Математическое моделирование. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование
Статья научная
В данной работе представлены априорные оценки точности решения однородной краевой задачи для эллиптического уравнения методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках. Для аппроксимации исходного эллиптического уравнения с известными начально-краевыми условиями методом Галеркина с разрывными базисными функциями, необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные переменные, представляющие собой компоненты потока искомой величины. Характерной особенностью метода является нахождение вспомогательных переменных на ячейках двойственной сетки. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов и является сопряженной к основной неструктурированной треугольной сетке. Численные потоки на границе между элементами находятся с использованием стабилизирующих добавок. Для стабилизирующего параметра порядка порядка 1 показано, что порядок сходимости будет k+1/2, а в случае использования стабилизирующего параметра порядка h-1 порядок сходимости увеличивается до k+1, когда в качестве базиса используются полиномы степени не ниже k.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается некоторый класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами. Дифференциальные уравнения такого типа возникают при изучении колебаний «перевернутого маятника», точка подвеса которого совершает произвольные периодические колебания. Установлены условия, при которых нулевое решение асимптотически устойчиво. Указаны оценки области притяжения нулевого решения и получены оценки скорости убывания решений на бесконечности. При получении результатов используется критерий асимптотической устойчивости нулевого решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Критерий формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи на отрезке для дифференциального уравнения Ляпунова. Оценки области притяжения нулевого решения и оценки скорости убывания решений на бесконечности указываются с использованием нормы решения этой краевой задачи.
Бесплатно
Бифуркационный анализ задачи капиллярности с круговой симметрией
Статья научная
В нелинейной постановке достаточно хорошо изучены равновесные устойчивые и неустойчивые формы малых капель в поле силы тяжести. Эти формы являются решениями известного уравнения капиллярности и находятся итерационными методами в виде рядов. Если размер капли достаточно большой, или изнутри на нее воздействует потенциал, то нарушается сходимость приближенных решений. При этом полученные решения начинают противоречить физическим экспериментам. Разрешимость капиллярного уравнения доказана Н.Н. Уральцевой. При воздействии потенциала происходят перестройки поверхности. Описание особых состояний поверхности с помощью уравнения капиллярности осложнено структурой этого и соответствующего линеаризованного уравнений. С другой стороны, задача капиллярности вариационная. Основным слагаемым энергетического функционала является функционал площади, который исследовался в работах А.Т. Фоменко, А.Ю. Борисовича, Л.В. Стенюхина в связи с задачей о минимальных поверхностях. Исследованию экстремалей подобных нелинейных функционалов в банаховых и гильбертовых пространствах посвящены работы Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, С.Л. Царева, Г.А. Свиридюка и других математиков. В результате, в настоящей работе получены достаточные условия существования особых решений задачи капиллярности при воздействии внешнего потенциала в терминах вариационности задачи и нормального расслоения возмущений. Приведен пример, в котором построена новая редукция капиллярного уравнения вблизи центра симметрии капли. Найдены критические значения параметра, зависящего от числа Бонда, установлена аналитическая форма решения.
Бесплатно
Статья научная
В данной работе представлен анализ численного исследования взаимодействия сферических ударных волн с гетерогенным слоем, расположенным на плоской поверхности. Газовая фаза в гетерогенном слое является химически активной и моделирует состав газообразных продуктов пиролиза лесных горючих материалов. Конденсированная фаза гетерогенного слоя представлена в виде неподвижной решетки, узлами которой являются твердые частицы. Численное моделирование проводилось с разделением расчета химических и газодинамических процессов, обусловленное разным временем их протекания. В силу того, что рассматривается модельная задача, состав газообразных продуктов пиролиза лесных горючих материалов был взят в упрощенном виде. Полученные результаты показали: учет химического превращения в газовой фазе приводит к увеличению скорости и интенсивности ударной волны, распространяющейся по гетерогенному слою. Кроме того, учет энерговыделения в газовой фазе за счет химического превращения приводит к увеличению размера предвестника, соединяющего головной фронт ударной волны и часть ударной волны, движущейся внутри слоя.
Бесплатно
Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией
Статья научная
Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцхью - Нагумо. Пространственная переменная изменяется в произвольной m-мерной ограниченной области, рассматриваются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия. Получены явные асимптотические представления пространственно-временных структур, которые образуются вследствие колебательной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова - Шмидта выведены формулы для общего члена разложения автоколебаний. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий общий член асимптотики вторичного решения представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаю одной пространственной переменной, когда вторичные решения обладают дополнительными симметриями. Если на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражение для n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций оператора Лапласа с нечетными индексами не выше n. Если на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражения n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций с индексами не выше (n+1)/2.
