметра перед оператором теплопроводности, существование угловых пограничных слоев на нижних углах прямоугольника. Требуется построить равномерное асимптотическое разложение решения первой краевой задачи на прямоугольнике, с любой степенью точности, при стремлении малого параметра к нулю. Асимптотическое разложение решения по малому параметру строится методом Вишика-Люстерника. При решении поставленной задачи нами используются: методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, классический метод малого параметра, метод пограничных функций Вишика-Люстерника и принцип максимума. Как обычно, задача решается в двух этапах: в первом этапе строится формальное разложение решения первой краевой задачи, а во втором этапе оценивается остаточный член полученного разложения и этим доказывается, что полученное разложение действительно является асимптотическим на всем прямоугольнике. В первом этапе формальное асимптотическое решение ищется в виде суммы шести функций (решений): внешнее решение, определенное на всем прямоугольнике, погранслойное решение в малой окрестности нижней стороны прямоугольника, два боковых погранслойных решения в малой окрестности боковых сторон прямоугольника и два угловых погранслойных решения в окрестностях нижних вершин прямоугольника. Все эти погранслойные решения экспоненциально убывают вне пограничных слоев.
Бесплатно
Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи Дирихле со слабой особой точкой
Статья научная
Рассматривается задача Дирихле для сингулярно возмущенного, линейного, однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с негладким коэффициентом в действительной оси. Подобные задачи встречаются в физике, технике, механике сплошной среды, гидродинамике и др. Целью исследования является развитие асимптотического метода пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой-Иманалиева для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение имеет негладкое решение в рассматриваемой области. По терминологии А.М. Ильина подобные задачи называют бисингулярными. В работе доказывается возможность применения обобщенного метода пограничных функций к построению полного, равномерного асимптотического разложения решения краевой задачи для сингулярно возмущенного, линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со слабой особой точкой или интегрируемой особой точкой. Построенное разложение решения является асимптотическим в смысле Эрдей. При построении равномерного асимптотического разложения решения задачи Дирихле использованы: метод малого параметра, метод математической индукции, классический метод пограничных функций, обобщенный метод пограничных функций и принцип максимума. С помощью принципа максимума получена оценка для остаточного члена асимптотического разложения, т. е. равномерное, полное асимптотическое разложение решения по малому параметру обосновано. Приведен конкретный пример.
Бесплатно
Асимптотически оптимальное решение модельной задачи для экранированного уравнения Пуассона
Статья научная
Экранированное уравнение рассматривается на прямоугольной области со смешанными краевыми условиями. При численном решении этой задачи предлагается использовать итерационную факторизацию после фиктивного продолжения дискретной задачи аппроксимирующей решаемую задачу. В итоге решение основывается на решении систем линейных алгебраических уравнений с матрицами треугольного вида, в которых ненулевых элементов не боле трех в каждой строке. При достаточно малой погрешности аппроксимации рассматриваемой задачи требуемая относительная погрешность предлагаемого итерационного процесса достигается за количество итераций, независящее от параметров дискретизации. Итерационный процесс оказывается методом, дающим оптимальную асимптотику по количеству операций в арифметических действиях. Разработанный итерационный процесс основывается на характерных особенностях указанной модельной задачи. Эта задача может быть получена в методах фиктивных компонент, пространств, когда решают краевые задачи для эллиптических уравнений в областях сложной формы. Приводится алгоритм реализации итерационного метода с выбором итерационных параметров в автоматическом режиме, с применением метода минимальных невязок, поправок. Это дает критерий для остановки итерационного процесса при получении указанной предварительно относительной погрешности. Приведен простейший тестовый пример для вычислительных экспериментов, подтверждающих асимптотическую оптимальность для итерационного метода в количестве вычислительных затрат. Реализация метода существенно основывается на использовании комплексного анализа.
Бесплатно
Асимптотические разложения функций Люстерника
Статья научная
Рассмотрена связь функций Люстерника и специального случайного процесса на локально-компактной группе. Получена предельная теорема для этого процесса. Получен главный член асимптотического разложения функций Люстерника.
Бесплатно
Асимптотическое поведение приближенного решения одномерной сингулярно возмущенной задачи Гольдштика
Статья научная
Рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с разрывной по фазовой переменной нелинейностью, в правую часть которого включен малый параметр. Наряду с этим тот же параметр возникает в записи начальных условий. Это приводит к ситуации, когда исследуемая задача из классической переходит в разряд сингулярно возмущенных. Решить задачу в такой постановке, во-первых, представляется возможным, исходя из понятия точного решения, средствами теории уравнений с разрывными нелинейностями; во-вторых, как сингулярно возмущенную - методом построения асимптотики погранслойного типа. Поскольку точное решение терпит разрыв в начальной точке, что в физическом смысле не оправданно, то производится аппроксимация уравнения с целью получить приближенное сглаженное решение. Для него требуется определенная сходимость к точному решению при стремлении малого параметра к нулю. Уравнение со сглаженной правой частью дает решение в квадратурах. Затем доказывается близость его асимптотики к точному решению. Из экспоненциальной близости асимптотики к приближенному решению следует для последнего требуемое поведение.
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрено классическое конечное уравнение, содержащее параметр. При некотором условии на левую часть этого уравнения, после замены переменной она сводится к такому виду, что нетрудно провести классификацию случаев соотношений между составляющими ее частями. Каждый случай влечет за собой определенную ситуацию с существованием решения исследуемого уравнения, и показано, что оно может иметь, по сути, один и тот же стандартный вид. Для последнего приведен фундаментальный результат построения асимптотического разложения. Далее проводится доказательство формулы для вида коэффициентов искомого разложения, использующее индуктивный прием. Другой подход к поиску решения указанного уравнения связан с возможностью получения асимптотической формулы, с виду напоминающей бесконечную цепную дробь. Сначала естественным образом строятся рекуррентно приближения как последовательно уточняющиеся неравенства для решения, затем строго доказывается сходимость этих приближений. Поточечная сходимость отдельно четных и нечетных приближений вызвана их монотонностью и ограниченностью, а дополнительное условие непрерывной дифференцируемости входящих данных уравнения гарантирует и равномерную сходимость приближений к решению. В заключении приведен простой пример такой цепной дроби.
Бесплатно
Атомная и электронная структуры хиральных золотых нанотрубок
Статья научная
Приводятся результаты исследования атомной и электронной структуры золотых нанотрубок, не обладающих зеркальной симметрией. Построены элементарные ячейки нанотрубок (4, 3) и (5, 3) и проведено моделирование их свойств в рамках теории функционала электронной плотности с использованием периодических граничных условий. Установлено различное поведение двух типов межатомных расстояний при «скручивании» треугольной решетки каркаса нанотрубок, связи в одном из которых оказались заметно короче, чем в нанотрубках с зеркальной симметрией. Особенности электронной структуры и парциальных плотностей электронных состояний в целом оказались схожими у нанотрубок, обладающих зеркальной симметрией, и у тех, которые ее лишены.
Бесплатно
Аттракторы Лоренца в коллоидно-химических системах и их роль в фазовом течении оксигидратных гелей
Статья научная
Усложнение аттракторов течения гелей кремниевой кислоты заключается в обнаружении двух их составляющих, а именно, квазигиперболических аттракторов Лоренца и некоторой странной нехаотической составляющей (аттрактора), которая определяется как СНА (странный нехаотический аттрактор) в квазипериодическом отображении окружности. Это следствие все более существенного влияния вращательно-сдвигового воздействия коаксиальных цилиндров на гель.
Бесплатно
