Статьи журнала - Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика
Все статьи: 1033
Математические модели нелинейной вязкоупругости с операторами дробного интегро-дифференцирования
Статья научная
На основе метода структурного моделирования и гипотезы Больцмана-Вольтерры о наследственно упругом деформируемом твердом теле рассмотрены линейные и нелинейные дробные аналоги классических реологических моделей: Ньютона (так называемая модель Скотт Блэра), Фойхта, Максвелла, Кельвина и Зенера с использованием аппарата дробного интегро-дифференцирования Римана-Лиувилля. Выделены классы нелинейных математических моделей, для которых решение задачи ползучести удается получить в явном виде в терминах известных специальных функций. Разработана методика идентификации параметров предложенных математических моделей на основе экспериментальных данных по одноосному растяжению образцов при различных постоянных уровнях нагрузки. При наличии явных решений задачи ползучести параметры математических моделей определяются из решения задачи аппроксимации экспериментальных значений деформации методом наименьших квадратов с последующим уточнением методом координатного спуска. Для нелинейных математических моделей вязкоупругого деформирования, не позволяющих найти решение задачи ползучести в явном виде, разработана методика определения параметров модели на основе метода координатного спуска с обращением на каждом шаге к численному решению определяющего интегрального уравнения. Методика идентификации параметров моделей с операторами дробного интегро-дифференцирования реализована на примере ползучести поливинилхлоридного пластиката. Приводятся значения параметров для всех исследуемых моделей, выполнена проверка их адекватности экспериментальным данным, анализируются погрешности отклонения расчетных данных от опытных значений. В качестве примера выполнен сравнительный анализ относительной погрешности аппроксимации экспериментальных кривых ползучести и теоретических значений деформации в рамках линейного, нелинейного интегрируемого и нелинейного неинтегрируемого дробных аналогов модели Кельвина. Обсуждаются вопросы целесообразности использования моделей вязкоупругого деформирования с операторами дробного интегро-дифференцирования на основе сопоставления расчетов по рассмотренным моделям с данными расчетов по моделям вязкоупругости с целочисленными операторами интегро-дифференцирования.
Бесплатно
Математические модели ростового деформирования
Статья научная
В настоящее время биология и медицина становятся одними из самых привлекательных областей применения математики. Для исправления некоторых патологий развития у детей первостепенными являются вопросы моделирования роста живой ткани и управления ростом. В процессе роста само растущее тело испытывает деформацию, что определяет принципиальное отличие механики растущих тел от классической механики тел постоянного состава. В работе представлен анализ публикаций, в которых предложены различные модели механизма биологического роста живых тканей. Кратко проанализировано понятие биологического роста. Рассмотрены основные принципы моделирования роста и выделены основные направления, в рамках которых разработаны те или иные модели объемно-растущей ткани. Авторы приводят следующую классификацию моделей роста живой ткани: модели, основанные на гипотезе о влиянии на рост ткани внутриклеточного давления как стимулирующего фактора; модели многофазных сред, так называемые mixture theory ; модели, основанные на гипотезе о влиянии остаточных напряжений на рост ткани как стимулирующего фактора; модели, связывающие зависимость скорости роста от механических напряжений, известную из наблюдений и экспериментов. На основе анализа литературных данных выделены факторы, влияющие на рост живой ткани. Таковыми являются химический состав, концентрация, транспорт и напряжения в материале тела. Напряжения являются существенным фактором, оказывающим влияние на рост. Практическая ценность механической модели ростового деформирования обусловлена возможностью широкого ее применения для описания нормального и патологического роста твердых тканей организма человека. В таком случае с точки зрения механики становится возможным моделирование и управление ростом.
