Статьи журнала - Владикавказский математический журнал
Все статьи: 883
Парные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами
Статья научная
Рассматриваются парные многомерные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами, действующие в Lp-пространствах. Для таких операторов определен символ, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия обратимости операторов.
Бесплатно
Статья научная
В пространстве Lp(Rn), где 1⩽p⩽∞, рассматривается оператор B, представляющий собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое - это парный многомерный интегральный оператор, ядра которого однородны степени (-n) и инвариантны относительно группы вращений пространства Rn, а второе слагаемое - сходящийся по операторной норме ряд, составленный из многомерных операторов мультипликативного сдвига с комплексными коэффициентами. На ядра и коэффициенты оператора B накладываются некоторые дополнительные условия, обеспечивающие его ограниченность в пространстве суммируемых функций. Основная цель работы заключается в исследовании обратимости оператора B. Для решения этой задачи применяется специальный метод, позволяющий осуществить редукцию многомерного парного оператора к бесконечной последовательности одномерных парных операторов Bm, где m∈Z+. Показано, что оператор B обратим в том и только в том случае, когда обратимы все операторы Bm, где m пробегает все значения от нуля до некоторого конечного числа m0. В свою очередь, операторы Bm сводятся к интегрально-разностным операторам свертки, теория которых хорошо известна. Все это позволило для рассматриваемого оператора B определить символ, который представляет собой пару функций (β1(m,ξ),β2(m,ξ)), заданных на множестве Z+×R. Если символ является невырожденным, то естественным образом определяются вещественное число ν и целые числа ϰm, где m∈Z+, называемые индексами. Основной результат работы - критерий обратимости в пространстве Lp(Rn) многомерного парного оператора B. Согласно этому критерию, оператор B обратим тогда и только тогда, когда его символ является невырожденным, а все его индексы равны нулю.
Бесплатно
Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения
Статья научная
При определенном условии на коэффициенты, входящие в рассматриваемое уравнение, в работе найдено условие однозначной разрешимости первой краевой задачи для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Единственность решения задачи доказана методом Трикоми, а существование - методом интегральных уравнений. Решения, получающиеся относительно следа от искомого решения интегральных уравнений, найдены и выписаны в явном виде. Показано, что в случае, когда нарушено условие теоремы, однородная задача, соответствующая исследуемой задаче 1 имеет бесконечное множество линейно-независимых решений.
Бесплатно
Статья научная
Работа посвящена изучению дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемым потенциалом и периодическими граничными условиями. Метод изучения операторов с суммируемым потенциалом является развитием метода изучения операторов с кусочно-гладкими коэффициентами. Краевые задачи такого рода возникают при изучении колебаний балок и мостов, склеенных из материалов различной плотности. Решение дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор, сведено к решению интегрального уравнения Вольтерры. Интегральное уравнение решается методом последовательных приближений Пикара. Целью исследования интегрального уравнения является получение асимптотических формул и оценок для решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Вопросы геофизики, квантовой механики, кинетики, газодинамики и теории колебаний стержней, балок и мембран требуют развития асимптотических методов на случай негладких коэффициентов дифференциальных уравнений. Асимптотические методы продолжают развиваться, несмотря на бурное развитие численных методов, связанное с появлением мощных суперкомпьютеров, в настоящее время асимптотические и численные методы дополняют друг друга. В статье при больших значениях спектрального параметра получена асимптотика решений дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. Асимптотические оценки решений устанавливаются аналогично асимптотическим оценкам решений дифференциального оператора второго порядка с гладкими коэффициентами. Изучение периодических граничных условий приводит к изучению корней функции, представленной в виде определителя четвёртого порядка. Для получения корней этой функции изучена индикаторная диаграмма. Корни этого уравнения находятся в четырех секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. В статье исследовано поведение корней этого уравнения в каждом из секторов индикаторной диаграммы. Найдена асимптотика собственных значений изучаемого дифференциального оператора. Полученные формулы для асимптотики собственных значений позволяют изучить спектральные свойства собственных функций исследуемого дифференциального оператора. Если потенциал оператора будет не суммируемой функцией, а только кусочно гладкой, то полученных формул для асимптотики собственных значений достаточно для вывода формулы первого регуляризованного следа изучаемого дифференциального оператора.
