Математическое моделирование. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование
Анизотропные решения нелинейной кинетической модели эллиптического типа
Статья научная
Рассматривается нелинейная кинетическая модель, описываемая системой двух уравнений эллиптического типа с экспоненциальными нелинейностями. Предлагается строить точные решения указанной математической модели в классе логарифмов от квадратичных функций пространственных переменных. Коэффициенты решений модели находятся из систем квадратных матричных и линейных векторных уравнений. Предложенный подход применяется, в частности, для построения анизотропных решений уравнения Лиувилля, часто используемого в качестве математической модели стационарных распределений в физике плазмы. Приводится ряд примеров, иллюстрирующих полученные результаты.
Бесплатно
Статья научная
В данной работе представлены априорные оценки точности решения однородной краевой задачи для эллиптического уравнения методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках. Для аппроксимации исходного эллиптического уравнения с известными начально-краевыми условиями методом Галеркина с разрывными базисными функциями, необходимо преобразовать его к системе дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этого вводятся вспомогательные переменные, представляющие собой компоненты потока искомой величины. Характерной особенностью метода является нахождение вспомогательных переменных на ячейках двойственной сетки. Двойственная сетка состоит из медианных контрольных объемов и является сопряженной к основной неструктурированной треугольной сетке. Численные потоки на границе между элементами находятся с использованием стабилизирующих добавок. Для стабилизирующего параметра порядка порядка 1 показано, что порядок сходимости будет k+1/2, а в случае использования стабилизирующего параметра порядка h-1 порядок сходимости увеличивается до k+1, когда в качестве базиса используются полиномы степени не ниже k.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается некоторый класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами. Дифференциальные уравнения такого типа возникают при изучении колебаний «перевернутого маятника», точка подвеса которого совершает произвольные периодические колебания. Установлены условия, при которых нулевое решение асимптотически устойчиво. Указаны оценки области притяжения нулевого решения и получены оценки скорости убывания решений на бесконечности. При получении результатов используется критерий асимптотической устойчивости нулевого решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Критерий формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи на отрезке для дифференциального уравнения Ляпунова. Оценки области притяжения нулевого решения и оценки скорости убывания решений на бесконечности указываются с использованием нормы решения этой краевой задачи.
Бесплатно
Бифуркационный анализ задачи капиллярности с круговой симметрией
Статья научная
В нелинейной постановке достаточно хорошо изучены равновесные устойчивые и неустойчивые формы малых капель в поле силы тяжести. Эти формы являются решениями известного уравнения капиллярности и находятся итерационными методами в виде рядов. Если размер капли достаточно большой, или изнутри на нее воздействует потенциал, то нарушается сходимость приближенных решений. При этом полученные решения начинают противоречить физическим экспериментам. Разрешимость капиллярного уравнения доказана Н.Н. Уральцевой. При воздействии потенциала происходят перестройки поверхности. Описание особых состояний поверхности с помощью уравнения капиллярности осложнено структурой этого и соответствующего линеаризованного уравнений. С другой стороны, задача капиллярности вариационная. Основным слагаемым энергетического функционала является функционал площади, который исследовался в работах А.Т. Фоменко, А.Ю. Борисовича, Л.В. Стенюхина в связи с задачей о минимальных поверхностях. Исследованию экстремалей подобных нелинейных функционалов в банаховых и гильбертовых пространствах посвящены работы Ю.И. Сапронова, Б.М. Даринского, С.Л. Царева, Г.А. Свиридюка и других математиков. В результате, в настоящей работе получены достаточные условия существования особых решений задачи капиллярности при воздействии внешнего потенциала в терминах вариационности задачи и нормального расслоения возмущений. Приведен пример, в котором построена новая редукция капиллярного уравнения вблизи центра симметрии капли. Найдены критические значения параметра, зависящего от числа Бонда, установлена аналитическая форма решения.
