Статьи журнала - Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование
Все статьи: 729
О конечном спектре трехточечных краевых задач
Краткое сообщение
Статья посвящена решению одной из проблем Джона Локкера, а именно вопросу, может ли краевая задача для дифференциального уравнения иметь конечный спектр. На задачи такого рода можно смотреть и как на обратные задачи определения коэффициентов дифференциального уравнения по заданному спектру. В работе показано, что если дифференциальное уравнение не имеет кратных корней характеристического уравнения, то тогда спектр соответствующей трехточечной краевой задачи не может быть конечным. Доказательство теоремы основано на том, что соответствующий характеристический определитель представляет собой целую функцию класса К, а так же результатах В.Б. Лидского и В.А. Садовничего, из которых следует, что количество корней характеристического уравнения (если они есть) бесконечно. Если же корни характеристического уравнения являются кратными, то спектр может быть конечным. Более того, существуют краевые задачи с наперед заданным конечным спектром.
Бесплатно
О корректной разрешимости задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения
Статья научная
В работе устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши для обобщенного телеграфного уравнения с переменными коэффициентами, частным случаем которого является классическое телеграфное уравнение. Установление корректной разрешимости математических задач является одним из основных условий при их численной реализации. Как известно, для классического телеграфного уравнения решение задачи Коши находится в классе дважды непрервно дифференцируемой функции и с помощью метода Римана выписывается в явном виде. Однако, при этом вопрос устойчивости решения в зависимости от начальных данных, требующий использования соответствующих метрических пространств в этих работах не обсуждается. Между тем этот вопрос является наиболее важным при корректной численной реализации решения задачи, когда его существование и единственность доказаны. В настоящей заметке методами теории полугрупп линейных преобразований, устанавливается равномерно корректная разрешимость задачи Коши в пространствах функций интегрируемых с экспоненциальным весом для некоторого класса дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Получено точное решение задачи Коши и указаны условия на коэффициенты, при которых задача раномерно корректна в некоторых функциональных пространствах. Следствием из этих результатов является равномерная корректность задачи Коши для классического телеграфного уравнения с постоянными коэффициентами.
Бесплатно
О корректной разрешимости некоторых задач фильтрации в пористой среде
Статья научная
В работе методом теории полугрупп линейных преобразований устанавливается равномерно корректная разрешимость начально-краевых задач для одного класса интегрально-дифференциальных уравнений, рассматриваемых в ограниченной и полуограниченной областях, которые описывают процессы нестационарной фильтрации сжимающей жидкости в пористой среде. Частный случай таких уравнений на полубесконечной прямой с условием Дирихле на границе рассматривался в работе Ю.И. Бабенко. В этой работе требовалось найти градиент давления на границе области. Здесь ответ получен формальным применением дробного интегро-дифференцирования, не затрагивая вопроса о корректной разрешимости и устойчивости решения к погрешностям по исходным данным. При этом решение задачи представляется в виде формального ряда с неограниченным оператором, сходимость которого также не обсуждается. Метод теории сильно непрерывных полугрупп преобразований позволяет установить равномерно корректную разрешимость задач Дирихле и Неймана как для конечных так и бесконечных областей. Это дает возможность в случае задачи Дирихле корректно вычислить градиент давления на границе и значение решения на границе в случае условий Неймана. Здесь же доказана устойчивость решения по начальным данным.
Бесплатно
О криптоанализе системы BBCRS на двоичных кодах Рида - Маллера
Статья научная
В работе рассматривается система система BBCRS - модификация криптосистемы Мак-Элиса, предложенная М. Балди и др. В модификации матрица публичного ключа представляет собой произведение трех матриц: невырожденной -матрицы , порождающей матрицы секретного -кода и невырожденной -матрицы специального вида. Отличие системы BBCRS от системы, предложенной Р. Мак-Элисом, состоит в том, что подстановочная матрица, используемая в системе Мак-Элиса, заменена матрицей , представляющей сумму подстановочной матрицы и матрицы малого ранга . Позже В. Готье и др. построили атаку, позволяющую дешифровать сообщения в случае, когда - обобщенный код Рида - Соломона (ОРС-код) и . Ключевыми этапами построенной атаки являются, во-первых, нахождение пересечения линейных оболочек и , натянутых соответственно на строки матриц и , а во-вторых, нахождение кода по подкоду . В настоящей работе строится атака в случае, когда - двоичный код Рида - Маллера порядка и длины при . В построенной в настоящей работе атаке этапы нахождения кодов и полностью отличаются от соответствующих этапов для ОРС-кодов, а остальные шаги атаки адаптируют известные результаты криптоанализа системы BBCRS на ОРС-кодах.