Бесплатно
Математическое моделирование деформирования композитов с учётом термодиффузии
Статья научная
Строится модель теории пластичности с учетом термодиффузии. В качестве примера рассмотрена проблема расстройки составной полосы.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается инновационная идея снижения аэродинамического сопротивления летательного аппарата путем формообразования в полете кормового обтекателя предпочтительной геометрии на базе пластического деформирования гофрированной тонкостенной оболочки газодинамическим воздействием. Дано математическое описание сопряженных импульсных газодинамического и деформационного процессов, составляющих физическую суть формообразования кормового обтекателя в полете, с учетом теплового воздействия. Представлен алгоритм численного моделирования указанных совместно протекающих процессов. Адекватность результатов, получаемых с использованием разработанного инструментария исследования, подтверждена на базе сопоставления данных численного моделирования с данными натурных экспериментов. В режиме численного эксперимента дано обоснование предпочтительных вариантов технических решений, реализующих указанный принцип полетной трансформации. В частности, показано, что оболочка с коаксиальным расположением гофр является более предпочтительной, чем с радиальным расположением. При этом представлен вариант крепления мембраны, обеспечивающий наиболее удобообтекаемую форму при раскрытии оболочки. Предложено два пути совершенствования формы обтекателя: за счет изменения исходных геометрических параметров гофрированной оболочки и варьирования деформирующего воздействия. Наилучшая форма получена при создании комбинированного усилия, последовательно трансформирующего сначала центральную, а затем периферийную области гофрированной оболочки. Также в работе показано перспективное направление, базирующееся на формировании оболочки специальной газовой струей. В целом на базе совокупности проведенных исследований доказана принципиальная возможность получения на борту летательного аппарата в процессе импульсного деформирования гофрированной оболочки кормового обтекателя заданной геометрической формы, оптимальной с точки зрения уменьшения аэродинамического сопротивления.
Бесплатно
Статья научная
Выполнено комплексное расчетно-экспериментальное исследование остаточных напряжений в призматических образцах из сплава ЭП742 после ультразвукового упрочнения и температурной выдержки без нагрузки при температуре 650 °С в течение 100 часов. Выяснены закономерности распределения остаточных напряжений по толщине поверхностно-упрочненного слоя. Экспериментально установлено, что обработка ультразвуковым упрочнением образцов вызывает появление в поверхностном слое сжимающих остаточных напряжений, максимум которых наблюдается в подповерхностном слое, а спад - к поверхности. При температурной выдержке происходит релаксация наведенных сжимающих остаточных напряжений, уровень остаточных напряжений уменьшается в 1,4-1,6 раз и происходит смещение их максимума вглубь образца, однако толщина сжатого слоя сохраняется на уровне 200 мкм. Разработана математическая модель формирования остаточных напряжений в призматических образцах после поверхностного пластического деформирования и их релаксации в условиях высокотемпературной ползучести материала. Поскольку упрочненный слой достаточно тонкий, то для призматического образца в качестве модельного объекта использовано упрочненное полупространство. Для решения задачи введена декартова система координат: плоскость x 0 y совмещена с упрочненной поверхностью полупространства, а ось 0 z направлена по глубине упрочненного слоя. Введены гипотезы плоских сечений, параллельных плоскостям x 0 y и y 0 z. Теоретически показано, что релаксация остаточных напряжений может быть связана с ползучестью материала при температуре испытаний в условиях неоднородного напряженно-деформированного состояния. Задача ползучести упрочненного полупространства решена численно. Выполнена обстоятельная экспериментальная проверка математической модели при нормальной температуре и в условиях высокотемпературной ползучести при четырех режимах ультразвукового упрочнения, отличающихся длительностью ультразвуковых колебаний в зоне обрабатываемой микрошариками поверхности детали. Наблюдается удовлетворительное соответствие расчетных и экспериментальных данных.
Бесплатно
Математическое моделирование многокомпонентных деформируемых сред
Статья научная
Основные постулаты механики сплошной среды обобщаются на случай многокомпонентной среды. Даны интегрированные утверждения постулатов и дифференциальных следствий из них.
