Математическое моделирование. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование
Статья научная
В работе приведена математическая модель для описания теплового объекта при охлаждении в агрегатах зонального типа. Введенные допущения для математической модели позволили выполнить абстрагирование реального объекта к упрощенной форме в виде бесконечного прямоугольного параллелепипеда с динамически изменяющимися граничными условиями третьего рода. Отличительными особенностями модели является описание скоростной компоненты движения фиксированного поперечного сечения в заданный момент времени и функции, задающей значение коэффициента теплоотдачи с поверхности тела в виде временных рядов с переменной структурой. Представлены функциональная схема разработанного программного продукта для проведения вычислительного эксперимента на основе построенной математической модели для исследования поведения температурного поля тела. Выявлено, что изменение скоростной компоненты, связанной с выбором режимов охлаждения, приводит к температурным колебаниям в слоях тела, залегающих на глубине не более 1 см от его поверхностей. Предлагаемая математическая модель может быть использована в автоматизированных системах управления производства непрерывно-литых заготовок при корректировке управления в локальном контуре скорости вытягивания для получения заданного качества продукции.
Бесплатно
Моделирование эволюции распределения коллоидных частиц и профиля пленки при испарении под диском
Статья научная
В работе предлагается модель для расчета распределения объемной плотности растворенных сферических частиц и профиля поверхности высыхающей на горизонтальной подложке пленки коллоидного раствора, над которой располагается диск, ограничивающий испарение. Модель базируется на приближении The Lubrication approximation уравнения Навье-Стокса, законе сохранения растворителя и уравнении конвекции-диффузии. По мере высыхания пленки в тех областях, где объемная доля частиц достигает определенного значения, появляется твердая фаза, сохраняющая форму. В модели принято, что область твердой фазы ограничивает внутренние гидродинамические потоки и поток испарения с поверхности. В жидкой фазе вязкость раствора и коэффициент диффузии растворенных частиц зависят от объемной плотности этих частиц. Плотность потока пара с поверхности пленки при наличии над ней диска определяется путем численного решения уравнения Лапласа для концентрации пара в пространстве, окружающем пленку. Расчет модели показывает, что высыхание пленки происходит неравномерно. На первом этапе испарения пленка вне диска быстро затвердевает, формируя на подложке слой твердого осадка одинаковой толщины. При этом в области под диском раствор остается жидким, течения выносят твердые частицы к краю области. При дальнейшем испарении формируется профиль пленки под диском, где после полного затвердевания в слое твердого осадка наблюдается впадина.
Бесплатно
Модель конкуренции технологий за лимитирующие ресурсы
Статья научная
Построена и исследована математическая модель развития технологий в борьбе за потребление общих производственных ресурсов. Модель основана на принципах эволюционной экономики и представляет собой систему уравнений "потребитель-ресурс". Потребителями выступают однородные популяции фирм, применяющих одну и ту же технологию. Выпуск фирм характеризуется производственной функцией с взаимодополняющими факторами. Технология может расти за счет создания новых фирм с удельной скоростью, пропорциональной выпуску, и уменьшаться вследствие разорения фирм. Потребляемые ресурсы поступают в отрасль извне; неиспользованные ресурсы покидают отрасль. Чем ниже минимальная потребность технологии в данном ресурсе, тем выше ее конкурентоспособность по отношению к этому ресурсу. Получены условия сосуществования технологий, согласно которым каждый конкурент должен превосходить остальных по эффективности использования одного ресурса и уступать им по эффективности использования прочих ресурсов. Показано существование двух принципиально различных механизмов естественного отбора доминирующей технологии: по селекционной ценности и по начальным условиям. Исследована принципиальная возможность регуляции технологического разнообразия отрасли путем воздействия на скорости поступления ресурсов.
Бесплатно
Модель стимулирующей заработной платы как задача оптимального управления
Статья научная
Рассматривается модель отлынивания от труда ( shirking model), в которой определяется профиль индивидуальной заработной платы работника в зависимости от стажа, являющийся стимулирующим условием для увеличения производительности труда работника и продолжительности занятости. В модель стимулирующей заработной платы добавлены предположения, позволяющие привести модель к неклассической задаче вариационного исчисления или линейной задаче оптимального управления. Доказаны критерий непустоты допустимого множества и теорема о существовании решения вариационной задачи. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности. Приведен алгоритм решения задачи. Представлены результаты численного моделирования.