Бесплатно
О локальной разрешимости линейных эволюционных уравнений с памятью
Статья научная
Доказана локальная однозначная разрешимость задачи Коши для линейного эволюционного уравнения с векториальным оператором и с интегральным оператором памяти в банаховом пространстве. Результат работы проиллюстрирован на примере начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения с частными производными. Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ, грант № 07-01-96030-р_урал_а.
Бесплатно
О моделировании деформаций пластин
Краткое сообщение
Рассматривается эллиптические краевые задачи четвертого порядка, лежащие в основе математических моделей деформаций пластин на упругих основаниях при смешанных краевых условиях четырех теоретически возможных типов. Предлагаются замещения этих задач в вариационной форме на их фиктивные продолжения. Решения последних задач с помощью модификаций методов фиктивных компонент сводятся к решениям задач в прямоугольной области. Приводятся оптимальные оценки сходимости итерационных процессов на непрерывном уровне. При простой дискретизации фиктивно продолженных задач по методу конечных элементов на параболических восполнениях получаются эффективные численные модификации методов фиктивных компонент простые при практической реализации на ЭВМ. Получаемые системы линейных алгебраических уравнений могут оптимально решаться с помощью методов итерационных факторизаций. В итоге предложенные численные методы являются логарифмически оптимальными или оптимальными по количеству арифметических операций, необходимых для достижения задаваемых относительных погрешностей.
Бесплатно
О моделировании с использованием дифференциально-алгебраических уравнений в частных производных
Статья научная
Рассматриваются эволюционные системы дифференциальных уравнений в частных производных, зависящие от одной пространственной переменной. Предполагается, что матрицы перед производными искомой вектор-функции вырожденные во всей области определения. Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) в частных производных. Свойства ДАУ существенно отличаются от свойств невырожденных систем. В частности, невозможно судить о типе систем по виду корней характеристических уравнений. В работе вводится понятие расщепляемых систем. Под такими уравнениями понимаются системы, допускающие существование невырожденных преобразований, расщепляющих исходный объект на подсистемы с единственным решением, функциональным произволом от одной из переменных и собственно невырожденную подсистему уравнений в частных производных. Этот прием позволяет исследовать структуру общих решений ДАУ и в ряде случаев установить разрешимость начально краевых задач.
Бесплатно
О модельных движениях в задаче управления при функциональных ограничениях на помеху
Статья научная
Рассматривается задача управления системой, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением. Предполагается, что значения управления и помехи в каждый момент времени содержатся в некоторых компактных множествах. Предполагается также, что помехи удовлетворяют некоторым дополнительным ограничениям функционального характера, отражающим природу рассматриваемой задачи. Качество управления оценивается функционалом, заданым на множестве фазовых траекторий рассматриваемой системы, и непрерывным в метрике равномерной сходимости. Ранее установлено, что стратегия с полной памятью разрешает данную задачу управления при компактных ограничениях на помеху и при других функциональных ограничениях, которые к ним сводятся. Вместе с тем, построенные для этих случаев стратегии не являлись универсальными, то есть они зависели от начальной позиции движения системы. Также оставался открытым вопрос о возможности разрешения задач управления с функциональными ограничениями в более узком (классическом) множестве стратегий - позиционных стратегий. В данной статье приводится конструкция оптимальной стратегии, использующая в цепи обратной связи вспомогательную модель управляемой системы и обладающая свойством универсальности. Даны примеры, мотивирующие расширение класса разрешающих стратегий до стратегий с полной памятью.
