Математическое моделирование. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование
О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами
Статья научная
Предложен метод построения параметрических семейств непрерывных решений одного класса интегральных уравнений Вольтерры первого рода, возникающих в теории развивающихся систем. Ядра рассматриваемых уравнений допускают разрывы первого рода на монотонно возрастающих кривых. В явном виде построено характеристическое алгебраическое уравнение. Отдельно изучается регулярный случай, когда характеристическое уравнение не имеет натуральных корней и решение интегрального уравнения единственное. В нерегулярном случае характеристическое уравнение имеет натуральные корни, а решение рассматриваемого интегрального уравнения содержит произвольные постоянные. При этом решение может быть неограниченными, если характеристическое уравнение имеет нулевой корень. Показано, что число произвольных постоянных, входящих в решение, зависит от кратности натуральных корней характеристического уравнения. Доказаны теоремы существования параметрических семейств решений и строится их асимптотика с помощью логарифмо-степенных полиномов. Асимптотика может уточняться численно или последовательными приближениями.
Бесплатно
О сильных решениях одной модели термовязкоупругости типа Олдройда
Статья научная
Для начально-граничной задачи динамики термовязкоупругой среды типа Олдройда в плоском случае установлена локальная теорема существования сильного решения. Изучаемая сплошная среда является ограниченной областью на плоскости с достаточно гладкой границей. Рассматриваемая система уравнений является обобщением системы Навье-Стокса-Фурье и получается из нее путем добавления в тензор напряжений интегрального слагаемого, отвечающего за память среды. Вначале рассматривается начально-граничная задача для системы вязкоупругости типа Олдройда с переменной вязкостью. Затем рассматривается начально-граничная задача для уравнения сохранения энергии с переменным коэффициентом теплопроводности и интегральной частью. Разрешимость этих задач устанавливается путем сведения к операторным уравнениям, для разрешимости которых применяется принцип сжимающих отображений. Для разрешимости исходной системы термовязкоупругости устраивается итерационный процесс, заключающийся в последовательном решении вспомогательных задач. Подходящие априорные оценки дают сходимость последовательных приближений на достаточно малом временном промежутке. Докозательство существенным образом опирается на результаты L. Consiglieri о разрешимости соответствующей системы Навье - Стокса - Фурье.
Бесплатно
О скорости сходимости стационарного метода Галеркина для уравнения смешанного типа
Статья научная
В работе изучается краевая задача В.Н. Врагова для уравнения смешанного типа второго порядка, когда уравнение принадлежит эллиптическому типу вблизи оснований цилиндрической области. С помощью стационарного метода Галеркина доказана однозначная регулярная разрешимость краевой задачи при определенных условиях на коэффициенты и правую часть уравнения. При этом установлены априорные оценки для уравнения смешанного типа, которым удовлетворяют приближенные решения. Получена оценка скорости сходимости стационарного метода Галеркина в норме пространства Соболева W 1 2, через собственные функции оператора Лапласа по пространственным переменным и по времени. При выводе оценки скорости сходимости метода Галеркина существенно используется разложение решения исходной краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциям оператора Лапласа и известное равенство Парсеваля.
Бесплатно
О совершенных шифрах на основе ортогональных таблиц
Статья научная
В работе исследуются совершенные шифры, стойкие к имитации и подмене шифрованных сообщений. Особо выделен случай, когда вероятности имитации и подмены достигают нижних границ. Хорошо известно, что шифр гаммирования с равновероятной гаммой является совершенным, но максимально уязвимым к попыткам имитации и подмены. Это происходит потому, что в шифре гаммирования алфавиты для записи открытых и шифрованных текстов равномощны. Так как одним из недостатков математической модели шифра являются ограничения, накладываемые на мощности множеств открытых текстов и ключей, то сначала приводится математическая модель шифра замены с неограниченным ключом, предложенная А.Ю. Зубовым. На основе данной модели в работе приводятся конструкции совершенных шифров, стойких к имитации и подмене. Данные шифры строятся на основе ортогональных таблиц и латинских прямоугольников. Рассматривается случай, когда случайный генератор ключевых последовательностей не обязательно имеет равномерное распределение вероятностей. Так как длины ключей таких шифров не меньше длин передаваемых сообщений, то шифры замены с неограниченным ключом целесообразно использовать в исключительно важных случаях.