Бесплатно
Модификация метода крупных частиц для исследования течений газовзвесей
Статья научная
В данной работе приводится модификация метода крупных частиц в приложении к исследованиям течений газовзвесей. Показано, что предложенная модификация метода крупных частиц позволяет проводить расчеты поведения ударных волн в газовзвесях без введения в явном виде искусственной вязкости. Это позволило избежать искажения физической картины течения газовзвеси, связанной с наличием осцилляций, имеющих место при распространении ударных волн в неоднородных средах. В данной работе было установлено, что для проведения расчетов распространения ударных волн в газовзвесях с большими числами Куранта может быть использована явная модификация метода крупных частиц. Это позволило значительно сократить время расчета задачи и избежать проведения сложных итерационных процедур, присущих неявным разностным схемам. Было показано, что предложенная в данной работе модификация метода крупных частиц является эффективной и позволяет проводить расчеты даже сильных ударных волн в газовзвесях.
Бесплатно
Модификация метода крупных частиц для решения задач распространения ударных волн и волн разрежения
Статья научная
В данной работе предложена модификация метода крупных частиц. Проведен численный анализ различных модификаций метода крупных частиц применительно к задачам волновой динамики (газовой динамики). Решены задачи расчета распада произвольного разрыва, а также задачи о распространении стационарных ударных волн с отражением от жесткой стенки. Было показано, что предложенная модификация метода крупных частиц наилучшим образом совпадает с аналитическим решением задачи об отражении плоской ударной волны от жесткой стенки. Проведенный численный анализ показал, что данная модификация позволяет проводить устойчивые расчеты течений с большими градиентами изменения параметров. Значительным достоинством предложенной модификации является тот факт, что рассмотренные в работе задачи могут быть решены без введения в законы сохранения "искусственной" вязкости, а также при больших числах Куранта.
Бесплатно
Статья научная
С помощью модифицированного метода Галеркина доказывается однозначная регулярная разрешимость краевой задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Теория таких уравнений исходит из прикладных задач, в частности, трансзвуковой газовой динамики. Исследование проведено для случаев, когда вблизи нижнего основания цилиндрической области уравнение имеет эллиптический тип, а вблизи верхнего основания цилиндра - гиперболический или эллиптический тип. В последнем случае разрешимость этой краевой задачи ранее была изучена авторами с помощью другой методики, там впервые была сформулирована ее постановка. Кроме того, в настоящей работе получена оценка погрешности приближенных решений краевой задачи относительно точного решения через параметр регуляризации и собственные значения спектральной задачи Дирихле для уравнения Лапласа.
Бесплатно
Молекулярно-динамическое исследование формирования границы раздела между металлическими нанопленками
Статья научная
В настоящее время изучение совокупности механизмов, ответственных за формирование наноструктур на подложке при осаждении металлов из пучка или из газовой фазы, не завершено. Для выявления этих механизмов необходимы методы исследования процессов на атомарном уровне, среди которых одним из самых мощных является метод молекулярной динамики, что обусловливает его актуальность при решении данной задачи. В работе исследуется влияние ориентации и температуры подложки на формирование границы раздела Ag/Cu.
Бесплатно
Нахождение значений первых собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром
Статья научная
В работе получены аналитические формулы для нахождения перых «взвешенных» поправок теории возмущений возмущенных самосопряженных операторов в случае, когда собственные значения невозмущенных операторов простые. Получены оценки остатков сумм функциональных рядов Рэлея-Шредингера. Разработан метод нахождения значений собственных функций возмущенных дискретных операторов с простым спектром.
Бесплатно
Статья научная
В работе получены аналитические формулы для вычисления первых четырех поправок теории возмущений дискретных полуограниченных снизу операторов, когда собственные значения невозмущенных операторов имеют произвольную кратность.
Бесплатно
Начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява
Статья научная
Рассматривается начально-конечная задача для неоднородного уравнения Буссинеска - Лява. Проводится редукция к абстрактной начально-конечной задаче для уравнения соболевского типа второго порядка. Получены достаточные условия для однозначной разрешимости исходной и абстрактной задач.
