Статьи журнала - Владикавказский математический журнал
Все статьи: 944
Статья научная
Для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений произвольного порядка, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные определенным положительным степеням частоты, построена с обоснованием полная асимптотика условно периодического решения.
Бесплатно
Асимптотики решений уравнения 3-го порядка в окрестности иррегулярной особой точки
Статья научная
Статья посвящена построению равномерных асимптотик решений уравнения 3-го порядка с голоморфными коэффициентами с произвольной иррегулярной особенностью в пространстве функций экспоненциального роста. В общем виде задача построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестностях иррегулярных особых точек была сформулированна Пуанкаре в его статьях посвященных аналитической теории дифференциальных уравнений. Задача построения асимптотик для уравнений с вырождениями произвольного порядка в случае кратных корней решена только для некоторых частных случаев, например, когда уравнение имеет второй порядок. Основным методом решения задачи для уравнений с вырождениями старших порядков являются метод повторного квантования, основанный на преобразовании Лапласа - Бореля, который был создан для построения асимптотик решений дифференциальных уравнений в окрестности иррегулярных особых точек в случае, когда основной символ дифференциального оператора имеет кратные корни. Задача о построении асимптотик решений уравнений старших порядков значительно сложнее. Для ее решения применяется метод повторного квантования, который не потребовался при решении аналогичной задачи для уравнений 2-го порядка. Здесь решается модельная задача, которая является важным следующим шагом к решению общей проблемы сформулированной Пуанкаре, проблемы построения асимптотик решений в окрестности произвольной иррегулярной особой точки для уравнения произвольного порядка. Задача дальнейших исследований состоит в обобщении метода решения, изложенного в статье на уравнения произвольных порядков.
Бесплатно
Асимптотические модели течения в трубе с податливыми стенками
Статья научная
Для вращательно симметричного безвихревого течения вязкой несжимаемой жидкости в трубе с податливыми стенками (compliant tube) на основе теории мелкой воды (лагранжев подход) построено нелинейное амплитудное уравнение, описывающее поведение конечных возмущений в окрестности волн, распространяющихся вдоль характеристик. Считается, что течение происходит в бесконечной цилиндрической области, имеющей свободную поверхность, на которой выполнены кинематическое и динамические условия с учетом поверхностного натяжения. Характерный размер цилиндрической области в~осевом направлении считается много большим, чем характерный размер в радиальном направлении. Обнаружено, что в случае рассматриваемого безвихревого течения (уравнения Навье - Стокса), уравнения течения не содержат членов, учитывающих вязкость (совпадают с уравнениями идеальной несжимаемой жидкости - уравнениями Эйлера). Влияние вязкости жидкости учитывается лишь за счет динамического краевого условия на границе. Амплитудное уравнение имеет вид уравнения Кортевега-де Вриза - Бюргерса, решение которого достаточно хорошо изучено аналитическими, асимптотическими и численными методами. Вычислены коэффициенты уравнения и, в зависимости от их значений, проведен качественный анализ поведения возмущений. Построенное амплитудное уравнение и возникающие в процессе построения, как главный член асимптотики, квазилинейные гиперболические уравнения, а также уравнения для конечных возмущений, можно использовать для описания течения струи жидкости и/или течения крови в аорте. В принципе, и квазилинейные уравнения, и амплитудное уравнение, и уравнения для конечных возмущений, полученные, как правило, при помощи метода осреднения, известны и широко используются, в частности, для моделирования течения крови. Однако, при конструировании известных моделей при помощи метода осреднения используется большое количество эвристических предположений, зачастую слабо обоснованных. Предлагаемый в представленной работе способ построения моделей математически более корректен и не содержит никаких предположений, кроме сформулированного при постановке задачи требования о безвихревом характере течения и порядке малости параметров (вязкости, поверхностного натяжения). Кроме этого, дано сравнение полученных уравнений с уравнениями метода осреднения и вычислен поправочный коэффициент. С~математической точки зрения, построенные модели течений представляют собой уравнения для определения главного и последующего членов асимптотики.
Бесплатно
Асимптотические свойства многочленов ln,n(x) , ортогональных на произвольных сетках
Статья научная
Пусть Ω={x0,x1,x2,…,xj,…} - дискретная система точек, таких что 0=x0 0 на произвольных сетках, состоящих из бесконечного числа точек полуоси [0,+∞). А именно, установлена асимптотическая формула, в которой при возрастании n вместе с N, асимптотическое поведение этих многочленов близко к асимптотическому поведению ортонормированных многочленов Лагерра L^αn(x).
Бесплатно
Статья научная
Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (x,t) и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.
Бесплатно
Базисность системы Хаара в весовых пространствах Лебега с переменным показателем
Статья научная
Найдены достаточные условия, при которых система Хаара образует базис в весовых пространствах Лебега с переменным показателем.