Бесплатно
О направлениях исследований уравнений соболевского типа
Статья обзорная
Статья представляет собой краткий обзор результатов аналитических исследований классов задач для уравнений соболевского типа, полученных научным коллективом в Южно-Уральском государственном университете. В обзор включен ряд результатов по следующем направлениям: исследование разрешимости начальных задач для линейных, полилинейных уравнений соболевского типа и получение условий их устойчивости; исследование разрешимости классов задач для уравнений соболевского типа высокого порядка; исследование разрешимости и единственности начально-конечных задач и задач оптимального управления для уравнений соболевского типа; создание и развитие теории стохастических уравнений соболевского типа; исследование разрешимости задач для уравнений соболевского типа в пространстве К-форм. Получение всех этих результатов базируется на успешном использовании метода фазового пространства и теории вырожденных разрешающих (полу)групп, разработанными профессором Г.А. Свиридюком и развиваемыми его учениками, работающими в университетах нашей страны. Уравнения соболевского типа лежат в основе различных физических, биологических, экономических и других моделей. Краткое изложение совокупности результатов крупного направления современных исследований позволит получить не только актуальное системное представление о нем, но и о дальнейшем его развитии. Статья содержит пять разделов, в библиографию обзора вошли как работы, ставшие базисными для многих последующих результатов, прежде всего численных исследований, так и работы последних лет, которые расширили границы методов теории уравнений соболевского типа.
Бесплатно
О некоторых обратных задачах для математических моделей тепломассопереноса
Статья научная
В настоящей работе рассмотрены вопросы корректности некоторых обратных задач для математических моделей, возникающих при описании процессов тепломассопереноса. По данным первой начально-краевой задачи и условию Неймана на боковой поверхности цилиндра (таким образом, на боковой поверхности цилиндра заданы данные Коши) восстанавливаются решение параболического уравнения второго порядка и коэффициент этого уравнения, принадлежащий ядру некоторого дифференциального уравнения первого порядка и характеризующий параметры среды. Неизвестный коэффициент может в том числе входить и в главную часть дифференциального оператора. Решение уравнения ищется в пространствах Соболева с достаточно большим показателем суммируемости, а неизвестный коэффициент в классе непрерывных функций. Показано, что локально по времени задача имеет единственное устойчивое решение.
Бесплатно
О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов
Статья научная
В теории вырожденных полугрупп операторов существенную роль играют понятия (L, p)-радиального и сильно (L, p)-радиального операторов. В данной работе показано, что в определенных ситуациях каждое из них подразумевает обобщение на случай вырожденных сильно непрерывных полугрупп условий Хилле-Иосиды на инфинитезимальный генератор (С0)-непрерывной полугруппы операторов. Кроме того, получены достаточные условия эквивалентности этих понятий. Аналогичные результаты получены и для (L, p)-секториальных и сильно (L, p)-секториальных операторов в случае вырожденных сильно голоморфных полугрупп. Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ, грант № 07-01-96030-р_урал_а.
Бесплатно
О неустойчивости решений эволюционных уравнений соболевского типа на графе
Статья научная
Исследована устойчивость и разрешимость задачи Коши для уравнений λujt - ujtxx = βujxx - αujxxxx + γuj,, заданных на конечном связном и ориентированном графе с условиями непрерывности и баланса потока в его вершинах.
Бесплатно
О разрешимости обратной задачи нахождения старшего коэффициента в уравнении составного типа
Статья научная
Для уравнений составного типа, называемых также псевдопараболическими уравнениями, исследуется разрешимость обратной задачи нахождения вместе с решением неизвестного коэффициента, зависящего от выделенной временной переменной. В качестве дополнительного условия предлагается условие интегрального переопределения. Доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта N 06-01-00439, и Сибирского отделения РАН, интеграционный проект N 48.
Бесплатно
О разрушении решения нелокального уравнения с градиентной нелинейностью
Статья научная
В данной работе мы продолжим рассмотрение уравнений с градиентными нелинейностями. Мы рассмотрим начально-краевую задачу в ограниченной области с гладкой границей для нелокального по времени уравнения с градиентной нелинейностью и докажем локальную разрешимость в сильном обобщенном смысле, кроме того, мы получим достаточные условия разрушения за конечное время и достаточные условия глобальной во времени разрешимости.
Бесплатно
О распространении слабых сигналов в сплошных средах
Статья научная
Рассматривается метод определения скорости распространения слабых сигналов в различных средах - идеальных, неидеальных (с отличным от нуля девиатором напряжений) и многокомпонентных. Что касается идеальных сред, то формула Лапласа для скорости звука C 2=(dP/dp) s настолько широко применяется во всем мире в течение длительного времени, что она воспринимается как определение скорости звука. В работе показано, что эта формула является не определением, а следствием рассмотрения законов сохранения массы импульса и энергии в случае малых возмущений в среде с произвольным уравнением состояния. Точно такое же рассмотрение в случае упругой изотропной среды позволяет выразить скорости распространения продольных и поперечных малых возмущений через свойства твердого тела. Эти зависимости достаточно хорошо изучены в теории упругости, хотя иногда встречаются работы по механике сплошных сред, содержащие несколько иные, чем общепринятые, связи скоростей продольных и поперечных возмущений с гидродинамической скоростью звука. Их обсуждение в данной статье вызвано необходимостью продемонстрировать общность применяемого метода. Наконец, в случае многокомпонентных сред метод приводит к уравнению для скорости звука смеси, принципиально отличному от широко применяемого. В работе дается обоснование нового уравнения, выражающего скорость звука смеси через скорости звука и концентрации компонентов.
