Статьи журнала - Владикавказский математический журнал
Все статьи: 944
Теорема Крейна - Мильмана для однородных полиномов
Статья научная
Настоящая заметка посвящена задаче о восстановлении выпуклого множества однородных полиномов по крайним точкам, т. е. обоснованию полиномиального варианта классической теоремы Крейна - Мильмана. В этом направлении мало, что сделано; имеющиеся работы большей частью посвящены описанию крайних точек единичного шара в пространстве однородных полиномов в разных специальных случаях. Даже в случае линейных операторов классическая теорема Крейна - Мильмана не работает, так как замкнутые выпуклые множества операторов лишь в очень частных случаях оказываются компактными в какой-нибудь естественной топологии. В 1980-х годах был предложен новый подход к изучению экстремальной структуры выпуклых множеств линейных операторов на основе теории пространств Канторовича и получена операторная форма теоремы Крейна - Мильмана. Комбинируя упомянутый подход с методом линеаризации однородных полиномов, в настоящей работе получен вариант теоремы Крейна - Мильмана для однородных полиномов. А именно, показано, что слабо порядково ограниченное, операторно выпуклое и поточечно порядково замкнутое множество однородных полиномов, действующих из векторного пространства в пространство Канторовича, является замыканием относительно поточечной порядковой сходимости операторно выпуклой оболочки своих крайних точек. Получено также мильмановское обращение теоремы Крейна - Мильмана для однородных полиномов: крайние точки наименьшего операторно выпуклого поточечно порядково замкнутого множества, содержащего данное множество A однородных полиномов, представляют собой поточечные равномерные пределы подходящих сетей перемешиваний элементов A. Под перемешиванием семейства полиномов со значениями в пространстве Канторовича понимается (бесконечная) сумма этих полиномов, умноженных на попарно дизъюнктные порядковые проекторы в упомянутом пространстве Каторовича, сумма которых равна тождественному оператору.
Бесплатно
Теорема деления в некоторых весовых пространствах целых функций
Статья научная
Рассматриваются весовые пространства целых функций, двойственные пространствам ультрадифференцируемых функций Берлинга нормального типа. Основной результат - теорема деления, в которой полностью характеризуются все делители данных пространств. В качестве приложения установлен критерий разрешимости уравнений свертки в классах Берлинга нормального типа.
Бесплатно
Теорема о вложении элементарной сети
Статья научная
Пусть Λ - произвольное коммутативное кольцо с единицей, n - натуральное число, n≥2. Система σ=(σij), 1≤i,j≤n, аддитивных подгрупп σij кольца Λ называется сетью (ковром) над кольцом Λ порядка n, если σirσrj⊆σij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. Элементарная сеть σ=(σij), 1≤i≠j≤n, называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) σii кольца Λ таблица (с диагональю) σ=(σij),1≤i,j≤n является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть σ является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Пусть σ=(σij) - элементарная сеть над кольцом Λ порядка n. Рассмотрим набор ω=(ωij) аддитивных подгрупп ωij кольца Λ, определенных для любых i≠j формулой ωij=∑nk=1σikσkj, где суммирование берется по всем k, отличным от i и j. Набор ω=(ωij) аддитивных подгрупп ωij кольца Λ является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью. Элементарную сеть ω можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, а также другим способом, который мы предлагаем в статье. Вводится также понятие сети Ω=(Ωij), которую мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой E(σ). Следующая теорема является основным результатом статьи: Элементарная сеть σ индуцирует элементарную производную сеть ω=(ωij) и сеть Ω=(Ωij), ассоциированную с элементарной группой E(σ), причем ω⊆σ⊆Ω. Если ω=(ωij) дополнить диагональю до полной стандартным способом, то для произвольного r и любых i≠j будет ωirΩrj⊆ωij и Ωirωrj⊆ωij. Если же ω=(ωij) дополнить диагональю до полной вторым способом, то последние включения выполняются для любых i, r, j.
Бесплатно
Статья научная
Сформулирована и доказана теорема о плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в анизотропных пространствах Соболева при некоторых условиях, наложенных на область.