Бесплатно
О сходимости масштабируемого алгоритма построения псевдопроекции на выпуклое замкнутое множество
Статья научная
Доказывается теорема сходимости для алгоритма построения псевдопроекции на выпуклое замкнутое множество. Данный алгоритм является основной частью итерационного метода решения задачи сильной отделимости и допускает эффективное распараллеливание на большом количестве процессоров.
Бесплатно
О фокусировке цилиндрически симметричной ударной волны в газе
Статья научная
В лагранжевых координатах построено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в цилиндрическом сосуде с непроницаемой стенкой для произвольных показателей автомодельности. На границе цилиндра задана отрицательная скорость. В начальный момент времени из этой точки начнет распространяться ударная волна к центру симметрии. Граница цилиндра будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением ударной волны. В эйлеровых переменных она движется, но в лагранжевых переменных ее траектория является вертикальной линией. Вообще говоря, все траектории частиц являются вертикальными линиями, вдоль которых сохраняется то значение энтропии, которое возникло на ударной волне. Получены уравнения, определяющие структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей, как функции времени и лагранжевой координаты, а так же зависимость энтропии от скорости ударной волны. Задача решена в лагранжевых координатах и принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и ее отражении от центра, которые построены для бесконечной области в эйлеровых координатах для единственного значения коэффициента автомодельности соответствующего единственному значению показателя адиабаты.
Бесплатно
Статья научная
В рамках теории уравнений леонтьевского типа рассмотрена математическая модель измерительного устройства, демонстрирующая эффект механической инерционности. При изучении модели с детерминированным внешним сигналом очень полезными оказались методы и результаты теории уравнений соболевского типа и вырожденных групп операторов, поскольку они позволили создать эффективный вычислительный алгоритм. Теперь в модели предполагается наряду с детерминированным сигналом наличие белого шума. Поскольку модель представлена вырожденной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то к ней трудно применимы существующие ныне подходы Ито - Стратоновича - Скорохода и Мельниковой - Филинкова - Альшанского, в которых белый шум понимается как обобщенная производная винеровского процесса. Вместо этого предлагается новая концепция «белого шума», равного симметрической производной в среднем (в статье - производной Нельсона - Гликлиха) винеровского процесса, причем подмечено, что в рамках теории Эйнштейна - Смолу-ховского данная производная совпадает с «обычной» производной броуновского движения. В первой части статьи собраны основные факты теории производной Нельсона - Гликлиха, адаптированные к рассматриваемой ситуации. Во второй - рассмотрена ослабленная задача Шоуолтера - Сидорова и даны точные формулы ее решения. В качестве примера приведена конкретная модель измерительного устройства.
Бесплатно
Об интеграле Помпею и некоторых его обобщениях
Статья научная
Даны оценки классического интеграла Помпею, рассматриваемого на всей комплексной плоскости с особыми точками и, в семействах различных весовых пространств. Этот интеграл играет ключевую роль в теории обобщенных аналитических функций И.Н. Векуа, которая широко используется при моделировании различных процессов - трансзвуковых течений газа, состояний безмоментного напряженного равновесия выпуклых оболочек и многих других. Более точно, описываются весовые порядки , для которых этот оператор ограничен из весового пространстве функций, суммируемых с -ой степенью, в весовое пространство гельдеровых функций. Аналогичные оценки получены также для более общих интегралов с разностным ядром. Указаны приложения этих результатов к эллиптическим системам первого порядка на плоскости, которые, в частности, включают математические модели плоской теории упругости (система Ламе) в общем анизотропном случае и играют центральную роль в теории обобщенных аналитических функций И.Н. Векуа.
