Статьи журнала - Владикавказский математический журнал
Все статьи: 930
О многочленах наилучшего приближения сегментных функций
Статья научная
Предложен алгоритм поиска многочлена наилучшего приближения для непрерывной многозначной сегментной функции, заданной на совокупности не пересекающихся отрезков X=(⋃n1j1=0[aj1,bj1])∪(⋃nk=0xk) таких, что (⋃n1j1=0[aj1,bj1])∩(⋃nk=0xk)=∅, где не пересекающиеся отрезки [aj1,bj1] и точки xk принадлежат ограниченному отрезку [A,B]⊂R. Считаем, что функции f1 и f2 непрерывны на множестве X, и всюду на X значение функции f1(x) не превосходит значение функции f2(x). Оператор, ставящий в соответствие каждому x∈X отрезок [(x,f1(x)),(x,f2(x))], будем называть сегментной функцией F(x), заданной на X. В силу непрерывности функций f1 и f2 сегментная функция F является h-полунеперывным отображением сверху. Многочлен Pm=∑mi=0aixi наилучшего приближения в метрике Хаусдорфа на множестве X сегментной функции F с вектором коэффициентов a⃗ =(a0,a1,…,am)∈Rm+1 есть решение экстремальной задачи mina⃗ ∈Rm+1maxx∈Xmax(Pm(x)-f1(x),f2(x)-Pm(x)). Методами конструктивной теории функций показано, что для любых непрерывных на X функций f1(x)≤f2(x) существует многочлен наилучшего приближения в xаусдорфовой метрике h-полунепрерывной сверху на множестве X сегментной функции F(x). Предложен алгоритм описания множества Е коэффициентов a⃗ многочленов наилучшего приближения сегментной функции. Получены необходимые и достаточные условия единственности многочлена наилучшего приближения сегментной функции. Приведены результаты численных экспериментов, реализованных с помощью предложенного алгоритма.
Бесплатно
О множестве значений функции Эйлера
Статья научная
В теории чисел важное значение имеет функция Эйлера \varphi(x), выражающая число натуральных чисел отрезка [1; m], взаимно простых с натуральным m. В работе доказывается несколько утверждений, касающихся решений функционального уравнения \varphi(x) = n.
Бесплатно
О мультипликативных многомерных дифференциальных уравнениях в частных производных
Статья научная
Рассмотрен класс мультипликативных дифференциальных уравнений в частных производных. Левая часть уравнения представлена в виде произведения линейных дифференциальных выражений произвольного порядка, а правая часть является функцией независимых переменных и искомой функции. Для уравнения с одномерными линейными дифференциальными операторами и факторизуемой правой частью получены решения с аддитивным, мультипликативным и комбинированным разделением переменных. При этом исходное уравнение редуцировано либо к обыкновенному дифференциальному уравнению, либо к уравнению в частных производных меньшей размерности. Показано, что если операторы в левой части уравнения являются однородными, то уравнение имеет решения в виде обобщенных полиномов. Также для уравнения с однородными операторами найдены автомодельные решения и сформулированы достаточные условия их существования. Получены решения типа бегущей волны для случая операторов с постоянными коэффициентами и правой части, зависящей от линейной комбинации независимых переменных. Показано, что если правая часть уравнения зависит от нескольких линейных комбинаций на подмножествах независимых переменных, то имеются решения типа многомерных бегущих волн, зависящие от этих линейных комбинаций. Получено решение в виде разложения по собственным функциям ядер линейных операторов, входящих в состав левой части уравнения. Также исследованы некоторые уравнения с многомерными линейными операторами. В частности, получены решения с разделением переменных для случая факторизуемых многомерных операторов, а также решения типа многомерных бегущих волн и решения в виде функций от аргументов более сложной структуры. Рассмотрены случаи, когда правая часть уравнения содержит степенные и экспоненциальные нелинейности по искомой функции.
Бесплатно
О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом
Статья научная
Дается описание класса мультипликаторов пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом. Приводится функциональный критерий замкнутости образа оператора умножения на фиксированный нетривиальный мультипликатор в таких пространствах.
Бесплатно
О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем
Статья научная
Описаны подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем, содержащие ее унипотентную подгруппу.
Бесплатно
О надгруппах цикла, богатых трансвекциями
Статья научная
Говорят, что подгруппа H полной линейной группы GL(n,R) порядка n над кольцом R богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции tij(α)=e+αeij на всех позициях (i,j), i≠j, для некоторых α∈R, α≠0. Это понятие ввел З. И. Боревич, рассматривая задачу описания подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Известно, что надгруппа нерасщепимого максимального тора, содержащая элементарную трансвекцию на некоторой одной позиции, богата трансвекциями. Для коммутативной области R с единицей и цикла π=(1 2 …n)∈Sn длины n доказано следующее утверждение. Для того чтобы подгруппа ⟨tij(α),(π)⟩ полной линейной группы GL(n,R), порожденная матрицей-перестановкой (π) и трансвекцией tij(α), была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число i-j было взаимно просто с n. Система аддитивных подгрупп σ=(σij), 1≤i,j≤n, кольца R называется сетью (ковром) над кольцом R порядка n, если σirσrj⊆σij при всех значениях индексов i, r, j (З. И. Боревич, В. М. Левчук). Такая же система, но без диагонали, называется элементарной сетью. Полную или элементарную сеть σ=(σij) мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы σij отличны от нуля. В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в доказательстве основного результата.