Бесплатно
Статья научная
В данной работе представлен анализ численного исследования взаимодействия сферических ударных волн с гетерогенным слоем, расположенным на плоской поверхности. Газовая фаза в гетерогенном слое является химически активной и моделирует состав газообразных продуктов пиролиза лесных горючих материалов. Конденсированная фаза гетерогенного слоя представлена в виде неподвижной решетки, узлами которой являются твердые частицы. Численное моделирование проводилось с разделением расчета химических и газодинамических процессов, обусловленное разным временем их протекания. В силу того, что рассматривается модельная задача, состав газообразных продуктов пиролиза лесных горючих материалов был взят в упрощенном виде. Полученные результаты показали: учет химического превращения в газовой фазе приводит к увеличению скорости и интенсивности ударной волны, распространяющейся по гетерогенному слою. Кроме того, учет энерговыделения в газовой фазе за счет химического превращения приводит к увеличению размера предвестника, соединяющего головной фронт ударной волны и часть ударной волны, движущейся внутри слоя.
Бесплатно
Влияние демпфирования на амплитуды и фазы колебаний системы с гироскопическими связями
Статья научная
В связи с разработкой методики определения массового расхода жидкости в условиях течения двухкомпонентной среды "жидкость-газ" предпринята попытка оценить влияние демпфирования, обусловленного наличием пузырьков газа, на амплитуды и фазы колебаний измерительной трубки кориолисова расходомера. Проведена серия экспериментальных исследований, по результатам которой показано, что увеличение объемной доли воздуха в текущей среде приводит к росту ошибки измерения массового расхода и декремента колебаний в десятки раз. Разработана балочная конечноэлементная модель кориолисова расходомера с двумя криволинейными измерительными трубками. Предложен способ представления вынужденных колебаний кориолисова расходомера с текущей жидкостью в виде суперпозиции собственных форм системы с неподвижной средой. С использованием линейного преобразования выполнен переход к системе с двумя степенями свободы с гироскопическими связями, учитывающей две формы колебаний. На этой системе выполнено расчетное исследование влияния демпфирования на амплитуды и фазы колебаний измерительных катушек кориолисова расходомера. Показано, что увеличение декремента колебаний приводит к существенно меньшему снижению временной задержки (и, соответственно, массового расхода), чем наблюдается в эксперименте. Объясняется, что из-за гироскопических связей, обусловленных наличием текущей среды, демпфирование приводит к снижению амплитуд, но практически не влияет на разность фаз колебаний характерных точек расходомера, по которой определяется массовый расход.
Бесплатно
Влияние направленной миграции на заболеваемость населения в SIS-модели
Статья научная
Рассмотрена математическая модель распространения инфекционного заболевания, записываемая в виде системы нелинейных уравнений параболического типа. Изучается пространственно-временная эволюция плотностей двух групп населения: восприимчивых к инфекции и инфицированных. Допускается взаимный переход из одной группы в другую. Динамика плотностей определяется миграционными потоками и локальным взаимодействием. Миграционные потоки обусловлены диффузионным распространением населения по ареалу и направленной миграцией, вызванной некоторым стимулом. Моделирование проводится с учетом смертности инфицированных. В вычислительных экспериментах определена роль миграционных факторов в эпидемиологических сценариях.
Бесплатно
Возникновение автоколебаний в системе Рэлея с диффузией
Статья научная
Рассматривается система реакции-диффузии с кубической нелинейностью, которая является бесконечномерным аналогом классической системы Рэлея и частным случаем системы Фитцхью - Нагумо. Пространственная переменная изменяется в произвольной m-мерной ограниченной области, рассматриваются краевые условия Дирихле или смешанные краевые условия. Найдены критические значения управляющего параметра, отвечающие колебательной и монотонной потере устойчивости нулевого равновесия. Получены явные асимптотические представления пространственно-временных структур, которые образуются вследствие колебательной потери устойчивости нулевого равновесия при различных типах краевых условий. Показано, что происходит мягкая потеря устойчивости. С помощью построения абстрактной схемы и применения метода Ляпунова - Шмидта выведены формулы для общего члена разложения автоколебаний. Установлено, что для всех рассматриваемых краевых условий общий член асимптотики вторичного решения представляет собой нечетный тригонометрический полином по времени. Приведены примеры приложений общей схемы к случаю одной пространственной переменной, когда вторичные решения обладают дополнительными симметриями. Если на концах отрезка заданы краевые условия Дирихле, то в выражение для n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций оператора Лапласа с нечетными индексами не выше n. Если на концах отрезка заданы смешанные краевые условия, то в выражения n-го члена асимптотики входят лишь конечные линейные комбинации собственных функций с индексами не выше (n+1)/2.