Бесплатно
Об одной задаче маршрутизации с неаддитивным агрегированием затрат
Статья научная
Исследуется задача последовательного обхода мегаполисов (непустых конечных множеств) с условиями предшествования и неаддитивным агрегированием затрат. Предполагается, что на уровне (при оценивании системы циклов, определяемых всякий раз этапами внешнего перемещения и внутренних работ) вариант агрегирования отвечает задаче узкие места с корректирующим параметром. На уровне (в пределах цикла) агрегирование затрат на внешнее перемещение и проведение работ может быть произвольным. Построен вариант процедуры динамического программирования, включая экономичный вариант, использующий условия предшествования. Оптимальный алгоритм на основе ДП реализован в виде программы для ПЭВМ в случае постановки, ориентированной на задачу об управлении автономной системой, функционирующей в агрессивной среде и осуществляющей последовательно процесс демонтажа источников воздействий (данной среды) на систему. Эта постановка может отвечать инженерной задаче о демонтаже источников радиационного излучения при аварийных ситуациях на АЭС в случае применения роботизированной системы с электронным оборудованием, функционирование которого возможно лишь при соблюдении допусков на интенсивность радиационного воздействия в течении всего временного промежутка. Для данного варианта общей постановки проведен вычислительный эксперимент с применением ПЭВМ.
Бесплатно
Об одной задаче маршрутизации, ориентированной на проблему демонтажа радиационно опасных объектов
Статья научная
Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов при наличии условий предшествования и функций стоимости с зависимостью от списка заданий, не выполненных на текущий момент времени. Оптимизируется выбор маршрутного процесса, включающего перестановку индексов, траекторию и точку старта; оптимизируется также точка финиша. Используется аддитивный критерий, получаемый суммированием затрат на внешние (по отношению к мегаполисам) перемещения, затраты на проведение работ, связанных с посещением мегаполисов, а также оценки терминального состояния. Исследуется процедура построения оптимального решения на основе широко понимаемого динамического программирования. Постановка ориентирована на задачу демонтажа системы радиационно опасных источников; при этом допускается, что демонтированы будут не все источники (это возможно при получении работниками предельных доз радиации), что потребует эвакуации в условиях радиационного воздействия источников, оставшихся недемонтированными. Конкретный вариант критерия сводится к суммарной дозе радиации, получаемой работником как на этапе демонтажа, так и на этапе эвакуации. На основе теоретических конструкций построен алгоритм, реализованный на ПЭВМ; проведен вычислительный эксперимент.
Бесплатно
Об одном алгоритме псевдообращения динамических систем
Статья научная
Рассматривается задача псевдообращения динамической системы (восстановления нормального входа системы по результатам измерения ее выхода). Под входом понимается пара: начальное состояние и входное воздействие на систему (управление, возмущение и т.д.), под нормальным входом - вход, имеющий минимальную норму на множестве всех входов, совместимых с данным выходом. Выход системы представляет собой функцию от времени, состояния системы и входного воздействия. Динамика системы описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением. Задача псевдообращения решается путем редукции исходной динамической системы к некоторой эквивалентной системе, допускающей получение нормального входа в явном виде. Редукция осуществляется с помощью конечного числа алгебраических операций и операций дифференцирования. Явный вид нормального входа редуцированной системы получен из явного решения некоторой вспомогательной параметрической задачи оптимального управления с помощью операции предельного перехода.
