Математика. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
Краевая задача для вырождающегося уравнения третьего порядка
Статья научная
В последнее время всё больше внимание специалистов привлекают неклассические уравнениям математической физики. Связано это как с теоретическим интересом, так и практическим, например вырождающиеся уравнения третьего порядка встречаются в теории трансзвуковых течений. Получены достаточные условия единственности и существования решения одной краевой задачи в прямоугольной области для вырождающегося уравнения третьего порядка с кратными характеристиками. Решение получено в виде бесконечного ряда по собственным функциям.
Бесплатно
Кубические уравнения, четырёхугольник ньютона и геометрические построения
Статья научная
Обсуждается возможность построения циркулем и линейкой вписанного в полуокружность четырёхугольника. Показано, что задача построения равнобедренного треугольника по трём его биссектрисам равносильна трисекции угла. Приведены примеры параметрических семейств уравнений третьей и шестой степени, для которых все корни выражаются через квадратные радикалы. Найдено условие, при котором полином шестой степени факторизуется двумя полиномами третьей степени в каноническом виде. Все представленные факторизации справедливы для полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
Бесплатно
Линейная дифференциальная игра удержания с поломкой
Статья научная
Рассматривается линейная дифференциальная игра удержания с простым движением. Данная игра рассматривается со стороны первого игрока, которому необходимо удерживать состояние системы в заданном выпуклом терминальном множестве на протяжении всего времени игры, несмотря на возможную поломку и управление второго игрока. Под поломкой понимается мгновенная остановка первого игрока в заранее неизвестный момент времени, через определенное время он устранит поломку и продолжит движение. Вектограммами управлений игроков являются n-мерные выпуклые компакты, которые зависят от времени. Для построения u-стабильного моста используется второй метод Л.С. Понтрягина. Так строится многозначное отображение на основе альтернированного интеграла Л.С. Понтрягина, после чего доказывается, что построенное отображение является u-стабильным мостом для рассматриваемой игры, если выполняется ряд условий. В конце статьи рассматривается простой пример на плоскости, где вектограммы игроков есть круги с центром в начале координат и с постоянным радиусом, причем радиус круга первого игрока строго больше второго. В данном примере стоится u-стабильный мост по предложенному методу в статье и находится экстремальная стратегия для первого игрока на построенный u-стабильный мост.
Бесплатно
Линейные функциональные уравнения в гельдеровых классах функций на простой гладкой кривой
Статья научная
Рассматриваются линейные функциональные уравнения на простых гладких кривых с функцией сдвига, имеющей ненулевую производную, удовлетворяющую условию Гельдера, и неподвижные точки только на концах кривой. Цель статьи - найти условия существования и единственности решения таких уравнений в классах гельдеровских функций с коэффициентами и правыми частями, удовлетворяющими условиям Гельдера. Эти условия получены в зависимости от значений коэффициентов уравнений на концах кривой. Рассматриваются различные особенности решений на концах кривой. Установлены показатели Гельдера для решений. Показаны возможности применения линейных функциональных уравнений к исследованию и решению сингулярных интегральных уравнений с логарифмическими особенностями.
Бесплатно
Статья научная
Последние годы все больше внимание специалистов привлекают неклассические уравнения математической физики, это связано как с теоретическим интересом, так и практическим. Уравнения третьего порядка встречаются в различных задачах физики, механики и биологии. Например, в теории трансзвуковых течений, распространении плоской волны в вязкоупругом твердом теле, прогнозирования и регулирования грунтовых вод. Исследуется краевая задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором в главной части. Рассматриваемое уравнение составляется из произведения неперестановочных дифференциальных операторов, поэтому известные представления общего решения введенные А.В. Бицадзе и М.С. Салахитдиновым не применяются. Для изучения уравнения смешанного типа третьего порядка нами применен метод, не требующий специального представления общего решения рассматриваемого уравнения. Этот метод обусловливает изучение уравнения эллиптико-гиперболического типа второго порядка с неизвестными правыми частями, что представляет интерес для решения важных обратных задач механики и физики. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения поставленной задачи. Доказательство основано на принципе экстремума для уравнения третьего порядка и на теории сингулярных, фредгольмских интегральных уравнений.