Бесплатно
Теоремы вложения для весовых функциональных пространств Бесова со смешанной нормой
Статья научная
Устанавливается теорема вложения весового функционального пространства $B^{\bar l}_{(\bar p)}\Epl n_{\bar\alpha,\theta}$ в весовое функциональное пространство $B^{\bar r}_{(\bar q)}\Epl m_{\bar\gamma,\theta_1}$.
Бесплатно
Статья научная
В конце девятнадцатого века Э. Борель естественным образом ввел понятие порядка целой функции, а затем была получена соответствующая формула для вычисления этой величины через коэффициенты тейлоровского разложения данной функции. Позже Дж. Риттом это понятие было распространено и на целые функции, представленные рядами Дирихле с положительными показателями. Им же получена аналогичная формула для этой характеристики (R-порядка), явно зависящая от коэффициентов и показателей ряда Дирихле. В работах А. М. Гайсина этот результат был полностью перенесен на случай полуплоскости, а также для ограниченной выпуклой области. В последнем случае речь идет о рядах Дирихле с комплексными показателями - рядах экспонент. В настоящей статье в терминах порядка по Ритту (R-порядка) изучается связь между ростом ряда Дирихле и коэффициентами разложения. Отдельно рассмотрены случаи, когда ряд сходится равномерно во всей плоскости или лишь в некоторой полуплоскости. В обоих случаях получены необходимые и достаточные условия на показатели, при выполнении которых верны соответствующие формулы, позволяющие вычислить эту величину через коэффициенты ряда. Все ранее известные результаты такого типа носили только достаточный характер. В случае плоскости нами показана точность оценок С. Танаки для R-порядка.
Бесплатно
Тетрация как специальная функция
Статья научная
Голоморфная тетрация (суперэкспонента) по основанию e и ее обратная функция (арктетрация) аппроксимированы элементарными функциями.
Бесплатно
Статья научная
В работах автора было начато изучение особого вида ограниченности решений систем дифференциальных уравнений, а именно, их ограниченности по Пуассону. Понятие ограниченности по Пуассону решения обобщает классическое понятие ограниченности решения и состоит в том, что в фазовом пространстве найдутся такой шар и на временной полуоси такая счетная система непересекающихся интервалов, последовательность правых концов которых стремится к плюс бесконечности, что решение при всех значениях времени из этих интервалов содержится в данном шаре. Далее в работах автора на основе методов функций Ляпунова, вектор-функций Ляпунова и высших производных функций Ляпунова были получены достаточные условия различных видов ограниченности по Пуассону всех решений. В частности, были получены достаточные условия тотальной ограниченности (ограниченности при малых возмущениях) по Пуассону, частичной тотальной ограниченности по Пуассону, а также частичной тотальной ограниченности по Пуассону решений с частично контролируемыми начальными условиями. В настоящей работе автором была получена асимптотическая или, как еще говорят, финальная характеризация понятия ограниченности по Пуассону решения, которая позволила установить связь между понятием ограниченного по Пуассону решения и понятием осциллирующего решения. Далее в работе введены понятия тотальной осциллируемости решений, частичной тотальной осциллируемости решений и частичной тотальной осциллируемости решений с частично контролируемыми начальными условиями. На основе указанной выше финальной характеризации понятия ограниченности по Пуассону решения, а также на основе метода вектор-функций Ляпунова с системами сравнений в работе получены достаточные условия тотальной осциллируемости, частичной тотальной осциллируемости, а также частичной тотальной осциллируемости решений с частично контролируемыми начальными условиями. Как следствия получены достаточные условия указанных выше видов тотальной осциллируемости решений в терминах функций Ляпунова.
Бесплатно
Точные решения урaвнений термоупругости
Статья научная
Метод голоморфных рaзложений применяется к линейной связaнной системе урaвнений термоупругости. Получены и исследованы явные решения в виде рядов функций трех комплексных переменных, а также решения, получающиеся в результате вырождения упомянутых рядов в конечные суммы.
