Математика. Рубрика в журнале - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика
О вложении бэровского пространства В(к) в абсолютные Л-множества
Статья научная
В статье доказывается теорема о вложении бэровского пространства В(k) в абсолютные Б-множества в качестве замкнутого подмножества.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается задача вычисления собственных чисел и собственных функций возмущенного линейного самосопряженного оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным оператором, действующим в сепарабельном гильбертовом пространстве. Для решения задачи применяется метод регуляризованных следов предложенный В.А. Садовничим и В.В. Дубровским и развитый их учениками. Классический метод регуляризованных следов для повышения точности вычислений предполагает вычисление нескольких членов ряда. Сложность вычисления каждого последующего члена ряда нелинейно возрастает. Предлагаемое в работе изменение классического метода приводит к другому ряду, скорость сходимости которого значительно больше, что позволяет уменьшить количество членов ряда используемых в вычислениях. Развивая предложенный метод, в работе приводятся формулы для вычисления коэффициентов Фурье разложения возмущенных собственных функций в ряд по невозмущенным. Для вычисления первых собственных функций используется обратная матрица Вандермонда. Приводятся оценки остатков рядов.
Бесплатно
О грубости и бифуркациях полиномиальных дифференциальных уравнений на окружности
Статья научная
Динамическая система, заданная дифференциальным уравнением на многообразии - фазовом пространстве системы, называется грубой, если топологическая структура фазового портрета не меняется при переходе к близкому уравнению. Понятие грубости возникло из представления, что существенные свойства динамической системы, описывающей реальный процесс, не должны меняться при малых изменениях параметров системы. К настоящему времени получены естественные необходимые и достаточные условия грубости динамических систем на замкнутых многообразиях любой размерности. Однако если грубость рассматривать в более узких классах динамических систем, в частности, в пространстве систем, заданных дифференциальными уравнениями с полиномиальными правыми частями, то условия грубости не исследованы даже для малых размерностей фазового пространства. В настоящей работе рассматриваются динамические системы, заданные дифференциальными уравнениями, правые части которых являются тригонометрическими полиномами степени, не превосходящей натурального числа n. Фазовым пространством таких систем является окружность. Описаны уравнения, грубые относительно пространства E(n) всех таких уравнений. Уравнение является грубым тогда и только тогда, когда его правая часть имеет только простые нули, то есть все особые точки которого - гиперболические. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве E(n). В множестве всех негрубых уравнений выделено открытое и всюду плотное подмножество, состоящее из уравнений первой степени негрубости. Оно является аналитическим подмногообразием коразмерности один в E(n) и состоит из уравнений, для которых все нули правой части простые, за исключением одного двукратного нуля.
Бесплатно
О динамической задаче построения остова полиэдрального конуса
Статья научная
Рассматривается динамическая задача построения остова полиэдрального конуса. Задача состоит в последовательном выполнении операций добавления или удаления неравенств из фасетного описания полиэдрального конуса с соответствующим перестроением остова. Обсуждается возможность применения метода двойного описания для выполнения обеих операций, приводятся оценки трудоемкости. Для операции удаления неравенства анализируется зависимость размера выхода от размера входа.
Бесплатно
О задаче А.А. Гончара для предпоследней промежуточной строки таблицы Паде
Статья научная
Пусть a{z) = b{z) + r(z), где b(z) - аналитическая в круге |z|функция, a r(z) - рациональная дробь, имеющая в данном круге точно Я полюсов. В работе изучается задача А.А. Гончара о влиянии возмущения аналитической функции b(z) рациональной дробью r{z) на сходимость аппроксимаций Паде для (λ - 2) -й строки таблицы Паде мероморфной функции a(z). Оказалось, что в устойчивом случае асимптотическое поведение аппроксимаций Паде для a(z) полностью определяется r(z).