Бесплатно
Статья научная
Одним из истоков тематики данного исследования является классификационная теория некомпактных римановых поверхностей. Хорошо известно, что на поверхностях параболического типа всякая ограниченная снизу супергармоническая функция является тождественной постоянной. В свою очередь поверхности гиперболического типа содержат нетривиальные супергармонические функции. Данное свойство поверхностей параболического типа легло в основу определений многообразий параболического типа размерности выше двух. Классификационная теория римановых многообразий имеет прямое отношение к теоремам типа Лиувилля, утверждающих тривиальность ограниченных решений эллиптических уравнений. Высокую эффективность в данной тематике показала емкостная техника, развиваемая в работах А.А. Григорьяна, А.Г. Лосева, Е.А. Мазепы и других исследователей. В частности, были получены оценки размерностей ограниченных гармонических функций и решений стационарного уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях в терминах массивных множеств. Исследуются свойства массивных множеств, порожденных полулинейным эллиптическим оператором. Удалось доказать, что свойство массивности сохраняется при вариациях потенциала. Также получено необходимое условие существования нетривиальных ограниченных решений полулинейного уравнения.
Бесплатно
Математическая модель акустических волн в ограниченной области с "белым шумом"
Статья научная
Представлен новый взгляд на классическую задачу о распространении акустических волн в ограниченной области с постоянной фазовой скоростью. Классическая постановка формулируется в детерминированных пространствах, а в данной работе - в пространствах К-«шумов». Исследуется начально-краевая задача для неоднородного стохастического гиперболического уравнения. Начальные данные являются случайными K-величинами, а функция неоднородности - случайным K-процессом в абстрактной постановке. При рассмотрении приложения функция неоднородности задается как «белый шум». В данной работе под термином «белый шум» понимается первая производная в смысле Нельсона-Гликлиха винеровского К-процесса. Данную задачу можно считать обобщением классической, поскольку производная Нельсона-Гликлиха от детерминированной функции совпадает с классической производной. Результаты, полученные для абстрактного детерминированного гиперболического уравнения, переложены на стохастический случай. Абстрактные результаты применяются к математической модели распространения акустических волн в ограниченной области из Rn с гладкой границей с неоднородностью в виде «белого шума».
Бесплатно
Статья научная
Рассматриваются математические модели пневматической системы, состоящей из трубки, закрытой с одной стороны и открытой с другой. В трубке находится поршень, ограничивающий некоторый объем сжатого газа. Для нахождения параметров движения поршня под действием давления расширяющегося газа строится математическая модель системы несколькими способами: с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений и с помощью уравнений в частных производных. В последнюю включаются такие уравнения, как уравнение движения, уравнение неразрывности и уравнение сохранения энергии, т. е. уравнения газовой динамики. Кроме того, определяются соответствующие краевые условия. При этом учитывается возможный нагрев газа и возможные потери некоторого объема газа сквозь имеющийся зазор между цилиндром и поршнем. Все уравнения, входящие в состав математической модели, приводятся к безразмерной форме. Для выполнения расчетов используются методы конечных разностей и характеристик, при которых все частные производные в уравнениях заменяются конечными разностями в узлах некоторой сетки. По имеющемуся шаблону находится приближенное значение каждого уравнения в каждом узле сетки по пространству, затем происходит переход на следующий временной слой. Расчеты выполняются до тех пор, пока поршень не достиг открытого конца трубы или до тех пор, пока поршень не начал замедляться. Затем проводится сравнение результатов, полученных с помощью рассматриваемых методов, по критериям быстродействия и точности, а также даются рекомендации относительно целесообразности использования каждого метода построения математической модели.