Бесплатно
О наилучшем восстановлении семейства операторов на классе функций по неточно заданному их спектру
Статья научная
В работе рассматривается однопараметрическое семейство линейных непрерывных операторов в L2(Rd) и ставится задача об оптимальном восстановлении оператора при данном значении параметра на классе функций, преобразования Фурье которых интегрируемы в квадрате со степенным весом (пространства такой структуры играют важную роль в вопросах вложения функциональных пространств и теории дифференциальных уравнений) по следующей информации: о каждой функции из этого класса известно (вообще говоря, приближенно) ее преобразование Фурье на некотором измеримом подмножестве Rd. Построено семейство оптимальных методов восстановления операторов при каждом значении параметра. Оптимальные методы не используют всю доступную информацию о преобразовании Фурье функций из класса, а используют только информацию о преобразовании Фурье функции в шаре с центром в нуле максимального радиуса, обладающего тем свойством, что его мера равна мере его пересечения с множеством, где известно (точно или приближенно) преобразование Фурье. В качестве следствий доказанного результата получено семейство оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в Rd в данный момент времени при условии, что о начальной функции, принадлежащей указанному классу, известно точно или приближенно ее преобразование Фурье на некотором измеримом множестве, а также семейство оптимальных методов восстановления решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по преобразованию Фурье граничной функции, принадлежащей указанному классу, которое известно точно или приближенно на некотором измеримом множестве в Rd.
Бесплатно
О наилучшем полиномиальном приближении функций в весовом пространстве Бергмана
Статья научная
Задача нахождения точной оценки величины наилучшего приближения En-1(f)p, 1≤p≤∞, через усредненную величину модуля непрерывности и модуля гладкости самой функции и ее соответствующих производных является одной из интересных задач теории приближений. В свое время Н. П. Корнейчук рассмотрел эту задачу для класса 2π-периодических функций f(x) с выпуклым модулем непрерывности ω(f′,t) в метрике пространства непрерывных функций C[0,2π]. Аналогичную задачу без предположения выпуклости модуля непрерывности граничных значений аналитических в круге функций в пространстве Харди Hp, 1≤p≤∞, рассмотрел Л. В. Тайков. Продолжая исследование указанных авторов, в пространствах Харди Hp, p≥1, М. Ш. Шабозов и М. М. Миркалонова доказали новые точные неравенства, в которых наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций оценивается через суммы усредненных значений модулей непрерывности самой функции и некоторой ее производной. В настоящей работе получены точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и модулями непрерывности и гладкости самой функции и ее второй производной в весовом пространстве Бергмана...
Бесплатно
О наилучших рациональных приближениях к трансцендентным числам \ psi (x) \ cdot e^x
Статья научная
Предложен метод, основанный на том, что непрерывные дроби дают наилучшие рациональные приближения к числу, и на возможности контролировать порядок приближения исследуемого числа подходящими дробями как сверху, так и снизу. Важную роль при этом играет регулярность поведения неполных частных. При использовании данного метода отпадает нужда в явном представлении числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки.
Бесплатно
О наилучших рациональных приближениях к трансцендентным числам \ psi (x) \ cdot e^x. II
Статья научная
Работа служит продолжением предыдущей статьи автора и посвящена дальнейшему развитию предложенного им метода. При использовании данного метода отпадает нужда в явном представлении числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки.
Бесплатно
О неклассической трактовке четырехмерной задачи Гурса для одного гиперболического уравнения
Статья научная
В данной статье выявлен гомеоморфизм между определенными парами банаховых пространств при исследовании четырехмерной задачи Гурса для одного дифференциального уравнения со старшей частной производной шестого порядка $D_{1} D_{2} D_{3}{2} D_{4}{2} u(x)$ с разрывными коэффициентами ($L_p$-коэффициентами) путем сведения этой задачи к эквивалентному интегральному уравнению.
Бесплатно
О некоторых вопросах теории функций
Другой
В заметке, посвященной памяти выдающегося российского математика А. Ф. Леонтьева, рассматриваются некоторые вопросы теории мероморфных и выпуклых функций.
Бесплатно
Статья научная
В явном виде найдено регулярное решение краевой задачи для одного смешанного уравнения с разрывными коэффициентами в прямоугольной области.