Бесплатно
Статья научная
Предложена феноменологическая математическая модель реконструкции напряженно-деформированного состояния в поверхностно упрочненной втулке с внутренним диаметром 45 мм и внешним - 51,5 мм из стали ЭИ961 (13Х11Н2В2МФ) после алмазного выглаживания внешней поверхности. Показано, что если все компоненты тензора напряжений зависят лишь от радиуса, то в цилиндрической системе координат компоненты Экспериментальные исследования выполнены для образцов, которые упрочнялись при двух режимах нагрузки (радиальное усилие) алмазного сферического наконечника величиной в 200 и 300 Н. Методом колец и полосок с использованием процедуры послойного электрохимического травления упрочненного слоя определены экспериментальные значения остаточных напряжений σθ, σ z и τθz в приповерхностном слое. Для этой цели использовались экспериментально измеряемые величины прогиба балки-полоски, угловое раскрытие разрезанного кольца и осевое смещение берегов разреза относительно друг друга. В математическую модель введен параметр анизотропии упрочнения, связывающий осевую и окружную компоненты пластической деформации. При решении поставленных задач используются гипотезы пластической несжимаемости материала, отсутствия вторичных пластических деформаций материала в области сжатия приповерхностного слоя, а также гипотезы плоских сечений и прямых радиусов. Изложена методика решения данного типа краевых задач реконструкции напряженно-деформированного состояния, позволяющая определить недостающую компоненту σ r и все компоненты тензора остаточных пластических деформаций. Выполнена проверка адекватности расчетных данных, полученных с использованием математического моделирования, экспериментальным данным для обоих режимов упрочнения. Наблюдается соответствие расчетных и экспериментальных данных. Приведены численные значения для параметра анизотропии упрочнения, при помощи которого удается теоретически описать наблюдаемое экспериментальное расслоение осевых и окружных напряжений по глубине упрочненного слоя. Экспериментально и теоретически установлено, что модули (абсолютные величины) максимальных касательных напряжений почти на порядок меньше максимальных нормальных напряжений. Обсуждаются вопросы влияния касательных напряжений на процессы многоцикловой усталости и ползучести упрочненных втулок. Основные результаты работы иллюстрируются табличными данными и соответствующими эпюрами распределения остаточных напряжений по глубине упрочненного слоя.
Бесплатно
Статья научная
Рассматривается проблема решения связанных задач механики применительно к моделированию остаточных напряжений при нестационарных тепловых воздействиях. Объектом исследования является технология электромеханической обработки в приложении к титановым псевдо-α-сплавам, которые при локальном тепловом воздействии на поверхностный слой изменяют свой фазовый состав в связи с мартенситным фазовым переходом. Приведена математическая постановка, рассмотрены особенности и методы решения связанной термосиловой контактной задачи с учетом фазовых превращений, протекающих при высокоскоростном охлаждении. Показаны основные этапы построения необходимых определяющих соотношений. Приведены соответствующие соотношения теории пластического течения в скоростной форме в рамках изотропно-трансляционной модели упрочнения, рассмотрены вопросы интегрирования данных соотношений. Показана методика определения нестационарной зоны контакта абсолютно жесткого штампа и деформируемого полупространства. Отдельно рассмотрены основные этапы линеаризации используемого вариационного уравнения. В рамках разработанного алгоритма проведена серия вычислительных экспериментов, моделирующих температурно-силовое воздействие на титановый псевдо-α-сплав Ti6Al2V применительно к технологии импульсного термосилового поверхностного упрочнения. Установлено, что электромеханическая обработка поверхности титановых сплавов приводит к формированию в поверхностном слое дискретно структурированных областей остаточных напряжений, что связано, с одной стороны, с импульсным воздействием источника тепла (синусоида), а с другой стороны, с дискретностью формирующейся мартенситной структуры. Показана значительная роль деформационной составляющей воздействия на материал при формировании остаточных напряжений, в частности, установлено, что при увеличении усилия на инструменте с 10 до 250 Н величина растягивающих остаточных напряжений уменьшается в 3 раза.