Бесплатно
Математическая модель дизель-генератора переменного тока со статической нагрузкой
Статья научная
Решение задачи технического диагностирования состояния энергетических установок на борту надводных кораблей и неатомных подводных лодок требует применения переносных диагностических комплексов, ключевым элементом которых является математическая модель дизель-генератора. Комплексная математическая модель дизель-генератора представляется как результат объединения математических моделей дизеля и синхронного генератора. Функционирование дизеля моделируется на основе агрегированной базовой математической модели корабельного двигателя внутреннего сгорания, реализованной на примере дизель-генераторной установки неатомной подводной лодки. Математическая модель синхронного генератора реализуется системой дифференциальных уравнений с учетом конструктивных особенностей отдельно взятого генератора, позволяет рассчитывать оценки эталонных характеристик исправных дизель-генераторов в заданных внешних условиях и режимах работы и моделировать характерные неисправности. Применение разработанной математической модели обеспечивает возможность получить количественную оценку и провести категорирование технического состояния дизель-генератора на основе анализа отклонений фактических значений диагностических параметров от эталонных, приведенных к текущим параметрам режима и внешних условий эксплуатации, а также выполнить моделирование возможных неисправностей объекта диагностирования для прогнозирования технического состояния и рисков отклонения от режима нормального функционирования. Результаты моделирования являются основой для автоматизированного формирования рекомендаций по эксплуатации, проведению технического обслуживания и ремонту дизель-генераторов, эксплуатируемых в составе энергетических установок надводных кораблей и неатомных подводных лодок.
Бесплатно
Статья научная
Осуществлена постановка задачи о нагнетании в пористый пласт, изначально заполненный газом и гидратом, теплого газа. Для решения данной задачи разработана математическая модель неизотермической фильтрации газа с учетом диссоциации газового гидрата. Построен алгоритм, в котором используются неявная разностная схема, метод прогонки и метод простых итераций. Предложен метод для расчета гидратонасыщенности, который можно использовать для решения других задач с фазовыми переходами.
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрены вопросы нечеткого представления и манипулирования явными и неявными экспертными знаниями. Предложено использовать нечеткие числа, позволяющие осуществлять описание факторов неопределенности. Разработана новая форма задания симметризованных форм представления нечетких чисел, а также расширенные и дополнительные арифметические операции над ними, сохраняющие исходный уровень нечеткости знаний экспертов и упрощающие процесс их формализации при решении прикладных задач.
Бесплатно
Краткое сообщение
Исследуется напряженное состояние в зоне пластических деформаций менее прочного, чем основной материал, слоя, имеющего форму кольцевого сектора, расположенного в расширяющемся под действием внутреннего давления кольце из более прочного основного материала, в условиях плоской деформации. Ранее такая задача не изучалась. Приближенным интегрированием системы уравнений пластического равновесия в полярной системе координат при использовании гипотезы разделения переменных для касательных напряжений получены аналитические выражения для компонент тензора напряжений и вычислена предельная нагрузка.
Бесплатно
Математическое обеспечение иерархического цифрового управления сложным технологическим объектом
Статья научная
Исследуется вопрос синтеза математического обеспечения иерархического цифрового управления сложным технологическим объектом на основе универсальных контроллеров с гибким программированием. Для преодоления ограничений на быстродействие контроллеров, функционирующих в режиме реального времени, при усложнении законов управления и расширении классов управляемых объектов предложено разделение контроллеров на стратегический, тактический и функционально-логический иерархические уровни. Определены функции и построены алгоритмы обработки данных контроллерами каждого иерархического уровня. Показано, что согласованное функционирование исследуемой системы цифрового управления сводится к обмену данными между контроллерами разных уровней, осуществляемому программно, одинаково для контроллеров всех уровней. Получены зависимости для оценки периода перезапуска управляющих программ, работающих по гамильтонову циклу, а также задержки передачи данных для случая, когда на контроллерах тактического и функционально-логического уровней реализован алгоритм пропорционально-интегрально-дифференцирующего регулятора. Показаны особенности управления режимами функционирования контроллеров тактического и функционально-логического уровней за счет реализации на стратегическом уровне нейронной сети.
