Функциональный анализ и дифференциальные уравнения. Рубрика в журнале - Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика
Статья научная
Рассматриваются дифференциальные уравнения (обобщенные уравнения Абеля), правые части которых являются полиномами степени n большей двух с непрерывными коэффициентами, периодически зависящими от аргумента. Оценками числа периодических решений таких уравнений занимались многие авторы. В настоящей работе предполагается, что коэффициент при старшей степени полинома либо неотрицателен, либо неположителен, а часть коэффициентов равна нулю. В случае нечетного n доказано, что уравнение имеет не более трех периодических решений и анализируется их кратность. В случае четного n и нулевого свободного члена правой части установлено, что уравнение имеет не более четырех периодических решений, и также анализируется кратность этих решений.
Бесплатно
Об одной краевой задаче интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием
Статья научная
В статье с помощью функции гибкой структуры исследуется возможность решения одной краевой задачи интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Бесплатно
Об одном критерии непрерывности оператора Релея-Ритца
Статья научная
В работе рассматривается оператор Релея-Ритца, определенный на множестве пар измеримых функций и равный отношению их модулей, если знаменатель отличен от нуля, и ноль - в противном случае. Исследуется вопрос непрерывности этого оператора относительно сходимости по мере. Показано, что для сходимости значения оператора на последовательности пар к значению на предельной паре функций необходима не только сходимость по мере его аргументов, но и сходимость по мере носителей второго аргумента к носителю его предела.
Бесплатно
Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова
Статья научная
Доказана ошибочность сформулированной В.В. Аксеновым теоремы о возможности представления произвольной соленоидальной векторной функции внутри шара с помощью одной скалярной функции специального вида.
Бесплатно
Обобщенное уравнение Буссинеска и его многомерные точные решения
Статья научная
Изучается нелинейное уравнение в частных производных четвертого порядка. Правая часть уравнения содержит многомерные аналоги уравнения Буссинеска, выражаемые через двукратные операторы Лапласа и квадраты градиентов искомых функций. С помощью специальной конструкции точного решения исходное уравнение в частных производных редуцируется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры построенных точных решений уравнения типа Буссинеска, в том числе выражаемые через эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби по времени и анизотропные по пространственным переменным. Найденные точные решения имеют не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, настройки и верификации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных четвертого порядка, моделирующих гидродинамические процессы и явления.
Бесплатно
Основные краевые задачи теории потенциала
Статья научная
Статья посвящена изучению задачи о наклонной производной, в частности рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре.
Бесплатно
Оценка снизу нормы периодического функционала погрешности
Статья научная
Качество кубатурной формулы зависит от порядка сходимости нормы функционала ошибок. Формула, в зависимости от требуемой точности и сложности интегрируемой функции, считается хорошей, если с увеличением весовых коэффициентов и узлов разбиения уменьшается порядок сходимости нормы функционала ошибок. Действуя в рамках известного функционального подхода, предложенного С. Л. Соболевым, найдена нижняя оценка кубатурной формулы, суть которой заключается в минимизации погрешности формулы через норму соответствующего ей линейного функционала погрешности, действующего на пространстве подынтегральных функций. Построена специальная последовательность функций, определенная в некоторой области анизотропного пространства и имеющая компактный носитель, принадлежащий этой области. С помощью этой последовательности функций, усреднения индикаторной функции области с кусочногладкой границей и, учитывая характеристики специально выбранной экстремальной функции, получена нижняя оценка кубатурных формул.
Бесплатно
Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения
Статья научная
В работе рассматривается нелокальное волновое уравнение с переменным коэффициентом в прямоугольной области. Исследована первая краевая задача в дифференциальной форме, а также метод прямых для решения в разностной форме. Получено решение системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых.
Бесплатно
Статья научная
В статье рассматривается задача автоматического регулирования нелинейной динамической системы с обратной связью - описанная с помощью полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены теоремы существования и единственности решений одного класса полиномиальных уравнений Вольтерра I рода.