Бесплатно
Безусловные базисы в радиальных гильбертовых пространствах
Статья научная
ональное в том смысле, что точечные функционалы δz:f→f(z) являются непрерывными при каждом z∈C; 2) пространство H устойчиво относительно деления, т. е. если F∈H, F(z0)=0, то F(z)(z-z0)-1∈H; 3) пространство H радиальное, т. е. если F∈H и φ∈R, то функция F(zeiφ) лежит в H, причем ∥F(zeiφ)∥=∥F∥; 4) полиномы полны в H и ∥zn∥≍eu(n), n∈N∪{0}, где последовательность u(n) удовлетворяет условию u(n+1)+u(n-1)-2u(n)≻nδ, n∈N, для некоторого δ>0. Из условия 1) следует, что каждый функционал δz порождается элементом kz(λ)∈H в смысле δz(f)=(f(λ),kz(λ)). Функция k(λ,z)=kz(λ) называется воспроизводящим ядром пространства H. Базис {ek, k=1,2,…} в гильбертовом пространстве называется безусловным базисом, если найдутся числа c,C>0, такие, что для любого элемента x=∑∞k=1xkek∈H выполняется соотношение c∑∞k=1|ck|2∥ek∥2≤∥x∥2≤C∑∞k=1|ck|2∥ek∥2. В статье излагается метод конструирования безусловных базисов из значений воспроизводящего ядра в таких пространствах. Эта задача восходит к двум тесно связанным между собой классическим задачам: представление функций посредством рядов экспонент и интерполяция целыми функциями.
Бесплатно
Бесконечно малые MG-деформации овалоида
Статья научная
Рассмотрены бесконечно малые деформации замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны, при которых сохраняется поточечно грассманов образ поверхности, а вариация гауссовой кривизны задается как функция на поверхности.
Бесплатно
Борнологии и естественное расширение классoв регулярных элементов в алгебрах операторов
Статья научная
В алгебре непрерывных линейных эндоморфизмов счетно-нормированного пространства рассматривается естественное расширение класса регулярных элементов и показано, что это расширение, называемое классом квазирегулярных элементов, содержит компактные и другие возмущения некоторых обратимых элементов и проекторов. Квазирегулярные элементы имеют сравнительно простые спектральные свойства при дополнительных ограничениях на пространство.
Бесплатно
Варианты метода годографа для решения системы двух квазилинейных уравнений
Статья научная
Строится решение задачи Коши для системы двух квазилинейных однородных уравнений в частных производных первого порядка при помощи метода годографа, позволяющего преобразовать решение квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к решению некоторого линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Показано, что различные варианты метода годографа - стандартного, на основе закона сохранения и обобщенного метода годографа, позволяющие строить решение задачи Коши в неявной форме, в конечном итоге, приводят к одному и тому же результату и отличаются лишь объемом технической работы. Доказательство осуществляется путем вычисления инвариантов Лапласа для канонической формы линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. В случае, когда уравнения допускают явную связь исходных переменных с инвариантами Римана и соответствующее линейное уравнение метода годографа позволяет указать явную форму функции Римана - Грина, описан способ построения явного решения на линиях уровня неявного решения. Задача Коши для системы двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка сводится к задаче Коши для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве примера приведено точное неявное решение для системы слабо-нелинейных уравнений. Все рассмотренные методы и способ построения явного решения можно применять для уравнений гиперболического и эллиптического типов. В случае гиперболических уравнений возможно построение автомодельных и разрывных решений (после добавления условий на разрывах), а также решений многозначных по пространственной координате (если такие решения допускаются постановкой задачи). Несмотря на то, что на заключительном этапе метода задачу Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений приходится решать численно, никаких аппроксимаций уравнений в частных производных, типичных для конечно-разностного метода, метода конечных элементов, метода конечных объемов и т. п. не используется. Метод является точным в том смысле, что погрешность вычислений связана лишь с точностью интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Бесплатно
Векторные аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа
Статья научная
В работе построены векторно-аддитивные схемы для некоторых классов уравнений гиперболического типа, возникающих в теории влагопереноса и в теории волн в релаксирующих средах. Доказаны устойчивость и сходимость разностных схем в классе достаточно гладких решений рассматриваемых уравнений.
Бесплатно
Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса
Статья научная
Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве Rn является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд по собственным функциям оператора Лапласа специального вида. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в Rn, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. При этом для них возникает представление Смита в виде суммы соленоидального векторного поля и бесконечного числа потенциальных векторных полей. Потенциальные векторные поля удовлетворяют уравнению Гельмгольца, связанному с нулями функции Бесселя Jn/2. Целью данной работы является получение локальных аналогов теоремы Смита. Изучаются векторные поля A с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса на областях O в евклидовом пространстве, инвариантных относительно вращений...
Бесплатно
Великий гражданин России (к столетию со дня рождения С. Л. Соболева)
Персоналии
О вкладе С. Л. Соболева в мировую культуру.
Бесплатно
Великий русский геометр XX века
Персоналии
Краткий очерк жизненного пути и научного вклада Александра Даниловича Александрова (1912--1999). Особое место уделено его общенаучным и этическим воззрениям.
Бесплатно
Весовые пространства Фреше целых функций из класса степенных рядов конечного типа
Статья научная
Изучаются весовые пространства Фреше целых функций, задаваемые весовыми последовательностями общего вида. Получены достаточные условия на веса, при которых они обладают топологическими инвариантами Фогта - Вагнера, и, таким образом, относятся к классу пространств степенных рядов конечного типа.
Бесплатно
Взаимодействие цепочки движущихся зарядов с идеальным проводником
Статья научная
Найдено решение уравнений Максвелла, описывающее суммарное электрическое поле, создаваемое точечными зарядами e0, синхронно движущимися друг за другом со сдвигом во времени \tau и постоянной скоростью \overrightarrow{V}, вдоль плоской поверхности массивного идеального проводника на одинаковом удалении z0 от него. Обнаружен эффект усиления взаимодействия произвольного заряда цепочки с металлом при малом значении квадрата σ --- отношения пространственного интервала V·\tau к удвоенному произведению фактора Лорентца γ на расстояние z0 .
Бесплатно