Бесплатно
Временная динамика индекса Хирша
Статья научная
Проведен анализ информации из базы данных Scopus о временной зависимости индекса Хирша (h-индекса) и его модификации h5(2015)-индекса группы продолжительно и стабильно работающих ученых. Обнаружено, что характер изменения со временем h5(2015)-индекса близок к сигмоидальному. Предложена модель, описывающая динамику индекса Хирша. Модель учитывает: 1) изменение публикационной активности ученого - предполагается сигмоидальный рост числа публикаций на начальной стадии научной карьеры; 2) распределение статей по числу цитирований; 3) динамику цитирования каждой конкретной статьи (принято во внимание, что в типичном случае число цитирований сначала возрастает, а затем плавно убывает). Исследована динамика индекса Хирша в зависимости от средней продуктивности (числа публикуемых в течение года статей). Использованы два вида распределения числа статей по числу цитирований: распределение Лотки и геометрическое распределение. Оба модельных распределения приводят к качественно верной временной динамике индекса Хирша.
Бесплатно
Статья научная
Предложен эффективный вычислительный алгоритм для решения краевых задач оптимального быстродействия и оптимальной точности при минимаксной оценке отклонения результирующей траектории от заданного конечного состояния. Задача сводится к невыпуклой задаче нелинейного программирования. Предложенный алгоритм учитывает невыпуклый характер поставленной задачи нелинейного программирования, обеспечивает поиск в зоне "оврагов" и достаточно эффективно выполняет поиск в условиях повышенной размерности области определения оптимизируемого функционала, обеспечивая требуемую точность решения. За счет преобразования многомерной невыпуклой задачи нелинейного программирования к задаче минимизации гладкой монотонно убывающей функции одного переменного алгоритм существенно снижает вычислительную сложность решения краевых задач оптимального быстродействия и оптимальной точности при минимаксной оценке отклонения результирующей траектории от заданного конечного состояния. Приведен пример решения тестовой задачи оптимального управления индукционным нагревом цилиндра.
Бесплатно
Статья научная
Аналитически решена задача о гидродинамическом начальном участке изотермического напорного ламинарного течения ньютоновской жидкости в горизонтальном плоском пористом канале полубесконечной длины, сформулированной в начально-краевой постановке для уравнения Дарси - Бринкмана с частичным учетом конвективной составляющей при условии зависимости давления только от аксиальной координаты. Для канала без пористой матрицы результаты коррелируют с классическими данными. Предложено в явном виде соотношение для расчета длины гидродинамического начального участка, не противоречащее результатам, основанным на макроскопических погранслойных представлениях.
Бесплатно
Гладкие модели биологических популяций
Статья научная
Предложен метод построения моделей, выражающих численность биологических популяций, на основе временных рядов. На первом этапе строится сглаженный набор эмпирических данных, который отражает общие черты реального временного ряда. Это достигается посредством построения оптимизационного сплайна - кусочно-полиномиальной функции, имеющей минимальное отклонение от эмпирических данных по методу наименьших квадратов. Далее строится система дифференциальных уравнений, правая часть которой имеет наименьшее отклонение по методу наименьших квадратов от производной оптимизационного сплайна на некоторой более частой сетке. Решение задачи Коши для построенной системы на тестовом промежутке времени берется в качестве прогноза модели. Метод применяется к конкретным временным рядам, делается оценка погрешности прогноза, исследуется зависимость погрешности от параметров метода. Кроме того метод применяется к искусственному временному ряду, содержащему случайные возмущения. Исследуется зависимость погрешности прогноза от величины возмущения.
Бесплатно
Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера - Сидорова и аддитивными шумами
Статья научная
Концепция белого шума, первоначально построенная в конечномерных пространствах, переносится в бесконечномерные пространства. Цель переноса - развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений, имеющих практическую значимость. Для достижения цели вводится производная Нельсона - Гликлиха и строятся пространства шумов. Уравнения соболевского типа с относительно-ограниченными операторами рассматриваются в пространствах дифференцируемых "шумов", причем доказывается существование и единственность их классических решений. В качестве приложения рассматривается стохастическое уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной в ограниченной области с однородным граничным условием Дирихле и начальным условием Шоуолтера - Сидорова.