Бесплатно
Периодические и ограниченные решения уравнения второго порядка
Статья научная
В работе исследуются вопросы о существовании периодических или ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка вида y′′+g(y,y′)=f(t,y,y′). Здесь функция g(y,z) - непрерывная и положительно однородная первого порядка, а f(t,y,z) - непрерывная функция, определенная при всех значениях t, y, z и удовлетворяющая условию малости по отношению |y|+|z| на бесконечности. Для данного уравнения вопросы существования априорной оценки, периодических решений вслучае периодической по t функции f(t,y,z), и ограниченных решений в случае лишь ограниченности поt функции f(t,y,z), тесно связаны с качественным поведением решения однородного уравнения y′′+g(y,y′)=0. Поэтому, на первом этапе представляется важным исследование характера поведения траектории эквивалентной однородному уравнению системы. Перейдя к полярным координатам, получим формулы представления решения системы, которые позволяют описать полную классификацию всевозможных фазовых портретов решения системы в терминах свойства функции g(y,y′). В частности, получены условия отсутствия ненулевых периодических или ограниченных на всей оси решений. Задача существования периодических решений исходного уравнения эквивалентна существованию решений интегрального уравнения в пространстве C[0,T]-непрерывных на отрезке [0,T] функций. В свою очередь, интегральное уравнение порождает вполне непрерывное векторное поле в пространстве C[0,T], нули которого определяют решение интегрального уравнения. Получены формулы для вычисления вращения векторного поля на сферах достаточно большого радиуса пространства C[0,T]. На основе полученных результатов найдены условия существования периодических и ограниченных решений неоднородного уравнения. Отметим, что полученные результаты доведены до расчетных формул.
Бесплатно
Периодические траектории нелинейных моделей кольцевых генных сетей
Статья научная
Статья посвящена качественному анализу двух динамических систем, моделирующих функционирование кольцевых генных сетей. Уравнения трехмерной динамической системы содержат монотонно убывающие гладкие функции, описывающие отрицательные связи. Шестимерная динамическая система состоит из трех уравнений с монотонно убывающими гладкими функциями и из трех уравнений с монотонно возрастающими гладкими функциями, характеризующими отрицательные и положительные связи. В обеих моделях процесс деградации описан нелинейными гладкими функциями. С целью локализации циклов для обеих систем построены инвариантные области. В данной работе показано, что каждая из двух систем имеет единственную стационарную точку в инвариантной области, и найдены условия, при которых эта точка является гиперболической. Основной результат настоящей работы - доказательство существования цикла в инвариантной подобласти, из которой траектории не могут перейти в другие подобласти, полученные при дискретизации фазового портрета. Циклы трехмерной и шестимерной систем ограничивают двумерные инвариантные поверхности, на которых лежат траектории данных динамических систем.
Бесплатно
Плоскость Галилея с коммутативной и нелинейной геометрией
Статья научная
Введено галилеево расстояние между точками на плоскости с нелинейной геометрией. Указана физическая интерпретация такой плоскости. Определена кривизна регулярных кривых и установлено, что функция кривизны однозначно определяет кривую, т. е. рассмотрено задание кривой натуральным уравнением.
Бесплатно
Плотность пространства Лизоркина в гранд-пространствах Лебега
Статья научная
Доказана плотность пространства Лизоркина в некотором подпространстве гранд-пространства Лебега на открытом множестве $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$.
Бесплатно
Подгруппы, содержащие тор, связанные с полем отношений кольца с однозначным разложением
Статья научная
Работа посвящена изучению подгрупп полной линейной группы, содержащих неращепимый максимальный тор, для случая, когда основное поле является полем отношений кольца с однозначным разложением (факториального кольца). Основным результатом работы является построение максимальных подгрупп указанного вида.
Бесплатно
Показатели ориентированной вращаемости решений автономных дифференциальных систем
Статья научная
В данной работе полностью изучены показатели ориентированной врашаемости решений линейных однородных автономных дифференциальных систем. Установлено, что у любого решения автономной системы дифференциальных уравнений его сильные показатели ориентированной врашаемости совпадают со слабыми. Также показано, что спектр этого показателя (т. е. множество значений на ненулевых решениях) естественным образом определяется теоретико-числовыми свойствами набора мнимых частей собственных значений матрицы системы. Это множество может содержать (в отличие от показателей колеблемости и блуждаемости) значения, отличные от нуля и от мнимых частей собственных значений матрицы системы, причем мощность этого спектра может быть экспоненциально велика по сравнению с размерностью пространства. При доказательстве этого факта были использованы базовые утверждения эргодической теории, в частности, теорема Вейля. Как следствие выводится, что спектры всех показателей ориентированной вращаемости автономных систем с симметричной матрицей состоят из одного нулевого значения. Кроме того, на множестве автономных систем установлены соотношения между главными значениями изучаемых показателей. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что показатели ориентированной вращаемости, несмотря на их простые и естественные определения, не являются в теории колебаний аналогами показателя Ляпунова.
Бесплатно
Положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток
Статья научная
Показано, что всякий положительный лифтинг в измеримом расслоении банаховых решеток является решеточным гомоморфизмом.
Бесплатно