Бесплатно
Статья научная
Объектом исследования в работе являются нелинейные обратные коэффициентные задачи для нестационарных дифференциальных уравнений высокого порядка типа псевдогиперболических. Более точно, изучаются задачи определения вместе с решением соответствующего уравнения также неизвестного коэффициента при решении или же при производной решения по временной переменной. Отличительной особенностью рассматриваемых задач является то, что неизвестный коэффициент является функцией лишь от времени. В качестве дополнительного условия в работе используется условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования регулярных (имеющих все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение) решений. Техника доказательства основана на переходе от исходной обратной задачи к новой, уже прямой, задаче для вспомогательного интегро-дифференциального уравнения, доказательстве ее разрешимости и построении по решению вспомогательной задачи решения исходной обратной задачи.
Бесплатно
Нелинейный метод проекционной регуляризации
Статья научная
В статье рассмотрен метод проекционной регуляризации, в котором параметр регуляризации выбран из принципа невязки. Получена оценка погрешности этого метода на классе корректности Мг.
Бесплатно
Новые гиперболические модели многокомпонентных гетерогенных сред
Статья научная
Разработка математически корректных и физически непротиворечивых моделей много-фазных сред является актуальной задачей, поскольку не все существующие к настоящему времени модели гетерогенных сред являются таковыми. В данной работе для многокомпонентной среды предлагаются две новые модели - в одно- и многоскоростном приближениях. Модели основаны на законах сохранения. Учитываются вязкие и теплопроводящие свойства смеси. Для приведенных моделей строятся автомодельные решения типа бегущей волны. На примере бинарной смеси расчеты, произведенные в одно- и многоскоростном приближениях. Показывается, что при использовании релаксационных законов для диссипативных процессов системы уравнений относятся к гиперболическому типу.
Бесплатно
О декомпозиции разностных схем при численном решении дифференциально-алгебраических уравнений
Статья научная
Рассматриваются квазилинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), с тождественно вырожденной матрицей перед производной искомой вектор-функции и разностные схемы, применяемые для их решения. В работе обсуждаются условия, обеспечивающие на каждом шаге вычислительного процесса возможность последовательного решения алгебраических (конечных) уравнений и подстановки этих решений в уравнения динамики. Приведены результаты численных экспериментов для систем ОДУ, описывающих прямоточную котельную установку.
Бесплатно
О дискретизации линейных дифференциальных уравнений
Статья научная
Рассмотрены некоторые вопросы получения дискретного описания дифференциальной системы (ДС) на равномерной сетке. Рассматриваются ДС в виде системы n линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами или одно уравнение n-го порядка для наблюдаемого функционала состояния ДС. Изучаемые вопросы дискретизации важны для задач вариационной идентификации и аппроксимации динамических процессов моделями этого типа в конечном интервале. Дано сравнение аналитического равномерного (на основе теоремы Гамильтона-Кэли) и локальных методов дискретизации: на основе разделенных разностей и с помощью интерполяции выборок из n +1 отсчетов многочленами Тейлора степени n. Получена общая формула локальной дискретизации, прозволяющая сравнивать ее разностный и интерполяционные методы. Показано с использованием свойств обратных матриц Вандермонда, что в полученной общей формуле локальной дискретизации ее интерполяционному методу соответствуют (n + 1)-матрицы Тейлора (из коэффициентов многочленов Тейлора), а разностному — (n + 1)-матрицы Паскаля (из чисел треугольников Паскаля). Показано, что невырожденность матрицы наблюдаемости ДС на сетке есть необходимое и достаточное условие как для аналитической дискретизируемости, так и для приведения дискретной системы (описания ДС сетке) к каноническому фробениусовскому виду. Он эквивалентен одному обыкновенному разностному уравнению для наблюдаемой переменной с постоянными коэффициентами. Это уравнение есть основа известного вариационного метода идентификации. Показано, что интерполяционный метод локальной дискретизации есть первое (линейное) приближение формулы равномерной аналитической дискретизации. Показано, что нулевое приближение ее не зависит от коэфффициентов ДС и есть вектор коэффициентов n-й разности. Показано также, что нулевое приближение матрицы наблюдаемости ДС н и матрицы наблюдамости полиномиальной системы y (n) =0 на сетке есть n-матрица Тейлора.
