Функциональный анализ и дифференциальные уравнения. Рубрика в журнале - Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика
Статья научная
Рассматриваются дифференциальные уравнения (обобщенные уравнения Абеля), правые части которых являются полиномами степени n большей двух с непрерывными коэффициентами, периодически зависящими от аргумента. Оценками числа периодических решений таких уравнений занимались многие авторы. В настоящей работе предполагается, что коэффициент при старшей степени полинома либо неотрицателен, либо неположителен, а часть коэффициентов равна нулю. В случае нечетного n доказано, что уравнение имеет не более трех периодических решений и анализируется их кратность. В случае четного n и нулевого свободного члена правой части установлено, что уравнение имеет не более четырех периодических решений, и также анализируется кратность этих решений.
Бесплатно
Об одной краевой задаче интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием
Статья научная
В статье с помощью функции гибкой структуры исследуется возможность решения одной краевой задачи интегродифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.
Бесплатно
Об одном критерии непрерывности оператора Релея-Ритца
Статья научная
В работе рассматривается оператор Релея-Ритца, определенный на множестве пар измеримых функций и равный отношению их модулей, если знаменатель отличен от нуля, и ноль - в противном случае. Исследуется вопрос непрерывности этого оператора относительно сходимости по мере. Показано, что для сходимости значения оператора на последовательности пар к значению на предельной паре функций необходима не только сходимость по мере его аргументов, но и сходимость по мере носителей второго аргумента к носителю его предела.
Бесплатно
Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова
Статья научная
Доказана ошибочность сформулированной В.В. Аксеновым теоремы о возможности представления произвольной соленоидальной векторной функции внутри шара с помощью одной скалярной функции специального вида.
Бесплатно
Обобщенное уравнение Буссинеска и его многомерные точные решения
Статья научная
Изучается нелинейное уравнение в частных производных четвертого порядка. Правая часть уравнения содержит многомерные аналоги уравнения Буссинеска, выражаемые через двукратные операторы Лапласа и квадраты градиентов искомых функций. С помощью специальной конструкции точного решения исходное уравнение в частных производных редуцируется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры построенных точных решений уравнения типа Буссинеска, в том числе выражаемые через эллиптические функции Вейерштрасса и Якоби по времени и анизотропные по пространственным переменным. Найденные точные решения имеют не только теоретическое, но и прикладное значение, поскольку их можно использовать для тестирования, настройки и верификации численных методов и алгоритмов построения приближенных решений краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных четвертого порядка, моделирующих гидродинамические процессы и явления.
Бесплатно
Основные краевые задачи теории потенциала
Статья научная
Статья посвящена изучению задачи о наклонной производной, в частности рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре.
Бесплатно
Оценка снизу нормы периодического функционала погрешности
Статья научная
Качество кубатурной формулы зависит от порядка сходимости нормы функционала ошибок. Формула, в зависимости от требуемой точности и сложности интегрируемой функции, считается хорошей, если с увеличением весовых коэффициентов и узлов разбиения уменьшается порядок сходимости нормы функционала ошибок. Действуя в рамках известного функционального подхода, предложенного С. Л. Соболевым, найдена нижняя оценка кубатурной формулы, суть которой заключается в минимизации погрешности формулы через норму соответствующего ей линейного функционала погрешности, действующего на пространстве подынтегральных функций. Построена специальная последовательность функций, определенная в некоторой области анизотропного пространства и имеющая компактный носитель, принадлежащий этой области. С помощью этой последовательности функций, усреднения индикаторной функции области с кусочногладкой границей и, учитывая характеристики специально выбранной экстремальной функции, получена нижняя оценка кубатурных формул.
Бесплатно
Первая краевая задача для неоднородного нелокального волнового уравнения
Статья научная
В работе рассматривается нелокальное волновое уравнение с переменным коэффициентом в прямоугольной области. Исследована первая краевая задача в дифференциальной форме, а также метод прямых для решения в разностной форме. Получено решение системы разностных уравнений с постоянными коэффициентами, возникающих при использовании метода прямых.
Бесплатно
Статья научная
В статье рассматривается задача автоматического регулирования нелинейной динамической системы с обратной связью - описанная с помощью полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены теоремы существования и единственности решений одного класса полиномиальных уравнений Вольтерра I рода.
Бесплатно
Построение фундаментальной системы решений одного дифференциального уравнения с параметром
Статья научная
Многие физические процессы описываются задачами для эволюционных дифференциальных уравнений. При изучении таких задач большой интерес вызывает поведение их решений при большом времени, поскольку оно показывает, к чему эволюционирует процесс, описываемый задачей. Поведение решений эволюционных задач при большом времени более предпочтительно изучать асимптотическими методами, чем численными, поскольку обычно модуль разности истинного решения и численного решения оценивается сверху через величину, пропорциональную длине интервала, на котором применяется численный метод. Известно, что изучение задач для эволюционных дифференциальных уравнений можно сводить к изучению задач для дифференциальных уравнений с параметром, при этом поведение решений задач для эволюционных уравнений при большом времени будет определяться тем, как зависят решения задач с параметром от параметра. В работе рассматривается одно однородное обыкновенное дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом и комплексным параметром, к изучению которого может быть сведен большой класс задач для эволюционных дифференциальных уравнений. В явном виде построены функции, образующие фундаментальную систему решений рассмотренного уравнения. Полученные представления позволяют прослеживать зависимость построенных функций от пара -метра.
Бесплатно
Решение краевых задач дифференциальных уравнений запаздывающего типа
Статья научная
Используя новую модификацию функции гибкой структуры, в статье исследуется возможность решения краевых задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа.