Бесплатно
Временная динамика индекса Хирша
Статья научная
Проведен анализ информации из базы данных Scopus о временной зависимости индекса Хирша (h-индекса) и его модификации h5(2015)-индекса группы продолжительно и стабильно работающих ученых. Обнаружено, что характер изменения со временем h5(2015)-индекса близок к сигмоидальному. Предложена модель, описывающая динамику индекса Хирша. Модель учитывает: 1) изменение публикационной активности ученого - предполагается сигмоидальный рост числа публикаций на начальной стадии научной карьеры; 2) распределение статей по числу цитирований; 3) динамику цитирования каждой конкретной статьи (принято во внимание, что в типичном случае число цитирований сначала возрастает, а затем плавно убывает). Исследована динамика индекса Хирша в зависимости от средней продуктивности (числа публикуемых в течение года статей). Использованы два вида распределения числа статей по числу цитирований: распределение Лотки и геометрическое распределение. Оба модельных распределения приводят к качественно верной временной динамике индекса Хирша.
Бесплатно
Статья научная
Разработка новых вычислительно эффективных методов решения спектральных задач для дискретных полуограниченных дифференциальных операторов, заданных на графах с изменяющимися во времени параметрами, связано с развитием новых технологий в науке и технике. В статье, на примере уравнений параболического типа, разработаны алгоритмы вычисления собственных чисел начально-краевых задач для дифференциальных операторов в частных производных, заданных на конечных связанных графах с изменяющимися во времени ребрами. Приведены аналитические формулы, позволяющие находить приближенные значения собственных чисел этих операторов в необходимые моменты времени. Разработанный метод позволяет распространить полученную ранее методику решения обратных спектральных задач, заданных на квантовых графах с постоянной геометрией, на квантовые графы с изменяющейся во времени геометрией. В математической среде Maple проведены численные эксперименты по вычислению собственных чисел модельных задач. Результаты экспериментов позволяют сделать выводы о хорошей вычислительной эффективности разработанной методики.
Бесплатно
Статья научная
Предложен эффективный вычислительный алгоритм для решения краевых задач оптимального быстродействия и оптимальной точности при минимаксной оценке отклонения результирующей траектории от заданного конечного состояния. Задача сводится к невыпуклой задаче нелинейного программирования. Предложенный алгоритм учитывает невыпуклый характер поставленной задачи нелинейного программирования, обеспечивает поиск в зоне "оврагов" и достаточно эффективно выполняет поиск в условиях повышенной размерности области определения оптимизируемого функционала, обеспечивая требуемую точность решения. За счет преобразования многомерной невыпуклой задачи нелинейного программирования к задаче минимизации гладкой монотонно убывающей функции одного переменного алгоритм существенно снижает вычислительную сложность решения краевых задач оптимального быстродействия и оптимальной точности при минимаксной оценке отклонения результирующей траектории от заданного конечного состояния. Приведен пример решения тестовой задачи оптимального управления индукционным нагревом цилиндра.