Бесплатно
О задаче минимальной реализации
Статья научная
Предполагается, что для линейной конечномерной стационарной динамической системы с дискретным временем известна степень МакМиллана и конечная последовательность ее марковскиx параметров , . Рассматриваются задачи восстановления по этим данным переходной матрицы-функции системы, минимальных индексов и взаимно простых дробных факторизаций , минимальных решений соответствующих уравнений Безу, минимальной реализации . Для каждой из них существует отдельный алгоритм решения. В данной работе предлагается единый подход к исследованию этих проблем. Он основан на методе индексов и существенных многочленов конечной последовательности матриц. Этот метод был ранее разработан для явного решения задачи факторизации Винера - Хопфа мероморфных матриц-функций. Показано, что решение всех вышеуказанных задач может быть получено, как только будут найдены индексы и существенные многочлены последовательности . Вычисление индексов и существенных многочленов можно осуществить средствами линейной алгебры. Для матриц с элементами из поля рациональных чисел алгоритм реализован в среде Maple в виде процедуры ExactEssPoly.
Бесплатно
О качественном анализе семейства дифференциальных уравнений с первыми интегралами выше 2-й степени
Статья научная
Исследуется семейство дифференциальных уравнений, возникшее в результате обобщения классических интегрируемых случаев динамики твердого тела. Исследуемая система допускает полиномиальные первые интегралы 4 и 6 степени. При определенных ограничениях на параметры семейства дифференциальные уравнения интерпретируются как уравнения движения твердого тела в центральном поле сил, идеальной жидкости, электрически заряженного тела. Проводится качественный анализ уравнений: находятся особые инвариантные множества различной размерности и исследуется их устойчивость по Ляпунову. Для анализа задачи используются обобщения метода Рауса - Ляпунова и программные средства компьютерной алгебры.
Бесплатно
О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения
Статья научная
В работе устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами, частным случаем которого является классическое телеграфное уравнение. Установление корректной разрешимости математических задач является одним из основных условий при их численной реализации. Как известно, для классического телеграфного уравнения решение задачи Коши находится в классе дважды непрервно дифференцируемой функции и с помощью метода Римана выписывается в явном виде. Однако, при этом вопрос устойчивости решения в зависимости от начальных данных, требующий использования соответствующих метрических пространств в этих работах не обсуждается. Между тем этот вопрос является наиболее важным при корректной численной реализации решения задачи, когда его существование и единственность доказаны. В настоящей заметке методами теории полугрупп линейных преобразований, устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши в пространствах функций интегрируемых с экспоненциальным весом для некоторого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Получено точное решение задачи Коши и указаны условия на коэффициенты, при которых задача раномерно корректна в некоторых функциональных пространствах. Следствием из этих результатов является равномерная корректность задачи Коши для классического телеграфного уравнения с постоянными коэффициентами.
Бесплатно
О корректной разрешимости некоторых задач фильтрации в пористой среде
Статья научная
В работе методом теории полугрупп линейных преобразований устанавливается равномерно корректная разрешимость начально-краевых задач для одного класса интегрально-дифференциальных уравнений, рассматриваемых в ограниченной и полуограниченной областях, которые описывают процессы нестационарной фильтрации сжимающей жидкости в пористой среде. Частный случай таких уравнений на полубесконечной прямой с условием Дирихле на границе рассматривался в работе Ю.И. Бабенко. В этой работе требовалось найти градиент давления на границе области. Здесь ответ получен формальным применением дробного интегро-дифференцирования, не затрагивая вопроса о корректной разрешимости и устойчивости решения к погрешностям по исходным данным. При этом решение задачи представляется в виде формального ряда с неограниченным оператором, сходимость которого также не обсуждается. Метод теории сильно непрерывных полугрупп преобразований позволяет установить равномерно корректную разрешимость задач Дирихле и Неймана как для конечных так и бесконечных областей. Это дает возможность в случае задачи Дирихле корректно вычислить градиент давления на границе и значение решения на границе в случае условий Неймана. Здесь же доказана устойчивость решения по начальным данным.
Бесплатно