Бесплатно
Трансвекции в надгруппах нерасщепимого тора
Статья научная
В работе исследуются промежуточные подгруппы полной линейной группы GL(n,k) степени n над произвольным полем k, содержащие нерасщепимый максимальный тор, связанный с расширением степени n основного поля k. Доказывается, что если надгруппа нерасщепимого максимального тора содержит одномерное преобразование, то она содержит элементарные трансвекции по крайней мере в двух позициях любой строки и любого столбца.
Бесплатно
Статья научная
Краткое обсуждение изопериметрических задач с ограничениями включения, Парето-оптимальности в теории наилучшего приближения и проблемы описания нестандартных топосов.
Бесплатно
Три теоремы о матрицах Вандермонда
Статья научная
Рассматриваются алгебраические вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье, определенным при помощи симметричной матрицы Вандермонда Λ. Основное внимание в первых двух теоремах уделяется выработке формулировок, независящих от размера N×N матрицы Λ и явных формул для элементов матрицы Λ через корни уравнения λN=1. В третьей теореме рассматриваются рациональные функции f(λ), λ∈C, удовлетворяющие условию "вещественности" f(λ)=f(1λ) на всей комплексной плоскости и связанные с известной задачей о коммутировании симметричных матриц Вандермонда Λ с (симметричными) трехдиагональными матрицами T. Показано, что уже несколько первых уравнений коммутирования и указанное выше условие вещественности определяют вид рассматриваемых рациональных функций f(λ), а найденные уравнения для элементов трехдиагональных матриц T не зависят от порядка N коммутирующих матриц. Полученные уравнения и приведенные примеры позволяют высказать гипотезу о том, что рассматриваемые рациональные функции являются обобщением многочленов Чебышева. В определенном смысле аналогичная гипотеза была высказана в недавно опубликованной в журнале "Теоретическая и математическая физика" работе В. М. Бухштабера с соавторами, где обсуждаются приложения этих обобщений в современной математической физике.
Бесплатно
Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости
Статья научная
В двумерной области Q, внешней по отношению к кругу, рассматривается равномерно эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами, содержащее младший неотрицательный коэффициент q(x)=q(x1,x2) типа потенциала в стационарном уравнении Шрёдингера. Изучаются обобщенные решения, принадлежащие пространству С. Л. Соболева W12 в любой ограниченной подобласти. Рассматривается вопрос о возможном росте решений на бесконечности. Доказано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента q(x) на бесконечности существует положительное решение, растущее как логарифм модуля радиус-вектора точки, т. е. так же, как фундаментальное решение соответствующего эллиптического оператора без младшего члена. Построенное решение обладает равномерно ограниченным "потоком тепла" через окружности произвольного радиуса R, концентрические с границей области Q. Далее устанавливается, что для любого решения, удовлетворяющего некоторой степенной оценке роста на бесконечности, выполнена оценка интеграла Дирихле типа принципа Сен-Венана в теории упругости...
Бесплатно
Упрощенная математико-компьютерная модель регионального паводкого потока
Статья научная
В статье pассматpивается упpощенная модель для паводковых потоков в случае pечной системы типа "деpево". Основой для модели является система диффеpенциальных уpавнений неустановившегося движения воды. В местах слияния и pазветвления pусел ставятся соответствующие начальные и гpаничные условия для искомых величин - pасходов и уpовней воды, котоpые являются основными хаpактеpистиками pуслового потока. Для pешения поставленной задачи используется pезультат, пpедставленный в пеpвом выпуске "Осетинского математического жуpнала".
Бесплатно
Уравнения Гаусса, Петерсона - Кодацци, Риччи в неголономных реперах
Статья научная
В работе рассматривается изометрическое погружение n-мерного хаусдорфового ориентируемого многообразия, удовлетворяющего второй аксиоме счетности, в m-мерное полное односвязное риманово или псевдориманово пространство постоянной кривизны. С использованием неголономнах реперов выводятся уравнения Гаусса, Петерсона - Кодацци, Риччи для погружений класса C2n-мерного многообразия в m-мерное пространство. Основной результат получен с использованием обобщенного внешнего дифференцирования по де Раму. Показано, что при этом формы связности, погружения и кручения обладают непрерывным обобщенным внешним дифференциалом.