Бесплатно
Гибридная модель активности инвазионной поливольтинной популяции
Статья научная
Статья посвящена моделированию специфического сценария активности массово размножающихся видов насекомых. Междисциплинарными задачами для современных методов моделирования являются анализ инвазионных явлений в биосистемах, прогнозирование волн вторгающихся агрессивных чужеродных видов и выработка мер противодействия их вспышкам. Требуется классификация типов процессов и прогнозирование сценариев развития инвазий для разных вселенцев. Нетривиальность проблемы кроется в вариативности развития динамики схожих ситуаций из-за специфических факторов, влияющих на адаптацию популяций. Сезонные поколения проходят развитие до репродуктивной стадии онтогенеза в существенно различных условиях. В статье предложен метод организации гибридной модели динамики неперекрывающихся поколений различных сезонов для видов со стадийностью развития. Вычислительная модель формируется из последовательно решаемых дифференциальных уравнений с запаздыванием, согласованных с изменением действующих на поколения факторов. В разработанной гибридной модели различается длительность интервалов жизни сезонных поколений поливольтинных видов, что типично для насекомых-вредителей. Показано, что условия формирования череды смежных поколений становятся фактором пульсирующей активности инвазивных насекомых. В предложенном методе моделирования динамики численности поливольтинной популяции рассмотрена критически важная выживаемость зимующей стадии поколения, что актуально для анализа вспышек насекомых. Структура гибридной модели применима для описания трансформаций на рынке IT-коммуникаций при принципиальном усовершенствовании одной из конкурирующих технологий.
Бесплатно
Статья научная
Аналитически решена задача о гидродинамическом начальном участке изотермического напорного ламинарного течения ньютоновской жидкости в горизонтальном плоском пористом канале полубесконечной длины, сформулированной в начально-краевой постановке для уравнения Дарси - Бринкмана с частичным учетом конвективной составляющей при условии зависимости давления только от аксиальной координаты. Для канала без пористой матрицы результаты коррелируют с классическими данными. Предложено в явном виде соотношение для расчета длины гидродинамического начального участка, не противоречащее результатам, основанным на макроскопических погранслойных представлениях.
Бесплатно
Гладкие модели биологических популяций
Статья научная
Предложен метод построения моделей, выражающих численность биологических популяций, на основе временных рядов. На первом этапе строится сглаженный набор эмпирических данных, который отражает общие черты реального временного ряда. Это достигается посредством построения оптимизационного сплайна - кусочно-полиномиальной функции, имеющей минимальное отклонение от эмпирических данных по методу наименьших квадратов. Далее строится система дифференциальных уравнений, правая часть которой имеет наименьшее отклонение по методу наименьших квадратов от производной оптимизационного сплайна на некоторой более частой сетке. Решение задачи Коши для построенной системы на тестовом промежутке времени берется в качестве прогноза модели. Метод применяется к конкретным временным рядам, делается оценка погрешности прогноза, исследуется зависимость погрешности от параметров метода. Кроме того метод применяется к искусственному временному ряду, содержащему случайные возмущения. Исследуется зависимость погрешности прогноза от величины возмущения.
Бесплатно
Динамические модели соболевского типа с условием Шоуолтера - Сидорова и аддитивными шумами
Статья научная
Концепция белого шума, первоначально построенная в конечномерных пространствах, переносится в бесконечномерные пространства. Цель переноса - развитие теории стохастических уравнений соболевского типа и разработка приложений, имеющих практическую значимость. Для достижения цели вводится производная Нельсона - Гликлиха и строятся пространства шумов. Уравнения соболевского типа с относительно-ограниченными операторами рассматриваются в пространствах дифференцируемых "шумов", причем доказывается существование и единственность их классических решений. В качестве приложения рассматривается стохастическое уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной в ограниченной области с однородным граничным условием Дирихле и начальным условием Шоуолтера - Сидорова.