Бесплатно
Статья научная
В современных городах вопросы экологии, связанные с автотранспортом, занимают всё более важное место в системе управления городскими транспортными потоками. Наибольшее количество выхлопных газов транспортные средства выделяют при резком изменении режимов движения, которое характерно для регулируемых перекрестков. Заторные ситуации также чаще формируются на перекрестках, когда большое скопление транспорта формирует неблагоприятный экологический фон. Для получения оперативной информации о параметрах интенсивности транспортных потоков применены нейросетевые алгоритмы распознавания транспортных средств из видеопотоков, полученных со стационарных уличных камер наблюдения на городских перекрёстках. Оптимизированный алгоритм работы обученной нейронной сети (YOLOv4) позволяет извлекать и интерпретировать данные о параметрах транспортных потоков в режиме реального времени. В рамках исследования разработаны математические модели, позволившие реализовать мониторинг в режиме реального времени количества и концентрации загрязняющих веществ от автотранспорта в зоне регулируемого пересечения. Расчет количества выделяемых загрязняющих веществ в атмосферу от транспорта реализован с учетом средней скорости, типа транспортного средства и времени простоя в зоне измерения. Предложенная модель с поддержкой данных на основе непрерывного отслеживания и анализа состояния транспортных потоков может служить основой для прогнозирования уровней сложности заторов и оценки экологических рисков.
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрены вопросы разработки математического обеспечения мониторинга состояния и управления режимами эксплуатации систем хранения криогенных продуктов, задачей которого является повышение безопасности и предотвращение потерь при хранении и транспортировке. Большое количество стационарных и транспортных систем хранения криопродуктов, эксплуатируемых на разнородных предприятиях, высокие требования по безопасности и скорости реакции системы на возникающие предаварийные ситуации обусловливают необходимость автоматизации процессов управления режимами хранения с применением технологий искусственного интеллекта. Представлена структура разработанной двухслойной нейронной сети мониторинга состояния и выбора режима хранения криогенных продуктов, включающей нейроны первого слоя, связанные с системой мониторинга, и нейроны второго слоя, выходы которых подключены к входам логических блоков выбора режима функционирования системы хранения. Предложены варианты обработки сигналов нейросети при помощи линейной фильтрации, а также с использованием фильтра, основанного на порядковых статистиках, применение которого целесообразно в условиях импульсных помех в каналах передачи данных от сенсоров к сети мониторинга. Приведено математическое описание процедуры, инициирующей запуск алгоритмов коррекции состояния объекта мониторинга. Разработанная схема может быть использована для широкого спектра стационарных и транспортных систем хранения, в том числе оборудованных холодильной машиной для реконденсации паров криопродуктов.
Бесплатно
Метод интегральных уравнений для векторной обратной задачи
Статья научная
Обсуждается динамическая система, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений. Во многих случаях вместо истинного сигнала, который воспринимается измерительным устройством, на выходе наблюдается искажённый сигнал, существенно отличающийся по структуре, величине и по временным параметрам от истинного. Подобные искажения порождаются принципами работы измерительного устройства, шумами или помехами, содержащимися во входном сигнале, и искажениями, возникающими при работе самого устройства. В этих условиях одной из задач, представляющих значительный интерес для приложений, является т. н. обратная задача - восстановления входного сигнала по имеющейся информации (в том числе и косвенной) о сигнале на выходе системы и оценивание точности получаемых решений. Предлагается метод интегральных уравнений и его численная реализация, позволяющие эффективно восстанавливать входное воздействие на динамическую систему по косвенной экспериментальной информации.