Бесплатно
Условия интерполяционности для семейств пространств Фреше
Статья научная
В статье рассматриваются несколько вариантов обобщения теоремы М. М. Драгилева об интерполяции пространств Кёте на семейства пространств Фреше общего вида. Построены > варианты этого утверждения, которые являются необходимыми и, при дополнительных ограничениях на пространства, достаточными для интерполяционности одной тройки пространств относительно другой.
Бесплатно
Условия осцилляционности функции Грина разрывной краевой задачи для уравнения четвертого порядка
Статья научная
Работа посвящена изучению знаковых и осцилляционных свойств функции Грина разрывной краевой задачи для уравнения четвертого порядка, описывающей малые деформации системы, состоящей из двух жестко соединенных стержней, упруго подпертых в их общем конце. Получен критерий осцилляционности функции Грина. Показано, что если концы стержневой системы неподвижны, то осцилляционность функции Грина не зависит от способа закрепления концов.
Бесплатно
Статья научная
В работе исследуется специальная схема защиты легально тиражируемых данных от несанкционированного доступа. Для $q$-ичных кодов Рида - Маллера получены условия, при которых их применение в схемах специального широковещательного шифрования (ССШШ) оправдано и не оправдано с точки зрения задачи поиска злоумышленников, объединяющихся в коалицию для создания пиратских ключей.
Бесплатно
Усреднение абстрактных параболических уравнений с многоточечными интегральными краевыми условиями
Статья научная
На временном отрезке рассматривается многоточечная краевая задача для абстрактного параболического уравнения с быстро осциллирующей по времени нелинейной частью. Оператор -A, где A - старший стационарный линейный оператор уравнения, позитивен. Условия работы формулируются в терминах теории полугрупп и дробных степеней оператора -A. Многоточечные краевые условия на временном отрезке помимо линейной комбинации значений решения в конечном наборе точек содержат интегральные слагаемые. Для указанной, зависящей от большого параметра (высокой частоты осцилляций) задачи построена предельная (усредненная) многоточечная краевая задача и обоснован предельный переход в пространстве непрерывных вектор-функций на временном отрезке. Таким образом, для абстрактных параболических уравнений с многоточечными краевыми условиями обоснован метод усреднения Крылова - Боголюбова. Полученные результаты применимы к параболическим уравнениям в ограниченной пространственной области с многоточечными краевыми условиями на временном отрезке и некоторым другим задачам математической физики. Некоторые приложения к параболическим задачам содержатся в заключительной части данной работы.
Бесплатно
Усреднение высокочастотной гиперболической системы квазилинейных уравнений с большими слагаемыми
Статья научная
Одним из мощных асимптотических методов теории дифференциальных уравнений является метод усреднения, который связывают с именами известных исследователей Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Этот метод глубоко разработан не только для обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений, но и для многих классов уравнений в частных производных. Однако для гиперболических систем дифференциальных уравнений метод усреднения изучен еще недостаточно. Для полулинейных гиперболических систем он обоснован в работах Ю. А. Митропольского, Г. П. Хомы и некоторых других авторов. Кроме того, ранее рядом авторов был предложен и обоснован алгоритм построения полных асимптотик решений таких систем; решение усредненной задачи является при этом главным членом асимптотики. В данной работе исследуется задача Коши в многомерном пространственно-временном слое для гиперболической системы квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка с быстро осциллирующими по времени слагаемыми. Среди такого рода слагаемых правой части могут быть большие - пропорциональные корню квадратному из высокой частоты осцилляций, причем большие слагаемые имеют по быстрой переменной (произведение частоты и времени) нулевое среднее. Спецификой рассматриваемой системы является то обстоятельство, что слагаемые ее уравнений не зависят явно от пространственных переменных. Для указанной задачи Коши построена предельная (усредненная) при стремлении частоты осцилляций к бесконечности задача и обоснован предельный переход (метод усреднения). Последнее означает доказательство однозначной разрешимости исходной (возмущенной) задачи и обоснование равномерной во всем слое асимптотической близости решений исходной (возмущенной) и усредненной задач.
Бесплатно