Бесплатно
О задаче Дирихле для нелокального полигармонического уравнения
Статья научная
Исследуются условия разрешимости одного класса краевых задач для нелокального полигармонического уравнения в единичном шаре с условиями Дирихле на границе, порожденного некоторой ортогональной матрицей. Исследованы существование и единственность решения поставленной задачи Дирихле и построена функция Грина. Сначала устанавливаются некоторые вспомогательные утверждения: исследуется обратимость матрицы Вандермонда из корней m-й степени из единицы, затем находятся собственные векторы и собственные числа вспомогательной матрицы, порожденной коэффициентами нелокального оператора задачи и, далее, находится обратная матрица к ней. Для доказательства единственности решения поставленной задачи устанавливается коммутативность граничных операторов и нелокального оператора задачи и показывается, что если решение задачи существует, то это решение - полигармоническая функция. Затем находятся условия единственности решения рассматриваемой задачи. Далее, на основании полученных выше вспомогательных утверждений находятся условия существования решения нелокальной задачи. Решение этой задачи выписывается через решения вспомогательных задач Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре. Наконец, по известной функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре строится функция Грина исходной нелокальной задачи.
Бесплатно
О задаче типа Дирихле в классах квазигармонических функций в круге
Статья научная
Рассматривается краевая задача типа Дирихле в классах квазигармонических функций. Получены условия разрешимости и конструктивный алгоритм решения классической задачи Дирихле в классе квазигармонических функций второго рода в случае, когда носителем краевых условий служит единичная окружность.
Бесплатно
О замкнутых подмножествах в h-однородных пространствах первой категории
Статья научная
В заметке описывается некоторый класс нульмерных метрических пространств, которые можно вложить в качестве замкнутого нигде не плотного подмножества в и-однородное пространство первой категории.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается краевая задача типа задачи Гильберта в классах квазигармонических функций. Разработан метод решения в явном виде однородной задачи Гильберта для квазигармонических функций первого рода в круговых областях. Кроме того, установлено, что картина разрешимости рассматриваемой задачи существенно зависит от того, является ли носителем краевых условий единичная окружность или окружность неединичного радиуса.
Бесплатно
О конечных р-группах с автоморфизмом специального вида
Краткое сообщение
Условие С-замкнутости для нормальных подгрупп в конечных разрешимых группах позволяет выделить класс групп, которые допускают автоморфизм действующий регулярно и неприводимо на минимальных нормальных подгруппах. Получены необходимые и достаточные условия существования таких групп. Кроме того, доказано вспомогательное утверждение из алгебры матриц, имеющее самостоятельный интерес.
Бесплатно
Статья научная
В статье рассматривается непрерывная зависимость решения от параметров краевых задач для уравнения нейтрального типа. При этом краевая задача сводится к операторному уравнению. Функции, на которых определены операторы, заданы на локально компактном пространстве с мерами, определяемыми самими операторами.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается краевая задача типа задачи Римана (задача сопряжения) в классах кусочно квазигармонических функций. Подробно исследуется однородная задача типа задачи Римана в классах кусочно квазигармонических функций второго рода в круговых областях. В частности, в указанном случае для однородной задачи типа задачи Римана разработан явный метод решения, логическая суть которого состоит в сведении решения рассматриваемой однородной задачи к последовательному решению обычной однородной задачи Римана для аналитических функций и двух линейных дифференциальных уравнений Эйлера второго порядка. Кроме того, установлена неустойчивость решений искомой однородной задачи по отношению к изменению величины радиуса рассматриваемой круговой области, а также построена полная картина её разрешимости при различных значениях индекса задачи и величины радиуса круговой области. Доказано, что основной причиной неустойчивости решений однородной задачи типа Римана в классах кусочно квазигармонических функций второго рода в круговых областях по отношению к изменению величины радиуса рассматриваемой круговой области является тот факт, что число линейно независимых аналитических решений однородных дифференциальных уравнений Эйлера, к которым редуцируется исследуемая задача типа Римана, существенным образом зависит от величины радиуса рассматриваемой круговой области.
Бесплатно
О полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка на окружности, не имеющих особых точек
Статья научная
Рассматриваются автономные дифференциальные уравнения второго порядка, правые части которых являются полиномами степени n относительно первой производной с периодическими непрерывными коэффициентами, и соответствующие векторные поля на цилиндрическом фазовом пространстве. Свободный член и старший коэффициент полинома предполагаются не обращающимися в нуль, что равносильно отсутствию особых точек векторного поля. Рассматриваются грубые уравнения, для которых топологическая структура фазового портрета не меняется при малых возмущениях в классе рассматриваемых уравнений. Доказано, что уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все его замкнутые траектории являются гиперболическими. Грубые уравнения образуют открытое и всюду плотное множество в пространстве рассматриваемых уравнений. Показано, что при n > 4 уравнение степени n может иметь сколь угодно много предельных циклов. При n = 4 определяется возможное число предельных циклов в случае, когда свободный член и старший коэффициент уравнения имеют противоположные знаки.