Бесплатно
Статья научная
Описан новый метод выбора закона распределения непрерывной случайной величины из заданного множества моделей распределений. Идея метода состоит в непрерывном отображении эмпирического выборочного распределения на эталонную прямую. Для каждого модельного распределения определяют значение функционала, равного среднеквадратической величине ошибок при отображении на эталонную прямую. В результате в качестве наиболее вероятного закона для исходной выборки выбирают тот, для которого соответствующее значение функционала будет минимальным. Приведены примеры реализации метода с помощью статистических испытаний на основе метода Монте-Карло.
Бесплатно
Метод приграничного слоя для приближенного построения множеств достижимости управляемых систем
Статья научная
Приводится описание метода приграничного слоя, предназначенного для приближенного построения множеств достижимости некоторой динамической системы в n-мерном евклидовом пространстве при наличии фазовых ограничений. Предложенный метод относится к классу сеточных методов и использует подход, при котором в ходе итерационного процесса используются не все точки уже построенных множеств, а лишь точки из их приграничных слоев. Такой подход дает существенный выигрыш во времени счета по сравнению с классическими сеточными методами.
Бесплатно
Метод сопряжённого уравнения в задаче об определении источника диффузии
Статья научная
Объектом исследования работы являются дифференциальные уравнения диффузии (теплопроводности). Предметом исследования является алгоритм определения функции источника или начальных условий задачи по экспериментально измеряемым величинам. В основу исследования положено двойственное представление функционалов, соответствующих экспериментально наблюдаемым величинам в процессах массо- и теплообмена. Обратная задача сформулирована в виде интегральных уравнений первого рода, ядром которых является сопряженная функция (функция ценности), получаемая как решение сопряженного в смысле Лагранжа уравнения диффузии (теплопроводности) с функцией чувствительности детектора в правой части. При этом решение сопряженных уравнений путем замены переменных сводится к решению прямых уравнений. Для регуляризации решения уравнения Вольтерры первого рода, соответствующего задаче восстановления зависимости граничного условия от времени, предложено использовать минимизацию невязки для переопределенной системы линейных уравнений. Задача восстановления зависимости начального условия от координаты сформулирована в виде уравнения Фредгольма I рода, для решения которого применен метод регуляризации Тихонова. Приведены результаты модельных расчётов по восстановлению временной зависимости источников, заданных гладкой функцией, ступенчатой функцией и функцией с гармонической составляющей в задаче об одномерной диффузии в однородной среде. Из этих результатов видно, что при выбранных параметрах расчетов полученные предлагаемым методом решения ведут себя регулярно и обладают вполне приемлемой точностью даже несмотря на то, что значения искомой функции на заданном интервале поиска изменяются на шесть порядков. В этом авторы видят главное отличие предложенного ими метода от других подходов к решению данной задачи
Бесплатно
Статья научная
Для обеспечения стабилизации полета беспилотного летательного аппарата (БпЛА) мультироторного типа необходимо обрабатывать данные с микромеханических датчиков, установленных на борту, и преобразовывать их в управляющие сигналы. В процессе эксплуатации на БпЛА действует множество внешних и внутренних факторов, что приводит к возникновению шумов в данных типах датчиков. Шумы негативно сказываются на работе системы управления аппаратом. Особенно подвержены шумам сигналы гироскопа, на основе которых рассчитываются угловые скорости и углы наклона аппарата относительно оси ординат. Для решения данной проблемы в работе представлен метод фильтрации шумов в сигнале гироскопического датчика для дифференциальной составляющей пропорционально-интегрально-дифференцирующего регулятора (ПИД). Разработанный метод реализован в виде взаимосвязанной адаптивной системы из двух фильтров и позволяет отфильтровать в исходном сигнале гироскопического датчика высокочастотные электрические шумы, вибрации, вызываемые моторами и резонансными колебаниями рамы БпЛА. В ходе проведенных натурных экспериментов метрика сигнал/шум для обработанных данных достигла максимального значения в 8,40 дБ, что значительно лучше по сравнению с другими научными подходами.
Бесплатно