Бесплатно
Дифракция волновых процессов газовзвесей
Статья научная
В работе дан обзор численных исследований по взаимодействию ударных волн и волн гетерогенной детонации Чепмена - Жуге, а также ячеистой детонации в смеси алюминиевых частиц и кислорода, выполненных в основном в ИТПМ СО РАН. Для инертных смесей получены аналитические критерии переходов регулярных типов отражения ударных волн к нерегулярным. Рассмотрены переходы детонационных течений из узкой части канала в неограниченное в поперечном направлении пространство, а также и в канал с большей, но конечной шириной. Определены три типа течения: - докритическое (срыв детонации), - критическое (срыв с последующей реинициацией) и - сверхкритическое (непрерывное распространение детонации). В плоскости (радиус частиц - ширина узкой части канала) построена карта решений, определяющая тип соответствующего детонационного течения.
Бесплатно
Задача оптимального измерения с учетом резонансов: алгоритм программы и вычислительный эксперимент
Статья научная
В статье описана программа, реализующая алгоритм численного метода решения задачи оптимального измерения с учетом резонансов - задачи восстановления динамически искаженного сигнала с учетом инерционности измерительного устройства и его механических резонансов, решаемой с использованием методов теории оптимального управления. Основной идеей алгоритма численного решения является представление компонент измерения тригонометрическими полиномами, которое позволяет свести задачу оптимального управления к задаче выпуклого программирования относительно неизвестных коэффициентов многочленов. Использование стандартных методов, например, градиентных, при решении задачи выпуклого программирования, в силу сложности функционала качества, приводит к неудовлетворительным результатам. Поэтому предлагается иной, более простой метод, который вместе с тем более трудоемок. В статье представлен ряд решений, позволяющих повысить скорость вычислений, блок-схема основной процедуры программы, написанной на языке С++. Для конкретной модели датчика приводятся результаты вычислительного эксперимента.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается линеаризованная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка. На основе теории относительно р-секториальных операторов и вырожденных полугрупп операторов доказана теорема существования единственного решения задачи Коши-Дирихле для соответствующей системы дифференциальных уравнений в частных производных, и получено описание расширенного фазового пространства указанной задачи.
Бесплатно
Статья научная
Статья посвящена моделированию процессов эвтрофирования мелководного водоема с использованием математической модели биологической кинетики, которая базируется на системе нестационарных уравнений конвекции-диффузии-реакции с нелинейными членами. Данная система учитывает такие составляющие, как разложение детрита, гравитационное оседание примесей, микротурбулентную диффузию, движение водного потока. Изучение продукционно-деструкционных явлений и процессов в мелководном водоeме осуществляется путем введения в математическую модель скорости роста фитопланктона и бактерий. Также есть возможность контроля динамики процессов биологической кинетики при достаточно малом притоке соединений серы и биогенных веществ. Проведена линеаризация непрерывной задачи и построен дискретный аналог на базе расщепления исходной трехмерной задачи на двумерную и одномерную. На увеличение точности моделирования исследуемых явлений и процессов повлияло применение линейной комбинации схем "кабаре" и "крест" для построения дискретной двумерной модели. В статье приведены результаты диагностического моделирования процессов возникновения сероводородного заражения, изучаются процессы самоочищения мелководного водоема. Разработанная математическая модель и ее численная реализация соответствуют современным представлениям о функционировании гидробиоценоза мелководного водоeма.
Бесплатно
Статья научная
Уравнение леонтьевского типа с белым шумом мы понимаем как выражение Lξ(t) = Mξ(t)+w(t), где L - вырожденная матрица n x n, M - невырожденная матрица n x n, ξ(t) - искомый случайный процесс и w(t) - белый шум. Поскольку производная ξ(t) и белый шум корректно определены только в терминах обобщенных функций, прямое исследование подобного уравнения весьма сложно. Мы привлекаем к исследованию два приема: сначала мы переходим к стохастическому дифференциальному уравнению Lξ(t) = M ∫ t 0 Ç(s)ds + w(t), где w(t) - винеровский процесс, и затем используем для описания решений этого уравнения так называемые производные в среднем от случайных процессов по Нельсону, которые вводятся без привлечения обобщенных функций. Этим способом получены формулы для решений уравнений леонтьевского типа с белым шумом.
Бесплатно