Бесплатно
Статья научная
Исследовано влияние масштабных характеристик дисперсных частиц на деформационное упрочнение в материалах с матрицей FCC. Используется математическая модель, включающая дифференциальные уравнения баланса дислокаций разного типа. Показано, что пластический сдвиг в материалах, отверждаемых дисперсией, может образовываться движением одиночных дислокаций или генерированием большого количества дислокаций в зоне скольжения.
Бесплатно
Статья научная
Изложена математическая модель пластической деформации скольжением для гетерофазных материалов с некогерентной упрочняющей фазой, включающая уравнения баланса сдвигообразующих дислокаций, дислокаций в дипольных конфигурациях вакансионного и межузельного типа, дислокаций в призматических петлях вакансионного и межузельного типа, межузельных атомов, би- и моновакансий и уравнение, связывающее скорость деформации, напряжение и плотность дислокаций. Приведены результаты расчетов для пластической деформации с постоянной скоростью деформирования в дисперсно-упрочненном материале на основе меди.
Бесплатно
Математическое моделирование процесса прямого отжима масличной культуры
Статья научная
В качестве объекта исследования выступала смесь измельченных зерен масличной культуры, пропитанных маслом, подвергавшихся деформированию при плунжерном прессовании. Целью моделирования было определение скорости оттока растительного масла при заданных условиях нагружения. Обрабатываемый материал в этой модели был представлен двухфазной смесью. Первой фазой был жмых масличной культуры, игравший роль пористого скелета. Растительное масло, насыщающее пористый скелет, являлось второй фазой среды. Для описания поведения материала был применен подход динамики многофазных сред. Для каждого из компонентов смеси были составлены балансовые уравнения. Фильтрация была описана введением силы межфазного взаимодействия. На основе проведенных ранее исследований для описания свойств пористого скелета и масла была использована модель вязкой жидкости. Вязкость пористого скелета предполагалась зависящей от давления. Численное решение задачи было выполнено в двумерной постановке для среднего сечения камеры отжима с применением метода конечных элементов. В качестве основных неизвестных величин выступали поля скорости и давления компонентов смеси. В соответствии с распространенным в подземной гидродинамике подходом пористость материала предполагалась зависящей от эффективного давления пористого скелета. Дискретизация области проводилась с помощью четырехугольных девятиузловых конечных элементов с линейным и квадратичным порядком аппроксимации полей давления и скорости соответственно. В полученных решениях распределение содержания масла по длине камеры отжима проявляет нелинейность при высоких внешних нагрузках. Также было показано, что значительное влияние на расход отжатого масла оказывает изменение пористости в процессе прессования.
Бесплатно
Статья научная
Данная статья посвящена определению наиболее рациональной геометрии кабельной головки, позволяющей эффективно распределять потоки расплавов полимеров в каналах; оценке стабильности границ раздела потоков материалов с различными физико-реологическими свойствами для технологических диапазонов режимов переработки; расчету и построению полей скоростей, давлений, температур внутри каналов кабельной головки; экспериментальному определению зависимостей толщин накладываемых слоев изоляции и полупроводящих материалов от линейной скорости протяжки жилы и расходов для каждого канала. При моделировании процессов использовалась кабельная головка для совместного наложения трех слоев полимерного покрытия (слой полупроводящего экрана по жиле, изоляция, внешний полупроводящий экран), применяемая в производстве современных электрических кабелей среднего и высокого напряжения. Для анализа процессов тепломассопереноса в условиях стратифицированного течения в каналах кабельной головки реальные физические процессы были заменены математической моделью, представляющей собой систему нелинейных дифференциальных уравнений, отражающих основные законы сохранения. Система была дополнена граничными условиями и физико-реологическими свойствами перерабатываемых материалов. С целью упрощения модели предложен ряд допущений, позволивших, в частности, перейти к осесимметричной постановке задачи. Для решения сформулированной математической модели был применен численный метод, а именно метод конечных элементов, программно реализованный посредством комплекса Ansys. На основе полученных результатов была разработана более эффективная геометрия кабельной головки, устраняющая эффекты завихрения потоков полимера; получены распределения скоростей, давлений и температур в каналах кабельной головки; представлены возможные перегревы материала внутри каналов; оценено влияние некоторых технологических параметров процесса наложения многослойной полимерной изоляции на толщины изолирующих слоев.