Бесплатно
Построение фундаментальной системы решений одного дифференциального уравнения с параметром
Статья научная
Многие физические процессы описываются задачами для эволюционных дифференциальных уравнений. При изучении таких задач большой интерес вызывает поведение их решений при большом времени, поскольку оно показывает, к чему эволюционирует процесс, описываемый задачей. Поведение решений эволюционных задач при большом времени более предпочтительно изучать асимптотическими методами, чем численными, поскольку обычно модуль разности истинного решения и численного решения оценивается сверху через величину, пропорциональную длине интервала, на котором применяется численный метод. Известно, что изучение задач для эволюционных дифференциальных уравнений можно сводить к изучению задач для дифференциальных уравнений с параметром, при этом поведение решений задач для эволюционных уравнений при большом времени будет определяться тем, как зависят решения задач с параметром от параметра. В работе рассматривается одно однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом и комплексным параметром, к изучению которого может быть сведен большой класс задач для эволюционных дифференциальных уравнений. В явном виде построены функции, образующие фундаментальную систему решений рассмотренного уравнения. Полученные представления позволяют прослеживать зависимость построенных функций от пара -метра.
Бесплатно
Решение краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа
Статья научная
Используя новую модификацию функции гибкой структуры, в статье исследуется возможность решения краевых задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.
Бесплатно
Статья научная
Используя функцию гибкой структуры, в статье исследуются возможности решения краевых задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде.
Бесплатно
Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне
Статья научная
В статье решается начально-краевая задача о колебаниях механической системы в виде осциллятора на упругом стержне с закрепленными концами.
Бесплатно
Сравнение числа предельных циклов обобщенных систем Льенара, полученных различными методами
Статья научная
В статье приводятся данные вычислений наибольшего числа малоамплитудных предельных циклов для двух типов обобщенных полиномиальных систем дифференциальных уравнений, формально совпадающих на некотором множестве частных случаев. Первая методика основана на методе усреднения и авторском алгоритме вычисления ляпуновских величин, вторая - заключалась в исследовании влияния малых возмущений на гамильтонову систему. Вопреки ожиданиям, различные методики в некоторых случаях дают несовпадающие результаты.
Бесплатно
Сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса
Статья научная
В этой работе доказывается сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса в целом многомерном евклидовом пространстве в случае, когда коэффицент диффузии стремится к нулю. В частности, доказано, что разность между каждым членом уравнения переноса-диффузии и соответствующим членом уравнения переноса стремится к нулю пропорционально коэффициенту диффузии. Доказательство основывается на сравнении приближенных решений для уравнений переноса-диффузии с приближенными решениями для уравнений переноса. Эти приближенные решения для уравнений переноса-диффузии построены фундаментальным решением уравнения диффузии и переносом на каждом шаге дискретизации по времени, а приближенные решения для уравнений переноса построены переносом на той же дискретизации по времени.
Бесплатно
Уравнения соболевского типа с неизвестной правой частью
Статья научная
Работа посвящена исследованию разрешимости обратных задач нахождения вместе с решением некоторых уравнений соболевского типа также неизвестной правой части (неизвестных внешних источников). Особенностью изучаемых задач является то, что искомая правая часть в них определяется неизвестным множителем, зависящим лишь от пространственных переменных. Ранее подобные задачи для уравнений составного типа изучались для некоторых частных случаев. Метод исследования в работе заключается в переходе от обратной задачи к новой уже прямой задаче для уравнений составного типа. Используется также метод продолжения по параметру (с использованием полученных априорных оценок). В данной работе для изучаемых задач авторы доказывают теоремы существования и единственности регулярных решений. Это решения, имеющие все обобщенные, по С. Л. Соболеву, производные, входящие в уравнение. Описываются некоторые обобщения и усиления полученных результатов
Бесплатно
Статья научная
В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена на концах отрезка и в конечном числе внутренних точек. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.
Бесплатно