Бесплатно
О продолжении гомеоморфизмов в нульмерных однородных пространствах
Статья научная
Пусть X - нульмерное однородное пространство, удовлетворяющее первой аксиоме счётности. Доказана теорема о продолжении гомеоморфизма g:A → B между счётными непересекающимися компактными подмножествами А и В пространства X до гомеоморфизма f:X → X. Если, дополнительно, пространство X не псевдокомпактно, то гомеоморфизм g можно продолжить до гомеоморфизма f : X → X \ А.
Бесплатно
О различных подходах к решению обратных граничных задач тепловой диагностики
Статья научная
Рассмотрены некоторые задачи тепловой диагностики, сводящиеся к обобщенной задаче, для решения которой был использован метод проекционной регуляризации. Построен алгоритм численного решения задачи. Полученные результаты проверены на модельных примерах.
Бесплатно
О решении в квадратных радикалах алгебраических уравнений малых степеней
Статья научная
Посвящена поиску конструктивных аналитических выражений корней алгебраических уравнений третьей-шестой степени через коэффициенты уравнений. Получены соотношения для коэффициентов, при которых корни уравнений представляются наиболее просто, например, рационально. Даны рациональные выражения для кратных корней. Найдено условие, при котором полином шестой степени в каноническом виде представим произведением полиномов третьей степени в каноническом виде. Особое внимание уделялось символьному выражению корней уравнений через квадратные радикалы из коэффициентов. Предложен способ решения уравнений с помощью определяющих (порождающих, связанных с исходным) уравнений. Все представленные разложения справедливы для полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается задача восстановления граничного условия по дополнительной информации о решении параболического уравнения. Приближенное решение поставленной задачи строится методом вспомогательных граничных условий с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева [1] и с использованием одной из схем апостериорного выбора параметра регуляризации. Получена точная по порядку оценка погрешности построенного приближенного решения на одном из классов равномерной регуляризации.
Бесплатно
О решении граничной обратной задачи для параболического уравнения методом квазиобращения
Статья научная
Рассматривается обратная граничная задача для параболического уравнения. Для построения устойчивых приближенных решений данной задачи используется метод квазиобращения, состоящий в замене исходной задачи задачей для гиперболического уравнения с малым параметром. Получена точная по порядку оценка погрешности данного метода на одном из классов равномерной регуляризации.
Бесплатно
Статья научная
Для полного качественного исследования краевых задач типа Карлемана в классах обобщенных метааналитических функций комплексного переменного существенное значение имеет проблема разрешимости этих задач в явном виде, то есть возможности построения общих решений рассматриваемых задач, используя лишь формулы решения классических краевых задач типа Карлемана для аналитических функций, а также решая конечное число систем линейных алгебраических уравнений и/или линейных дифференциальных уравнений, для которых матрица системы может быть выписана в квадратурах. Рассматривается одна из основных краевых задач типа задачи Карлемана в классах обобщенных метааналитических функций в односвязных областях. Учитывая общее представление обобщенных метааналитических функций с помощью пары аналитических функций комплексного переменного, устанавливается конструктивный алгоритм явного метода решения рассматриваемой задачи в случае, когда носителем краевых условий служит единичная окружность. Доказано, что решение исследуемой краевой задачи в единичном круге сводится к решению двух классических краевых задач типа Карлемана для аналитических функций и некоторой системы алгебраических уравнений. Кроме того, описана полная картина разрешимости рассматриваемой краевой задачи в единичном круге и получены условия ее нетеровости.
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциального уравнения. Устойчивое приближенное решение данной нелинейной некорректно поставленной задачи строится методом проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по схеме М.М. Лаврентьева. Получена точная по порядку оценка погрешности этого метода на одном из классов корректности.
Бесплатно