Бесплатно
Статья научная
Для построения теории, адекватно описывающей эффекты циклических нагружений, вначале анализируется экспериментальная петля пластического гистерезиса нержавеющей стали SS304, и на ней выделяются три типа микронапряжений, отвечающих за смещение центра поверхности нагружения. Для каждого типа микронапряжений формулируются эволюционные уравнения и на их основе уравнения теории пластического течения при комбинированном упрочнении. Выделяются материальные функции, замыкающие теорию, формулируется базовый эксперимент и метод идентификации материальных функций. Вычисление работы микронапряжений различных типов на поле пластических деформаций при циклических нагружениях с различными размахами деформации вплоть до экспериментальных значений количества циклов до разрушения, показало, что работа микронапряжений второго типа является универсальной характеристикой материала. Этот результат позволил сформулировать кинетическое уравнение накопления повреждений, на основе которого были рассмотрены процессы нелинейного накопления повреждений. Для определения материальных функций, отвечающих за разрушение, сформулирован базовый эксперимент и метод идентификации. Приведены материальные функции для нержавеющей стали SS304. Исследованы процессы упругопластического деформирования нержавеющей стали SS304 при нестационарных жестких режимах циклического нагружения при блочном изменении амплитуды и средней деформации цикла. Рассматриваются также процессы мягкого нестационарного и несимметричного циклического нагружения (ratcheting) при блочном изменении амплитуды и среднего напряжения цикла. Результаты расчетов сопоставляются с результатами экспериментов. Расчетные исследования нелинейных процессов накопления повреждений и малоцикловой усталости нержавеющей стали SS304 проводятся при симметричном жестком циклическом нагружении как при постоянной амплитуде деформации, так и при блочном изменении амплитуды деформации. Результаты расчетов показывают, что с уменьшением размаха деформации нелинейность процесса накопления повреждений возрастает, а с увеличением размаха деформации процесс накопления повреждений стремится к линейному. Наблюдается существенное отклонение от правила линейного суммирования повреждений при удовлетворительном соответствии результатов расчетов и экспериментов. Новыми результатами работы являются: - выделение на основе анализа экспериментальной петли пластического гистерезиса микронапряжений трех типов, отвечающих за кинематическое упрочнение; - установление на основе анализа экспериментальных результатов универсальности работы микронапряжений второго типа при малоцикловой и многоцикловой усталости; - построение на основе эволюционных уравнений для трех типов микронапряжений теории пластического течения при комбинированном упрочнении и кинетических уравнений накопления повреждений; - формулировка процедуры идентификации материальных параметров и проведение верификации предлагаемого варианта теории.
Бесплатно
Статья научная
Представлена математическая модель пластической деформации ГЦК-материалов, включающая систему дифференциальных уравнений баланса деформационных дефектов, и пакет прикладных программ для ее реализации. Приведены результаты исследования закономерностей пластического поведения ГЦК-металлов в условиях изменяющейся скорости деформирования.