Бесплатно
Статья научная
В настоящее время, при анализе сложных электрических и электронных схем, часто встречаются системы, включающие в себя взаимосвязанные дифференциальные, интегральные и алгебраические уравнения. Алгебраические уравнения отвечают за отличие в моделях балансовых соотношений, в частности, законов сохранения или уравнений состояния, системы дифференциальных уравнений описывают динамику процесса. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения (ИУ). Системы взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений можно записать в виде векторных интегро-дифференциальных уравнений с матрицей неполного ранга в области определения при старшей производной искомой вектор-функции. Численное решение краевых и начальных задач для таких систем сопряжено с большими трудностями. В данной работе обсуждается метод наименьших квадратов и приведены результаты численных расчетов.
Бесплатно
О решении одной обратной задачи, моделирующей двумерное движение вязкой жидкости
Статья научная
Рассматривается обратная начально-краевая задача для линейного параболического уравнения, которая возникает при математическом моделировании двумерных ползущих движений вязкой жидкости в плоском канале. Неизвестная функция времени входит в правую часть уравнения аддитивно и находится из дополнительного условия интегрального переопределения. Поставленная задача имеет два разных интегральных тождества, которые позволяют получить априорные оценки решения в равномерной метрике и доказать теорему единственности. При некоторых ограничениях на входные данные решение построено в виде ряда по специальному базису. Для этого задача путем дифференцирования по пространственной переменной сводится к прямой неклассической задаче с двумя интегральными условиями вместо обычных краевых. Новая задача решается методом разделения переменных, позволяющим найти неизвестные функции в виде быстро сходящихся рядов. Другой, стандартный, метод решения исходной задачи состоит в сведении ее к нагруженному уравнению и первой начально-краевой задаче для него. В свою очередь, эта задача сведена к одномерному по времени операторному уравнению Вольтерры со специальным ядром. Доказано, что оно имеет решение в виде ряда. Установлены некоторые вспомогательные формулы, полезные при численном решении этого уравнения методом преобразования Лапласа. Установлены достаточные условия, при которых решение с ростом времени выходит на стационарный режим по экспоненциальному закону.
Бесплатно
О решениях максимального порядка малости нелинейных уравнений в секториальной окрестности нуля
Статья научная
Рассматривается нелинейное уравнение B(\)x = R(x, X)+b(X), причем R(0,0) = 0, b(0) = 0. Оператор В(λ) не является непрерывно обратимым при А = 0, однако имеет ограниченный обратный при λ Є S, где 5 - некоторое множество, именуемое секториальной окрестностью нуля. Исследуются вопросы существования малых непрерывных решений х(λ) → 0 при S Э λ → 0. Доказаные теоремы предоставляют конструктивный способ построения решения максимального порядка малости.
Бесплатно
О свойствах решений краевой задачи, моделирующей термокапиллярное течение
Статья научная
Исследуется обратная начально-краевая задача, возникающая при математическом моделировании специальных термокапиллярных двумерных движений жидкости вблизи точки экстремума температуры на твердой стенке. Одна из компонент поля скоростей рассматриваемого движения линейно зависит от продольной координаты, что согласуется с квадратичной зависимостью поля температур от этой же координаты. При малых числах Марангони задача аппроксимируется линейной, решение которой находится в явном виде для стационарного течения. Приведены результаты вычисления нулевого и первого приближения решения обратной стационарной задачи. В нестационарном случае решение определяется в виде квадратур в пространстве изображений по Лапласу. Показано, что если температура на твердой стенке стабилизируется с ростом времени, то решение стремится к найденному стационарному режиму. Приведены численные результаты обращения преобразования Лапласа, подтверждающие теоретические выводы на примере моделирования процесса возникновения термокапиллярного движения из состояния покоя в слое трансформаторного масла. Показано, что, выбирая тот или иной тепловой режим на твердой стенке, можно управлять движением жидкости внутри слоя.
Бесплатно