Бесплатно
Статья научная
Используя функцию гибкой структуры, в статье исследуются возможности решения краевых задач для линейных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма с запаздывающим аргументом в замкнутом виде.
Бесплатно
Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне
Статья научная
В статье решается начально-краевая задача о колебаниях механической системы в виде осциллятора на упругом стержне с закрепленными концами.
Бесплатно
Сравнение числа предельных циклов обобщенных систем Льенара, полученных различными методами
Статья научная
В статье приводятся данные вычислений наибольшего числа малоамплитудных предельных циклов для двух типов обобщенных полиномиальных систем дифференциальных уравнений, формально совпадающих на некотором множестве частных случаев. Первая методика основана на методе усреднения и авторском алгоритме вычисления ляпуновских величин, вторая - заключалась в исследовании влияния малых возмущений на гамильтонову систему. Вопреки ожиданиям, различные методики в некоторых случаях дают несовпадающие результаты.
Бесплатно
Сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса
Статья научная
В этой работе доказывается сходимость решения системы уравнений переноса-диффузии к решению системы уравнений переноса в целом многомерном евклидовом пространстве в случае, когда коэффицент диффузии стремится к нулю. В частности, доказано, что разность между каждым членом уравнения переноса-диффузии и соответствующим членом уравнения переноса стремится к нулю пропорционально коэффициенту диффузии. Доказательство основывается на сравнении приближенных решений для уравнений переноса-диффузии с приближенными решениями для уравнений переноса. Эти приближенные решения для уравнений переноса-диффузии построены фундаментальным решением уравнения диффузии и переносом на каждом шаге дискретизации по времени, а приближенные решения для уравнений переноса построены переносом на той же дискретизации по времени.
Бесплатно
Уравнения соболевского типа с неизвестной правой частью
Статья научная
Работа посвящена исследованию разрешимости обратных задач нахождения вместе с решением некоторых уравнений соболевского типа также неизвестной правой части (неизвестных внешних источников). Особенностью изучаемых задач является то, что искомая правая часть в них определяется неизвестным множителем, зависящим лишь от пространственных переменных. Ранее подобные задачи для уравнений составного типа изучались для некоторых частных случаев. Метод исследования в работе заключается в переходе от обратной задачи к новой уже прямой задаче для уравнений составного типа. Используется также метод продолжения по параметру (с использованием полученных априорных оценок). В данной работе для изучаемых задач авторы доказывают теоремы существования и единственности регулярных решений. Это решения, имеющие все обобщенные, по С. Л. Соболеву, производные, входящие в уравнение. Описываются некоторые обобщения и усиления полученных результатов
Бесплатно
Статья научная
В работе рассматриваются линейные функционально-дифференциальные уравнения, определенные на конечном отрезке и являющиеся сингулярными по независимой переменной. Сингулярность сосредоточена на концах отрезка и в конечном числе внутренних точек. Для таких уравнений получены условия нетеровости и фредгольмовости. Также получены эффективные условия разрешимости и однозначной разрешимости.
Бесплатно
Функционал энергии для нелинейной задачи магнитостатики
Статья научная
Исходная краевая задача магнитостатики представляет собой систему квазилинейных уравнений первого порядка для неизвестной векторной функции. Рассмотрен случай, когда за границей рассматриваемой области находится идеальный проводник, что соответствует обращению в нуль нормальной компоненты магнитной индукции на границе. Эта задача с помощью построения решения вспомогательной линейной задачи преобразована в задачу для одного квазилинейного эллиптического уравнения для скалярного потенциала. Рассмотрены только однозначные зависимости магнитной индукции от напряженности магнитного поля, то есть исключен гистерезис. В рамках энергетического метода доказано существование и единственность обобщенного решения задачи для потенциала. Такое решение позволяет построить являющееся решением исходной задачи магнитное поле, обладающее конечной энергией. Предложенный и обоснованный принцип минимума фукционала энергии целесообразно использовать при численном решении задач магнитостатики, поскольку он позволяет строить вариационно-разностные схемы, используя стандартные аппроксимирующие функции, например, кусочно-линейные.
Бесплатно
Экстремальная задача Майлза-Шиа для мероморфных функций, определяемых модельной функцией роста
Статья научная
Более сотни лет известна связь теории рядов Фурье с комплексным анализом, поскольку степенной ряд, рассматриваемый на окружности, представляется тригонометрическим рядом. Исследование связи между граничным поведением аналитических и субгармонических функций, с одной стороны, и рядами Фурье - с другой, привело к глубоким результатам в обеих теориях. Начиная с 60-х годов прошлого столетия в работах американских математиков Л. Рубела и Б. Тейлора начал применяться метод изучения асимптотического поведения целых и мероморфных функций, основанный на ряде Фурье для логарифма модуля мероморфной функции. Одним из преимуществ этого метода является то, что он позволяет исследовать функции с нерегулярным ростом на бесконечности и функции бесконечного порядка. Кроме того, поскольку коэффициенты Фурье выражаются через нули и полюсы мероморфной функции, то с их помощью можно изучать распределение нулей и полюсов. Одним из направлений этой теории есть нахождение наилучших оценок сверху и снизу верхних и нижних пределов отношений неванлинновских характеристик. Такие оценки были получены в конце прошлого века в совместной работе Майлза и Шиа. В настоящей работе мы распространяем некоторые результаты из работы Майлза и Шиа на классы мероморфных функций, определяемых модельной функцией роста.
Бесплатно