Бесплатно
О некоторых кросснормах на тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств
Статья научная
Как известно, теория тензорных произведений нормированных пространств находит широкое применение в теории операторов - к исследованию свойств конусов положительных операторов, к продолжению операторов и в ряде других задач. Это обстоятельство обусловлено, например, тем свойством тензорных произведений, котоpое позволяет рассматривать векторные пространства билинейных (более общее название "полилинейных") отображений как векторные пространства линейных отображений. Используя это свойство, в настоящей работе мы установим изометрию банаховых пространств операторов $\LL{\lm}{E\tilde{\x}_kF}{G^*}$ и $\LL{\lm}{E}{\LL{\lm}{G}{G^*}}$, следствием которой является ассоциативность тензорных произведений $(E\x_kF)\x_kG$ и $E\x_k(F\x_kG)$ упорядоченных банаховых пространств с кросснормой $k$.
Бесплатно
О некоторых свойствах подобно однородных R-деревьев
Статья научная
В работе рассматриваются свойства локально полных подобно однородных неоднородных R-деревьев. Геодезические пространства называются R-деревьями, если любые две точки можно соединить единственной дугой. Рассмотрена общая проблема А. Д. Александрова характеризации метрических пространств. Построены отображения некоторых классов R-деревьев, сохраняющие расстояние один. Для этого используется конструкция, с помощью которой на произвольном метрическом пространстве вводится новая специальная метрика. В терминах этой новой сформулирован признак, необходимый для того, чтобы отображение, сохраняющее расстояние один, было бы изометрией. В рассмотренном случае характеризация А. Д. Александрова не выполняется. Кроме того, в работе исследованa граница строго вертикального R-дерева. Доказано, что любая орисфера в строго вертикальном R-дереве является ультраметрическим пространством. Если число ветвления строго вертикального R-дерева не больше континуума, то любая сфера и любая орисфера в R-дереве имеют мощность континуума, а если число ветвления R-дерева больше континуума, то всякая сфера или орисфера будут иметь мощность, равную числу ветвления.
Бесплатно
Статья научная
Тематика исследования данной работы находится на стыке теории показателей Ляпунова и теории колеблемости. В работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) строгих знаков, нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней ненулевых решений линейных однородных дифференциальных уравнений с непрерывными на положительной полуоси коэффициентами. В первой части настоящей работы построен пример линейного однородного дифференциального уравнения порядка выше второго, спектры верхних сильных показателей колеблемости строгих знаков, нулей и корней которого совпадают с заданным суслинским множеством неотрицательной полуоси расширенной числовой прямой, содержащим нуль. При этом все перечисленные показатели колеблемости на множестве решений построенного уравнения являются абсолютными. При построении указанного уравнения использованы аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, в частности, авторская методика управления фундаментальной системой решений таких уравнений в одном частном случае. Во второй части работы доказано, что на множестве решений уравнений порядка выше второго сильные показатели колеблемости нестрогих знаков, нулей, корней и гиперкорней не обладают свойством остаточности. В качестве следствия выводится существование функции из указанного множества, обладающей следующими свойствами: все перечисленные показатели колеблемости являются точными, но не абсолютными. При этом все сильные показатели, как и все слабые, равны между собой.
Бесплатно
О нелокальных краевых задачах для квазилинейного уравнения с вырождением порядка и типа
Статья научная
Рассмотрены вопросы существования и единственности решения квазилинейного уравнения с вырождением порядка и типа.
Бесплатно
О необходимых условиях экстремума в задачах с негладкими ограничениями типа равенств
Статья научная
В статье методом шатров получены необходимые условия экстремума в задачах математического программирования с негладкими ограничениями типа равенств. В некоторых таких задачах, где ограничения задаются, вообще говоря, не локально липшицевыми функциями, доказано правило множителей Лагранжа. Необходимые условия выражаются в терминах субдифференциалa Мишеля - Пено и нижнего асимптотического субдифференциала Половинкина.
Бесплатно
О неограниченных интегральных операторах с квазисимметричными ядрами
Статья научная
В 1935 г. фон Нейман установил, что предельный спектр самосопряженного карлемановского интегрального оператора в L2 содержит 0. Этот результат был обобщен автором на несамосопряженные операторы: предельный спектр оператора, сопряженного к карлемановскому интегральному оператору, содержит 0. Будем говорить, что плотно определенный в L2 линейный оператор A удовлетворяет обобщенному условию фон Неймана, если 0 принадлежит предельному спектру сопряженного оператора A∗. Обозначим через B0 класс всех линейных операторов в L2, удовлетворяющих обобщенному условию фон Неймана. Автором было доказано, что каждый определенный на L2 ограниченный интегральный оператор принадлежит классу B0. Возникает вопрос: верно ли аналогичное утверждение для любого неограниченного плотно определенного в L2 интегрального оператора? В статье дается отрицательный ответ на этот вопрос и устанавливается достаточное условие принадлежности плотно определенного в L2 интегрального оператора с квазисимметричным ядром классу B0.
Бесплатно