Бесплатно
Статья научная
Разработана математическая модель пьезоэлектролюминесцентного оптоволоконного датчика давления, в котором механолюминесцентный эффект возникает в результате взаимодействия электролюминесцетного и пьезоэлектрического покрытий поверх оптоволокна. Разработан алгоритм нахождения функции распределения давления по длине трехфазного оптоволоконного датчика по результатам замеряемой на торцевом сечении датчика интенсивности исходящего из оптоволоконной фазы света для случая нелинейной «функции свечения» - зависимости интенсивности света от действующего на электролюминофор электронапряжения; задача сведена к решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с разностным ядром, зависящим от рассчитываемых эффективных параметров датчика и от производной заданной функции свечения электролюминофора. Получено аналитическое решение для функции плотности вероятностей распределения давления для частного случая, когда ядро выражается через дельта-функцию и интегральное уравнение Фредгольма сводится к алгебраическому. Для иллюстрации алгоритма решены «прямая» и «обратная» задачи интегрального уравнения Фредгольма для случая нелинейной функции свечения электролюминофора: в прямой задаче найдена производная интенсивности света на выходе оптоволокна от управляющего напряжения для заданного равномерного закона функции плотности вероятностей распределения давления, в обратной задаче определялась функция плотности вероятностей в сравнении с известным точным решением с использованием решения прямой задачи для производной интенсивности света. Численное решение обратной задачи осуществлено в различных приближениях, в которых распределение узловых точек внутри интервалов и искомые узловые значения функции плотности вероятностей давления находили из условия минимизации суммарных невязок по заданным и рассчитываемым на каждом шаге значениям производной интенсивности света по управляющему напряжению на выходе оптоволокна.
Бесплатно
Статья научная
В трехмерной постановке рассматривается процесс нестационарного деформирования конструкции реактора на быстрых нейтронах с жидким теплоносителем в условиях постулируемой запроектной аварии типа ULOF (Unprotected Loss of Flow). Под этой аварией понимается расплавление активной зоны, вызванное отключением главных циркуляционных насосов первого контура с сопутствующим несрабатыванием аварийной защиты. В результате расплавления активной зоны реактора образуется область энерговыделения с повышенным уровнем давления, заполненная парами натрия. Прогрессирующее расширение области энерговыделения в теплоносителе приводит к росту уровня напряженно-деформированного состояния корпуса реактора и может привести к его разрушению. В этих условиях реакторная установка должна сохранять герметичность, обеспечивать локализацию последствий запроектной аварии внутри силового корпуса и не допускать опасного радиационного воздействия на персонал атомной станции и окружающую среду. Для описания движения теплоносителя и конструктивных элементов реактора применяется текущая лагранжевая формулировка. Уравнение движения выводится из баланса виртуальных мощностей. В качестве физических соотношений для металлов применяются уравнения теории пластического течения. В теплоносителе девиаторные компоненты напряжений полагаются равными нулю, а связь между гидростатическим давлением и плотностью берется в виде уравнения состояния квазиакустического типа. Контакт теплоносителя с конструктивными элементами реактора моделируется условиями непроникания. Решение задачи основывается на моментной схеме метода конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа «крест», реализованных в рамках вычислительной системы «Динамика-3». Численно исследуется изменение напряженно-деформированного состояния корпуса реактора на быстрых нейтронах в условиях запроектной аварии типа ULOF. Анализируется возможность локализации последствий запроектной аварии внутри силового корпуса реактора.