Бесплатно
Об одном гарантированном равновесии в модели Бертрана при неопределенности
Статья научная
В работе рассматривается дуополия Бертрана на рынке дифференцированного товара с учетом возможного появления импорта. Цена, назначаемая импортером представляет собой нестохастическую неопределенность. Модель дуополии формализуется как бескоалиционная игра двух лиц при неопределенности. Выбирая свои стратегии, игроки стремятся увеличить свой выигрыш, одновременно с этим они вынуждены ориентироваться на возможность реализации любого, заранее не предсказуемого, значения неопределенности. В качестве решения игры используется понятие сильно гарантированного равновесия, построение которого основано на понятии аналога векторного максимина и состоит из двух этапов. На первом этапе (аналог внутреннего минимума в максимине) для каждого игрока конструируется непрерывная функция, сопоставляющая каждой стратегии игрока "самую плохую" для него неопределенность. На втором этапе (аналог внешнего максимума в максимине) находится равновесие по Нэшу в "игре гарантий", полученной при подстановке в функции выигрыша найденных ранее неопределенностей. Сильно гарантированное равновесие построено в явном виде, определены достаточные условия существования указанного решения.
Бесплатно
Об одном лагранжево-эйлеровом методе расчета нестационарных течений сжимаемых сред
Статья научная
В данной работе реализован численный метод расчета двумерных течений в эйлеровых координатах, в основу которого положена явная лагранжево-эйлерова разностная схема. Расчет каждого временного шага проводится в два этапа. На лагранжевом этапе применяется разностная схема, основанная на методе Куропатенко, который обладает нулевой диссипацией энергии на гладких решениях и минимальной дистракцией на сильных разрывах. На эйлеровом этапе применяется перестройка сетки и пере счет всех параметров вещества со старой сетки на новую в соответствии с законами сохранения массы, импульса и энергии. Разработанный численный алгоритм показал работоспособность при тестировании на задачах, имеющих аналитическое или эталонное решение.
Бесплатно
Об одном методе сквозного счета ударных волн
Статья научная
Сильные разрывы - ударные волны возникают в сплошной среде при динамических внешних воздействиях. На поверхности сильных разрывов законы сохранения принимают вид нелинейных алгебраических уравнений, связывающих скачки величин по обе стороны разрыва. На сильном разрыве энтропия терпит скачок. В этом заключается принципиальное различие между ударными волнами и волнами с непрерывным изменением величин. В однородных разностных методах сильный разрыв заменяется слоем конечной ширины, сравнимой с размером сеточной ячейки. Такое свойство разностных схем получило название дистракции. Поскольку состояние за разрывом связано ударной адиабатой с состоянием перед разрывом, то в области дистракции сильного разрыва должен действовать механизм, обеспечивающий возрастание энтропии. Физическая вязкость и теплопроводность в уравнениях механики сплошной среды не устраняют необходимости введения поверхности сильного разрыва и, следовательно, не могут обеспечить величину дистракции, сравнимую, с несколькими ячейками разностной сетки. В работе рассмотрены несколько разностных схем, в которых диссипация энергии в слое дистракции определяется уравнениями, справедливыми на поверхности сильного разрыва.
Бесплатно
Об одном нестационарном варианте обобщенной задачи курьера с внутренними работами
Статья научная
Рассматривается задача последовательного обхода мегаполисов с условиями предшествования и выполнением работ в пределах данных мегаполисов. Предполагается, что стоимости перемещений зависят от параметра, который имеет смысл дискретного времени; упомянутая зависимость может отражать приоритеты клиентов, связанных с обслуживаемыми мегаполисами и частично компенсирующих затраты исполнителей. Построенный метод решения объективно отвечает широко понимаемому динамическому программированию, применяемому для решения задачи маршрутизации с ограничениями. Предложено расширение исходной задачи, использующее эквивалентное преобразование системы ограничений, в результате чего допустимость (маршрутов) по предшествованию заменяется допустимостью по вычеркиванию (заданий из списка). Тем самым ограничения на маршрут в целом сводятся к системе ограничений на текущие перемещения, что позволяет получить уравнение Беллмана. Для использования последнего в вычислительной процедуре построения слоев функции Беллмана используется подход, в рамках которого предусматривается построение всего массива значений упомянутой функции; данный подход базируется на использовании только существенных (по предшествованию) списков заданий, чем достигается экономия вычислений. Приложения развиваемой теории могут быть связаны с задачами, касающимися снижения облучаемости персонала атомных электростанций при работах в условиях аварийных ситуаций, а также с задачами транспортного обслуживания большого числа клиентов при наличии условий приоритетности, влияющих на выбор очередности обслуживания.