Бесплатно
Дифракция волновых процессов газовзвесей
Статья научная
В работе дан обзор численных исследований по взаимодействию ударных волн и волн гетерогенной детонации Чепмена - Жуге, а также ячеистой детонации в смеси алюминиевых частиц и кислорода, выполненных в основном в ИТПМ СО РАН. Для инертных смесей получены аналитические критерии переходов регулярных типов отражения ударных волн к нерегулярным. Рассмотрены переходы детонационных течений из узкой части канала в неограниченное в поперечном направлении пространство, а также и в канал с большей, но конечной шириной. Определены три типа течения: - докритическое (срыв детонации), - критическое (срыв с последующей реинициацией) и - сверхкритическое (непрерывное распространение детонации). В плоскости (радиус частиц - ширина узкой части канала) построена карта решений, определяющая тип соответствующего детонационного течения.
Бесплатно
Задача оптимального измерения с учетом резонансов: алгоритм программы и вычислительный эксперимент
Статья научная
В статье описана программа, реализующая алгоритм численного метода решения задачи оптимального измерения с учетом резонансов - задачи восстановления динамически искаженного сигнала с учетом инерционности измерительного устройства и его механических резонансов, решаемой с использованием методов теории оптимального управления. Основной идеей алгоритма численного решения является представление компонент измерения тригонометрическими полиномами, которое позволяет свести задачу оптимального управления к задаче выпуклого программирования относительно неизвестных коэффициентов многочленов. Использование стандартных методов, например, градиентных, при решении задачи выпуклого программирования, в силу сложности функционала качества, приводит к неудовлетворительным результатам. Поэтому предлагается иной, более простой метод, который вместе с тем более трудоемок. В статье представлен ряд решений, позволяющих повысить скорость вычислений, блок-схема основной процедуры программы, написанной на языке С++. Для конкретной модели датчика приводятся результаты вычислительного эксперимента.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается линеаризованная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка. На основе теории относительно р-секториальных операторов и вырожденных полугрупп операторов доказана теорема существования единственного решения задачи Коши-Дирихле для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных, и получено описание расширенного фазового пространства указанной задачи.
Бесплатно
Статья научная
Статья посвящена моделированию процессов эвтрофирования мелководного водоема с использованием математической модели биологической кинетики, которая базируется на системе нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции с нелинейными членами. Данная система учитывает такие составляющие, как разложение детрита, гравитационное оседание примесей, микротурбулентную диффузию, движение водного потока. Изучение продукционно-деструкционных явлений и процессов в мелководном водоeме осуществляется путем введения в математическую модель скорости роста фитопланктона и бактерий. Также есть возможность контроля динамики процессов биологической кинетики при достаточно малом притоке соединений серы и биогенных веществ. Проведена линеаризация непрерывной задачи и построен дискретный аналог на базе расщепления исходной трехмерной задачи на двумерную и одномерную. На увеличение точности моделирования исследуемых явлений и процессов повлияло применение линейной комбинации схем "кабаре" и "крест" для построения дискретной двумерной модели. В статье приведены результаты диагностического моделирования процессов возникновения сероводородного заражения, изучаются процессы самоочищения мелководного водоема. Разработанная математическая модель и ее численная реализация соответствуют современным представлениям о функционировании гидробиоценоза мелководного водоeма.
Бесплатно
Статья научная
Уравнение леонтьевского типа с белым шумом мы понимаем как выражение Lξ(t) = Mξ(t)+w(t), где L - вырожденная матрица n x n, M - невырожденная матрица n x n, ξ(t) - искомый случайный процесс и w(t) - белый шум. Поскольку производная ξ(t) и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию два приема: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению Lξ(t) = M ∫ t 0 Ç(s)ds + w(t), где w(t) - винеровский процесс, и затем используем для описания решений этого уравнения так называемые производные в среднем от случайных процессов по Нельсону, которые вводятся без привлечения обобщенных функций. Этим способом получены формулы для решений уравнений леонтьевского типа с белым шумом.