Бесплатно
Статья научная
Разработана математическая модель реконструкции полей остаточных напряжений и пластических деформаций в тонкостенных цилиндрических трубках в состоянии поставки и после двухстороннего поверхностного пластического упрочнения, включающая методику идентификации параметров модели на примере тонкостенных трубок мм из стали Х18Н10Т на основе экспериментальных данных для осевой и окружной компонент тензора остаточных напряжений для образцов в состоянии поставки и после двухстороннего механического ультразвукового упрочнения. Выполнена проверка адекватности математической модели реконструкции остаточных напряжений в тонкостенных трубках из стали Х18Н10Т экспериментальным данным в состоянии поставки и после двухстороннего поверхностного пластического упрочнения с учетом анизотропии распределения пластической деформации после упрочнения в осевом и окружном направлениях. Разработана методика расчета двухсторонней релаксации остаточных напряжений на внешней и внутренней поверхностях тонкостенных трубок в условиях ползучести на основе обобщения соответствующей методики при одностороннем упрочнении. Исследован процесс релаксации в тонкостенных трубках из стали 08Х18Н9 (ранний аналог стали Х18Н10Т) в условиях термоэкспозиции, осевого растяжения, внутреннего давления и совместного действия осевого растяжения и внутреннего давления при температуре 600 °С на основе построенной феноменологической теории ползучести для этой стали. Выполнен детальный анализ кинетики полей остаточных напряжений при ползучести в тонкостенных образцах в состоянии поставки и после двухстороннего упрочнения в различные моменты времени. Показано, что в этих условиях происходит практически полная релаксация остаточных технологических напряжений как в образцах в состоянии поставки, так и после двухстороннего поверхностного пластического деформирования в течение 50 часов.
Бесплатно
Математическое моделирование сопряженной задачи кристаллизации и гидродинамики на адаптивной сетке
Статья научная
Наблюдается математическая формулировка сопряженной задачи для кристаллизации и гидродинамики в координатах относительно криволинейной границы кошения фазового перехода. Представлен алгоритм численной реализации. Компьютерные результаты случая в прямоугольной области на сетке с минимизированными делениями сравниваются с экспериментальными данными о кристаллизации воды в условиях конвекции без жидкой фазы.
Бесплатно
Статья научная
ассмотрено аналитическое решение технологической проблемы давления полосы в изотермических условиях в области температурной сверхпластичности. В зависимости от найденного вида разрешающей функции определены значения скоростей деформаций и деформаций, рассчитываются компоненты напряжений и энергетическое давление. Установлены энергетическая и кинематическая характеристики, обеспечивающие изготовление полуфабриката с качественными структурными показателями.
Бесплатно
Математическое моделирование установившейся фильтрации с многозначным законом
Статья научная
Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой высоковязкой жидкости, следующей многозначному закону фильтрации. Обобщенная постановка данной задачи формулируется в виде смешанного вариационного неравенства с монотонным оператором и сепарабельным, вообще говоря, недифференцируемым функционалом в гильбертовом пространстве. К данной задаче сводится задача об определении границ предельно равновесных целиков остаточной вязкопластической нефти. Установлены свойства оператора, входящего в это неравенство (обратная сильная монотонность, коэрцитивность), а также свойства функционала (липшиц-непрерывность и выпуклость). Это дало возможность применить для доказательства теоремы существования известные результаты теории монотонных операторов. Для решения вариационного неравенства предложен итерационный метод, не требующий обращения исходного оператора. Каждый шаг итерационного процесса сводится фактически к решению краевых задач для оператора Лапласа. Исследование сходимости итерационного процесса удалось провести благодаря сведению его к методу последовательных приближений для отыскания неподвижной точки некоторого оператора (оператора перехода). Получена связь решения исходного вариационного неравенства с компонентами неподвижной точки этого оператора перехода. Доказано, что оператор перехода является нерастягивающим, сверх того, получено неравенство, более сильное, чем неравенство нерастягиваемости. Установлено также, что оператор перехода является асимптотически регулярным. Это и позволило доказать слабую сходимость последовательных приближений. Проведено исследование сходимости итерационного процесса. Метод был реализован численно. Проведенные для модельных задач численные эксперименты подтвердили эффективность итерационного метода. Следует отметить, что предложенные методы позволяют находить приближенные значения не только самого решения, но и его характеристик, для задач фильтрации – это приближенные значения градиента решения, а также приближенные значения скоростей фильтрации на множествах, соответствующих точкам многозначности в законе фильтрации, что весьма полезно с практической точки зрения.
Бесплатно