Бесплатно
Об одном подходе к сравнению нечетких чисел
Статья научная
В статье предложен метод сравнения двух нечетких чисел, основанный на сравнении их множеств уровня.
Бесплатно
Статья научная
В работе рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциально-операторного уравнения в гильбертовом пространстве. Устойчивое приближенное решение данной нелинейной некорректно поставленной задачи строится с помощью метода проекционной регуляризации. Параметр регуляризации выбирается по схеме М.М. Лаврентьева. Получена точная по порядку оценка погрешности этого метода на классе корректности, заданном с помощью нелинейного оператора. При исследовании методов приближенного решения некорректно поставленных задач на оптимальность важную роль играет модуль непрерывности оператора соответствующей задачи на классах корректности, которые, как правило, определяются с помощью линейных операторов. В настоящей работе получена двусторонняя оценка модуля непрерывности для нелинейной обратной задачи на классе корректности, заданном с помощью нелинейного оператора. С учетом полученной оценки модуля непрерывности доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации на рассмотренном классе корректности.
Бесплатно
Об оценке точности приближенного решения обратной граничной задачи для параболического уравнения
Статья научная
Статья посвящена проблеме разработки метода проекционной регуляризации, исследованию вопросов повышения его эффективности с помощью получения точных по порядку оценок погрешности этого метода и приложению его для решения обратных граничных задач теплообмена. В настоящей работе решается одномерная задача о восстановлении условий теплообмена на одном из концов однородного стержня конечной длины по результатам измерений температуры с конечной ошибкой в точке, находящейся на некотором расстоянии от этого конца. Рассматриваемая обратная задача является некорректной. В работе дается аналитическое решение этой задачи в терминах преобразования Фурье, выписан регуляризующий оператор, указан способ выбора параметра регуляризации и доказана оптимальность по порядку, используемого регуляризующего алгоритма в пространстве L 2. Установлено, что точность приближений имеет порядок ln -1 d. В настоящее время, при использовании вычислительных методов все больше внимания уделяется оценкам погрешности применяемых алгоритмов, их точности и оптимальности. Особую роль эти вопросы играют при численном расчете некорректных задач с использованием различных регуляризаторов. В работе разработана новая технология получения оценки погрешности при решении обратных граничных задач теплообмена. Результаты могут быть использованы как при реальных численных расчетах тепловых характеристик обратных задач теплообмена,так и при разработке новых регуляризующих алгоритмов подобных задач.
Бесплатно
Об управляемости линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором
Статья научная
В работе исследуется вопрос є-управляемости линейных дифференциальных уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной по времени L x (t) = Mx(t) + Bu(t), 0
Бесплатно
Об устойчивых алгоритмах численного решения интегро-алгебраических уравнений
Статья научная
При исследованиях в различных областях приложений, если моделируемый процесс обладает последействием, возникает необходимость изучения интегро-алгебраических уравнений (ИАУ). В частности, в виде ИАУ можно записать систему взаимосвязанных интегральных уравнений Вольтерра I, II рода и алгебраических уравнений. В работе рассматриваются линейные ИАУ, для численного решения которых были сконструированы многошаговые методы, основанные на явных методах типа Адамса и экстраполяционных формулах. Ранее была доказана сходимость предлагаемых алгоритмов. В данной работе показано, что полученные многошаговые алгоритмы обладают свойством саморегуляризации, а параметром регуляризации является шаг сетки, определенным образом связанный с уровнем погрешности правой части рассматриваемых систем. Результаты численных расчетов иллюстрируют теоретические выкладки.
Бесплатно