Бесплатно
Исследование динамического взаимодействия твердых тел методами математического моделирования
Статья научная
Высокоскоростное ударное нагружение твердых тел находит широкое применение в технике, промышленности, военном деле. При рассмотрении данного процесса главной задачей является изучение степени разрушения и фрагментации взаимодействующих твердых тел на основе расчета и анализа напряженно-деформированного состояния. Основными прикладными задачами исследований являются: разрушение и фрагментация преграды, вид разрушения, процессы откольного разрушения, величины перегрузок, интегральные силы сопротивления внедрению, конечные глубины проникновения, скорости при сквозном разрушении твердых тел, исследования влияния армирования на процессы разрушения, конфигурации зоны ударного взаимодействия, движения твердого тела в преграде и запреградном пространстве. Анализ экспериментальных данных показывает, что с изменением параметров ударяющего тела и свойств преграды, существенно меняются механизмы разрушения. Поэтому моделирование данных процессов является весьма актуальной задачей. Моделирование процессов проникновения и разрушения, как правило, выполняется, вследствие их сложности и взаимосвязанности, численными методами, методом конечных элементов и методом гладких (сглаженных) частиц. В работе описывается методология процессов взаимодействия снаряда с преградой. Математическая модель взаимодействия включает в себя законы сохранения массы, импульса и энергии, уравнения состояния вещества, модели напряженно-деформируемых состояний материалов. Численная модель основывается на аппроксимации основных законов сохранения явными уравнениями Эйлера. Взаимодействующие тела рассматриваются как совокупность частиц, обладающих определенными физико-механическими свойствами. Данная модель получила название метода сглаженных частиц SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) и широко используется при интенсивном динамическом нагружении тел, когда имеет место существенное изменение топологии моделируемых объектов. Приводятся результаты моделирования твердых тел.
Бесплатно
Исследование разрешимости слабо-нелинейных дифференциально-алгебраических систем
Статья научная
В работе рассматриваются системы дифференциально-алгебраических уравнений с выделенной линейной частью и малым нелинейным слагаемым. Такие уравнения ниже называются слабо-нелинейными. Матрицы коэффициентов линейной части могут быть прямоугольными. Дополнительно предполагается, что решение удовлетворяет краевым условиям достаточно общего вида. Основным предположением относительно линейной части является возможность приведения ее к некоторому каноническому виду, введеного в работах В.Ф. Чистякова. Применяя специальную технику, исследование исходной краевой задачи сводится к изучению оператора, который при достаточно малом значении параметра, при нелинейном члене является сжимающим. В рамках сделанных исходных предположений получены необходимые и достаточные условия существования решений слабо-нелинейных дифференциально-алгебраических систем.
Бесплатно
Исследование точности оценки систематических ошибок по азимуту для системы РЛС
Статья научная
Изучается задача оценивания систематических ошибок РЛС по азимуту в случае, когда имеется несколько РЛС, одновременно наблюдающих за движением воздушного судна (ВС). В такой ситуации возможно восстановление ошибок по результатам наблюдения за траекторией в течение некоторого промежутка времени. Рассматривается наиболее простой случай, когда движение ВС близко к прямолинейному равномерному и происходит на достаточно большом удалении от всех РЛС. В этих предположениях разумной является линеаризация соотношений, определяющих наблюдение. В результате приходим к линейной постановке задачи оценивания неизвестных параметров систематических ошибок РЛС по азимуту. Предлагается подход к исследованию точности оценивания в зависимости от взаимного геометрического расположения системы РЛС и области наблюдения, в которой происходит полет ВС. Получены несложные и естественные условия на моменты измерений, при выполнении которых матрица ковариаций ошибок оценивания принимает простой вид. Показано, что при приближенном выполнения условий можно пользоваться упрощенной матрицей ковариаций.
Бесплатно
Статья научная
В теории распознавания образов важное значение имеет задача сильной отделимости, заключающаяся в разделении двух выпуклых непересекающихся многогранников слоем наибольшей толщины. В работе рассматриваются нестационарные задачи сильной отделимости, то есть задачи, исходные данные которых меняются в ходе вычислительного процесса. Алгоритмы решения таких задач должны обладать двумя свойствами: автокорректируемостью и устойчивостью. Автокорректируемость подразумевает, что алгоритм может эффективно продолжать свою работу после единичного изменения входных данных. Устойчивость означает, что малое изменение входных данных приводит к малому изменению результата. Свойством автокорректируемости обладают итерационные алгоритмы, использующие фейеровские процессы. В статье описывается параллельный алгоритм решения задачи сильной отделимости на базе фейеровских отображений, допускающий эффективную реализацию на многопроцессорных системах с массовым параллелизмом. Вводится понятие устойчиво фейеровского отображения. Доказывается теорема, определяющая условия, при которых фейеровское отображение будет устойчиво фейеровским.
Бесплатно
Итерационные алгоритмы ньютоновского типа и их приложения к обратной задаче гравиметрии
Статья научная
В статье представлен краткий обзор подходов к построению итерационных процессов ньютоновского и градиентного типов для устойчивой аппроксимации решений нелинейных нерегулярных операторных уравнений в гильбертовых пространствах. Для двухэтапного алгоритма, основанного на схеме регуляризации Лаврентьева и модифицированном методе Ньютона, формулируются теоремы сходимости и обсуждаются результаты численного решения трехмерной обратной задачи гравиметрии для модели двухслойной среды.
Бесплатно
